1
专题突破练1 三角恒等变换
必备知识夯实练
1.(2025 河北沧州模拟)cos2 π
12
+sin π
12
cos π
12
-sin2 π
12
的值为( )
A.1+2√3
4
B.1-2√3
4
C.1+√3
2
D.1-√3
2
2.(2023 新高考Ⅱ,7)已知α 为锐角,cos α=1+√5
4
,则sinα
2
=( )
A.3-√5
8
B.-1+√5
8
C.3-√5
4
D.-1+√5
4
3.(2025 江西南昌模拟)化简:
sin 2α -2co s
2α
sin(α - π
4 )
=( )
A.2√2cos α
B.2cos α
C.2sin α
D.sin α
4.(2025 湖北襄阳模拟)1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中
首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割,在某直角三角形中,一个锐角的斜边与其
邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余
割,用csc(角)表示,则csc 10°-√3sec 10°=( )
A.-4
B.2√3
C.4
D.-2√3
5.(2025 湖南怀化二模)若α∈(0,π
2
),sin(π
6
-α)=-1
5
,则cos(π
6
+α)的值为( )
A.2√3-√6
10
B.2√3+√6
10
C.2√6-√3
10
D.2√6+√3
10
6.(2025 广东东莞模拟)设α∈(0,π
2
),β∈(0,π
2
),且tan α=1+sin β
cos β
,则2α-β=( )
2
A.π
4
B.π
3
C.π
2
D.π
7.(多选题)(2025 山东淄博模拟)若sin 2α=√5
5
,sin(β-α)=√10
10
,且α∈[π
4
,π],β∈[π,3 π
2
],则下
列选项正确的是( )
A.cos 2α=-2√5
5
B.cos 2α=2√5
5
C.α+β=7 π
4
D.α+β=5 π
4
8.(2025 北京,13)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件
的一组(α,β)= .
9.(2025 广东潮州模拟)如图,三个相同的正方形相接,则α+β= .
关键能力提升练
10.(2025 安徽皖北协作区一模)如图,这是一朵美丽的几何花,且这八片花瓣的顶端
A,B,C,D,E,F,G,H 用线段依次相连后所得的多边形恰好是一个正八边形,设
∠ACG=α,∠EBH=β,则tan(α+β)=( )
A.-3
B.-2√2
C.-2√2+1
D.-√2-1
3
11.(多选题)(2025 江苏盐城模拟)已知锐角α,β 满足
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ,
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β
=2,则下列选项正确的是( )
A.α+2β=π
B.tan(α+β)=-2
C.sin α=3
5
D.tan α∶tan β=2∶3
12.(2025 安徽皖南八校三模)如图所示,两个直角三角形有公共斜边MN,且MN=1,MB-
MA=1
2
,NA-NB=1
3
,设∠AMN=β,∠BMN=α,则cos(β-α)= .
13.(2025 清华附中模拟)若实数α,β∈[-π,π],且α,β 满足方程组{
1+2cosα =2cos β ,
√3+2sin α =2sin β ,则α=
,β= .(写出一组值即可)
核心素养创新练
14.(2025 湖南岳阳二模)已知圆锥的侧面展开图为半圆,其轴截面是以A 为顶点的等腰三
角形,若A,B,C 分别是该三角形的三个内角,则tanB
3
+tan2B
3
+tan B+tanB
3
tan2B
3
tan B=(
)
A.√3
B.2√3
C.0
D.1
4
答案：
1.A 解析 cos2 π
12
+sin π
12
cos π
12
-sin2 π
12
=cos(2× π
12
)+1
2
sin(2× π
12
)
=cosπ
6 + 1
2
sinπ
6 = √3
2 + 1
4 = 1+2√3
4
.故选A.
2.D 解析 由cos α=1-2sin2α
2
,得sin2α
2 = 1-cosα
2
= 1
2
(1-1+√5
4
)=3-√5
8
=(√5-1
4
)2.
因为0<α<π
2
,所以0<α
2 < π
4
,所以sinα
2
>0,所以sinα
2 =-1+√5
4
.故选D.
3.A 解析 原式=
2sin α cosα -2co s
2α
√2
2 (sin α -cosα )
= 2√2cosα (sin α -cosα )
sin α -cosα
=2√2cos α.故选A.
4.C 解析 csc 10°-√3sec 10°
=
1
sin10° -
√3
cos10° = cos10°-√3sin10°
sin10°cos10°
=-√3sin10°-cos10°
sin10°cos10°
=-
2sin(10°-30°)
1
2 sin 20°
=4 sin 20°
sin 20°
=4.故选C.
5.C 解析 因为sin(π
6
-α)=-1
5
,所以sin(α-π
6
)=1
5 .因为α∈(0,π
2
),所以α-π
6 ∈(-π
6 , π
3
),所以
cos(α-π
6
)=√1- sin
2(α - π
6 )= 2√6
5
,所以cos(π
6
+α)=cos[(α-π
6
)+π
3
]=cos(α-π
6
)cosπ
3
-sin(α-π
6
)sinπ
3 = 2√6
5
× 1
2 - 1
5 × √3
2 = 2√6-√3
10
.故选C.
6.C 解析 因为tan α=1+sin β
cos β
,所以sin α
cosα = 1+sin β
cos β
,即sin αcos β-cos αsin β=cos α,即
sin(α-β)=cos α=sin(π
2
-α).
因为α∈(0,π
2
),β∈(0,π
2
),所以α-β∈(-π
2 , π
2
),π
2
-α∈(0,π
2
),
则α-β=π
2
-α,即2α-β=π
2 .故选C.
5
7.AC 解析 因为α∈[π
4
,π],所以2α∈[π
2
,2π].因为0<sin 2α=√5
5 < √2
2
,所以3 π
4
<2α<π,则
cos 2α<0,则cos 2α=-√
1-(
√5
5 )
2
=-2√5
5 ,所以A 正确;由3 π
4 <2α<π 可得3 π
8 <α<π
2 ,又β∈[π,
3 π
2 ],利用不等式的性质可得β-α∈(π
2 , 9 π
8 ),α+β∈(11π
8 ,2π),所以cos(β-α)=-√
1-(
√10
10 )
2
=-
3√10
10
,则cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=√2
2
,又α+β∈(11π
8
,2π),
所以α+β=7 π
4
,所以C 正确.故选AC.
8.(π
2 , π
3
)(答案不唯一) 解析 ∵sin(α+β)=sin(α-β),∴sin αcos β+cos αsin β=sin αcos β-cos
αsin β,
∴cos αsin β=0.
①
∵cos(α+β)≠cos(α-β),
∴cos αcos β-sin αsin β≠cos αcos β+sin αsin β,∴sin αsin β≠0.
②
由①②可知cos α=0,sin β≠0,可取α=π
2
,β=π
3 .故答案为(π
2 , π
3
)(答案不唯一).
9. π
4
解析 由题图可得tan α=1
3
,tan β=1
2
,所以tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan α tan β =
1
3 + 1
2
1- 1
3 × 1
2
=1,而
α,β 均为锐角,即0<α+β<π,所以α+β=π
4 .
10.D 解析 如图,连接AE,BF,CG,DH,AC,BE,BH.
6
设线段AE 与CG 的交点为O,线段BH 与线段AE 的交点为M.因为∠COB=∠AOB=π
4
,所
以∠AOC=π
2
,又OC=OA,所以∠ACG=∠ACO=π
4 .设OA=a,则易知OB=OE=a,OM=MB=
√2
2
a,所以tan∠EBH=tan∠EBM=
a+ √2
2 a
√2
2 a
= 2+√2
√2
=√2+1,所以tan α=1,tan β=√2+1,
所以tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan α tan β = 1+√2+1
1-(√2+1)
=-√2-1.故选D.
11.ABD 解析 由
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ,得
2sin
2α
2sin α -2sin α cosα = 2sin β cos β
2co s
2 β
,即
sin α
1-cosα = sin β
cos β
,
所以sin αcos β=sin β-cos αsin β,所以sin β=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β),所以
β+α+β=α+2β=π 或β=α+β(舍去),故A 正确;
由
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β
=2,得tan α + tan β
tan α tan β +
2
tan α tan β
=2,即tan α+tan β=-2(1-tan αtan
β),所以tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan α tan β
=-2,故B 正确;
由A 选项得tan β=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=2,
所以tan α=tan[(α+β)-β]= tan(α + β )- tan β
1+ tan(α + β )tan β =-2-2
1- 4 = 4
3
,即sin α
cosα = 4
3
,又sin2α+cos2α=1,所
以sin α=4
5
(sin α=-4
5
舍去),故C 错误;
tan α∶tan β=4
3 ∶2=2∶3,故D 正确.故选ABD.
12. 59
72
解析 ∠BMN=α,∠AMN=β,由题意可得MB=cos α,NB=sin α,MA=cos β,NA=sin β,
因为{
MB - MA = 1
2 ,
NA - NB = 1
3 ,
则{
cosα -cos β = 1
2 ,
sin β -sin α = 1
3 ,
7
两式两边平方,左、右相加可得2-2cos αcos β-2sin αsin β=13
36
,即2-2cos(β-α)=13
36
,
所以cos(β-α)=59
72 .
13.-π
3 0(答案不唯一) 解析 ∵{
1+2cosα =2cos β ,
√3+2sin α =2sin β ,
∴{
(1+2cosα )
2=(2cos β )
2,①
(√3+2sin α )
2=(2sin β )
2,②
①+②,得1+cos α+√3sin α=0,根据辅助角公式得2sin(α+π
6
)=-1,
∴α+π
6
=2kπ-π
6
或α+π
6
=2kπ+7 π
6
,k∈Z,
即α=2kπ-π
3
或α=2kπ+π,k∈Z.
∵α∈[-π,π],∴可只取α=-π
3
,此时,2cos β=1+2cos(-π
3
)=2,
∴β=2kπ,k∈Z,又∵β∈[-π,π],∴可取β=0.
14.B 解析 设圆锥的底面圆半径以及圆锥的母线分别为r,l,由题意可得2πr=1
2 ×2πl,故
l=2r,因此△ABC 为等边三角形,故A=B=C=60°.故tanB
3
+tan2B
3
+tan B+tanB
3
tan2B
3
tan
B=tanB
3
+tan2B
3
+tan B(1+tanB
3 ·tan2B
3
)=tan(B
3 + 2B
3
)(1-tanB
3 ·tan2B
3
)+tan B(1+tanB
3
tan
2B
3
)=2tan B=2tan 60°=2√3.故选B.
