文档内容
2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
14.2 乘法公式
题型导航
题型1
运用平方差公式进行运算
乘 题型2
运用完全平方公式进行运算
法
题型3
求完全平方公示中的字母系数
公
题型4
完全平方公示在几何中的应用
式
题型5
整式的混合运算
题型变式
【题型1】运用平方差公式进行运算
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中
阴影部分面积说明的等式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图中信息可得阴影面积的表达式，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，该阴影部分的面积面积为 或 ，
，
故选B．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景问题，正确的计算阴影面积是解决本题的关键．
【变式1-1】
2．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）若x+y＝2 ， 时，x-y＝_______．
【答案】4
【分析】根据平方差公式可得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，x+y＝2 ， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式 ．
【题型2】运用完全平方公式进行运算
1．（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）等腰三角形的两边a、b满足
，则这个三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．13或17
【答案】C
【分析】先将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴a=3，b=7.
分两种情况讨论：
当腰为3时，3+3<7，不能构成三角形，
当腰为7时，3+7>7，能构成三角形，等腰三角形的周长为7+7+3=17．
综上所述：该等腰三角形的周长为17．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将58改成9+49，运用完全平方公
式将原等式化为平方和为0的形式．
【变式2-1】
2．（2022·广东·梅州市学艺中学七年级阶段练习）若 ，ab=2，则 =_______．
【答案】9
【分析】利用完全平方公式 即可得．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式求值，熟记公式是解题关键．
【题型3】求完全平方公示中的字母系数
1．（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）若多项式 +2ka+1是一个完全平方式，则
k的值是（ ）A．1 B．±1 C．± D．﹣1
【答案】C
【分析】根据完全平方式的形式进行解答即可．
【详解】 +2ka+1=
∵ +2ka+1是一个完全平方式，
∴2ka= ，解得：k=
故选：C
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定一次项是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若 是关于 的完全平方式，
则 ______．
【答案】 或
【分析】根据完全平方式逆运用，可知 ，由此即可求得m的值．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的运用，解题重点是灵活运用公式，注意两种情况．
【题型4】完全平方公式在几何中的应用
1．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD
为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
【答案】C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计
算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的
个数，两数和的完全平方公式．
【变式4-1】
2．（2022·山东淄博·期末）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要用A、B、C三
类卡片拼一个边长为（a＋2b）的正方形，则需要C类卡片______张．
【答案】4
【分析】由题意知长为a+2b，宽也为a+2b的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
【详解】解：边长为（a+2b）的正方形的面积为（a+2b）（a+2b）＝a2+4ab+4b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，则可知需要A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．
【题型5】整式的混合运算
1．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）将多项式 除以 后
得商式 ，余式为0，则 的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
【答案】D
【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．
【详解】解：
= ；
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
【变式5-1】
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）[（x+y）2-y（2x+y）-8x]÷（2x）
=_____________________.
【答案】
【分析】先计算平方，单项式乘多项式，再合并同类项，最后做除法．
【详解】．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握整式混合运算的顺序与每种运算的法则．
专项训练
一．选择题
1．（2021·福建三明·七年级期中）已知 是完全平方式，则 的值为（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．6或-6
【答案】D
【分析】根据完全平方式 即可得出答案．
【详解】根据完全平方式得
或
∴m的值为6或-6
故选：D．
【点睛】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式是解题的关键．
2．（2021·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】∵a+b=3，
∴a2-b2+6b
=(a+b)(a-b)+6b
=3(a-b)+6b=3a-3b+6b
=3a+3b
=3(a+b)
=9．
故选C
3．（2021·河南·郑州外国语中学七年级期中）已知4x2-2（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值为（
）
A．2 B．±2 C．1 D．1或-3
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵4x2-2（k+1）x+1是关于x的完全平方式，
∴2（k+1）=±4，
解得：k=1或k=-3，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2022·河北·景县第二中学八年级阶段练习）计算：(a-b＋3)(a＋b-3)=( )
A．a2＋b2-9 B．a2-b2-6b-9 C．a2-b2＋6b－9 D．a2＋b2-2ab＋6a＋6b＋9
【答案】C
【分析】把所给的整式化为[a－(b-3)][ a＋(b－3)]，先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可.
【详解】(a－b＋3)(a＋b－3)，
=[a－(b-3)][ a＋(b－3)]，
=a2-(b-3)2，
= a2-b2+6b-9，
故选C.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确利用乘法公式是解决本题的关键.
5．（2011·安徽芜湖·中考真题）如图，从边长为（ ）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（ ）cm
的正方形（ ），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【详解】解：矩形的面积为：
（a＋4）2－（a＋1）2
＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1）
＝a2＋8a＋16－a2－2a－1
＝6a＋15.
故选：D．
6．（2020·全国·七年级专题练习）计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（ ）
A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
【答案】A
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（-4a2+12a3b）÷（-4a2）=1-3ab．
故选A．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．
二、填空题
7．（2021·四川德阳·中考真题）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．
【答案】6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
8．（2021·湖北·浠水县兰溪镇河口中学八年级阶段练习）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a
＋b的值为________．
【答案】±4
【详解】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，
∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=±8,
∴a+b=±4.
故答案为±4.
9．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）若 ， ，则 ______．
【答案】3
【分析】根据已知求出a+b及a-b的值，相乘即可得到答案．
【详解】解：∵2a+b=5，a+2b=4，
∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，
（2a+b）-（a+2b）=5-4，即a-b=1，
∴a+b=3，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握平方差公式分解因式及整体代入思想的应用，题目较基
础．
10．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）已知 ， ，则ab的值为______．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查完全平方公式变形计算，熟记公式是解题的关键．
11．（2020·浙江衢州·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的
结果为_____．
【答案】x2﹣1
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
12．（2022·江苏·八年级专题练习）已知 ，且 ，则 的算术平方根是
________．
【答案】2
【分析】先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a、b的值，然后利用立方根求
出c的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得．
【详解】 ，
，
，
则 ，解得 ，
由 得： ，
则 的算术平方根是 ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、算术平方根与立方根、完全平方公式，熟练掌握算术
平方根与立方根的性质是解题关键．
三、解答题
13．（2021·福建泉州·八年级期末）先化简，再求值：
（x﹣2y）（x+2y）+（x+y）（x﹣4y），其中x＝1，y＝﹣2．
【答案】2x2﹣3xy﹣8y2，-24
【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式计算，再合并同类项，把已知数据代入即可求出得出答案．
【详解】解：原式＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2
＝2x2﹣3xy﹣8y2，当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝2×12﹣3×1×（﹣2）﹣8×（﹣2）2
＝2+6﹣32
＝﹣24．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知乘法公式以及多项式乘多项式运算法则．
14．（2022·北京·中考真题）已知 ，求代数式 的值．
【答案】５
【分析】先根据 ，得出 ，将 变形为 ，最后代入求值
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将 变形为
，是解题的关键．
15．（2022·吉林白城·八年级期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x＋2y）－（x＋1）2＋2x
＝（x2＋2xy）－（x2＋2x＋1）＋2x第一步
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x第二步
＝2xy＋4x＋1第三步
（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）写出此题正确的化简过程．
【答案】（1）第二步；去括号时第二、三项没变号；（2）见解析【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式运算，去括号再合并同类项进行计算化简
【详解】解：（1）第二步；去括号时第二、三项没变号
故答案为：第二步；去括号时第二、三项没变号
（2）原式
【点睛】本题考查了整式的化简，掌握运算法则和去括号是解题的关键．
16．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4
时， 表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳： 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③ ；
(2)相等，证明见解析；
(3)
【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由 再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由 与100a的差为2525，列方程，整理可得 再利用平方根的含义解方程即可．
（1）
解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；（2）
解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
（3）
与100a的差为2525，
整理得： 即
解得：
1≤a≤9，
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解
方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
17．（2021·全国·七年级课时练习）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______．
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
（3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式： ， ，mn．
（4）若x，y都是有理数， ， ，求 的值．【答案】（1） ；（2） ， ；（3）能， ；
（4）
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用
正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2；
（4）根据（3）的结论得到（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x-y=4，xy=5代入计算．
【详解】解：（1）由题意得：图b中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
故答案为： ；
（2）由题意得： ， ；
（3）观察图b，可得三个代数式之间的等量关系为： ．
（4）∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
18．（2018·贵州贵阳·中考真题）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，
拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．
【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．
【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.
【详解】（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；
（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当m=7，n=4时，S=72-42=33．
【点睛】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的
性质列出代数式解答．
