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重难点突破02 向量中的隐圆问题
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技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
⃗PA⋅ ⃗PB=λ
乘积型：
√ 1
λ+ AB2
定理：平面内，若 A,B 为定点，且 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ,则P的轨迹是以M为圆心 4 为半径的圆
1 √1
PM2 − AB2 =λ PM= AB2 +λ
证明：由 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ，根据极化恒等式可知， 4 ，所以 4 ，P的轨迹
√ 1
λ+ AB2
是以M为圆心 4 为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：PA2 +PB2 =λ
√ λ− 1 AB2
2
定理：若 A，B 为定点，P满足 PA2 +PB2 =λ ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心， 2 为半
1
(λ− AB2 >0)
径的圆。 2
√ λ− 1 AB2
1 2
PA2 +PB2 =2[PM2 +( AB) 2 ]=λ PM=
证明： 2 ，所以 2 ，即P的轨迹是以AB中点M为圆√ λ− 1 AB2
2
心， 2 为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
{mPA 2 PB 2 {PA 2 mPB 2
n¿ n¿
+ = + = ¿¿¿
若 A，B 为定点， ，则P的轨迹为圆．
mPA2 +PB2 =n⇒m[(x+c) 2 +y2 ]+[(x−c) 2 +y2 ]=n
证明：
⇒(m+1)(x2 +y2 )+2c(m−1)x+(m+1)c2 −n=0
2(m−1)c c2 (m+1)−n
⇒x2 +y2 + ⋅x+ =0
m+1 m+1 ．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
题型一：数量积隐圆
例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在 中， . 为 所在平面内的动
点，且 ，若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ；④ 的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2023·全国·高三专题练习）若正 的边长为4， 为 所在平面内的动点，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在 中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为 所在平面内的
动点，且PC＝2，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是边长为 的等边三角形，其中心为O，P为平面内一
点，若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
变式2．（2023·北京·高三专题练习） 为等边三角形，且边长为 ，则 与 的夹角大小为 ，
若 ， ，则 的最小值为___________.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且
若 ，则 的最小值为______.
题型二：平方和隐圆
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是单位向量，满足 ，
则 的最大值为________．
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量 、 满足 ， ，设
，则 ________.
例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆 ，
若圆 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若
直线 上存在点 满足 （ 为坐标原点），则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设 ， ，O为坐标原点，点P满足，若直线 上存在点Q使得 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
，点 ，若圆C上存在点M，满足 ，则点M的纵坐标的取值范围是
___________.
题型三：定幂方和隐圆
例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点 ， ，直线 ： 上存在点
，使得 成立，则实数 的取值范围是______.
例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 ， 的夹角为60°，向量 满足
，若对任意的 ，记 的最小值为M，则M的最大值为
A． B． C． D．
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知 ， 是两个单位向量，与 ， 共面的向量 满足
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量． 若
， ， 则 的最大值为_______．变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量.若非
零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是_______．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 、 ，满足 ， ， ，
，若 ，则 的最大值是_________.
变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知 是平面向量， ，若非零向量 与
的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是__________.
题型四：与向量模相关构成隐圆
例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则
的最小值是__________．
例11．（2023·上海·高三专题练习）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
，则 的最小值为____________．
例12．（2023·上海金山·统考二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
，则 的最小值为__________.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，
若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为__________.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，B在直线 上， ，动
点M满足 ，则 的最小值为__________.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最
大值是________.变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是 、 是单位向量， ，
若向量 满足 ，则 的最大值为______
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足
，则 的最大值是_________．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： 与 的夹角为
，记 是 的最大值，则 的最小值是__________．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为
___________.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ，
则 的最大值为________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 为单位向量，则 的最大值是________
