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培优点 7 极化恒等式
1．极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，
(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
2．几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，
即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](如图)．
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，
即AB·AC＝AM2－MB2(M为BC的中点)(如图)．
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的
等量关系．
题型一 利用极化恒等式求值
例1 (1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF
＝－1，则BE·CE的值是________．
思维升华 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对
于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，
从而利用极化恒等式解决．
跟踪训练1 (1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则AE·AF＝________.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
AD边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝________.
题型二 利用极化恒等式求最值(范围)
例2 (1)已知△OAB的面积为 1，AB＝2，动点P，Q在线段AB上滑动，且 PQ＝1，则
OP·OQ的最小值为________．
(2)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝16相交于M，N两点，若c2＝a2＋b2，P为圆O
上的任意一点，则PM·PN的取值范围为__________________．
跟踪训练2 (1)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形
四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0，]
C．[1,2] D．[－1,1]
(2)在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则PB·PC＋BC2的最小值
是________．
1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值
是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
3．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则
PA·PB的取值范围是( )
A. B.
C．[－3,5] D．[1－2，1＋2]4．已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，
则OA·OB的最小值为( )
A．－ B. C. D.
5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值
是( )
A．1 B．2 C. D.
6．已知半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足OA＋AB＋AC＝0，点P是圆O内一点，
则PA·PO＋PB·PC的取值范围是( )
A．[－4,14) B．(－4,14]
C．[－4,4) D．(－4,4]
7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DA的值为________．
8.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB·AD＝－7，则
BC·DC＝________.
9．在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是
________．
10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，
则OP·BP的最小值为________．
