14.2乘法公式（讲+练）16大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)（原卷版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练

14.2 乘法公式 平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 注意：在这里， 既可以是具体数字， (3x5y)(3x5y) 也可以是单项式或多项式. （2）系数变化：如 抓住公式的几个变形形式利于理解公 (m3n2)(m3n2) （3）指数变化：如 式.但是关键仍然是把握平方差公式的典 (ab)(ab) （4）符号变化：如 型特征：既有相同项，又有“相反项”， 而结果是“相同项”的平方减去“相反 （5）增项变化：如 (mn p)(mn p) 项”的平方.常见的变式有以下类型： （ 6 ） 增 因 式 变 化 ： 如 （1）位置变化：如 (ab)(ba) 利 (ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4) 用加法交换律可以转化为公式的标准型 题型1：平方差公式-用面积探究公式 1.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪下， 拼成右边的矩形，由图形①到图形②的变化过程能够验证的一个等式是（ ）A．a(a+b)=a2+ab B．a2-b2=(a+b)(a-b) C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．a(a-b)=a2-ab 【变式1-1】如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 (a>b) ， 把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式 （ ） A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)(a-b)=a2-b2 C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．(a-b) 2=a2-2ab+b2 【变式1-2】如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余 部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 D．a2＋ab＝a（a＋b） 题型2：平方差公式-识别 2.下列式子可用平方差公式计算的是（ ） A．(a+b)(a−b) B．(a−b)(b−a) C．(a+2b)(2b+a) D．(y-2x)( 2x +y)【变式2-1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2 C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1 【变式2-2】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算 的，写出计算结果． 2a3b3b2a 2a3b2a3b (1) ； (2) ； 2a3b2a3b 2a3b2a3b (3) ； (4) ； 2a3b2a3b 2a3b2a3b (5) ； (6) ． 题型3：平方差公式-计算 3.计算（4＋x）（x－4）的结果是（ ） A．x2-16 B．x2+16 C．16-x2 D． -x2-16 【变式3-1】计算 (-2a-3b)(2a-3b) 的结果为（ ） A．4a2-9b2 B．9b2-4a2 C．-4a2-12ab-9b2 D．-4a2+12ab-9b2  x 3  x 3   y  y    2 2 2 2  (2x)(2x) 【变式3-2】计算：（1） ； （2） ； (3x2y)(2y3x) （3） ． 题型4：平方差公式-混合运算及简便运算 4.2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98． 【变式4-1】计算：（1）991×1009 （2）用公式进行简便计算.20222﹣2023×2021．（3） (x+2y)(x-2y)-(x+4 y)(x- y) 【变式4-2】阅读并完成下列各题： 通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快 捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 【例】用简便方法计算995×1005． 解：995×1005 =（1000﹣5）（1000+5）① =10002﹣52②=999975． （1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名 称）； （2）用简便方法计算： 9×11×101×10 001； 题型5：平方差公式-巧用公式计算 5.计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1． 【变式5-1】某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用 两数和乘以这两数差公式计算： 3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1=255． 1 1 1 1 1 请借鉴该同学的经验，计算： (1+ )(1+ )(1+ )(1+ )+ ． 2 22 24 28 215 完全平方公式 注意：公式特点：左边是两数的和（或 差）的平方，右边是二次三项式，是这 ab2 a2 2abb2 完全平方公式： 两数的平方和加（或减）这两数之积的 (ab)2  a2 2abb2 2倍.以下是常见的变形（重要）： a2 b2 ab2 2ab 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加 上（减去）这两数乘积的两倍. ab2 2ab ab2 ab2 4ab 题型6：完全平方公式-用面积探究公式 6.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab 【变式6-1】通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，下图可表示的代数恒等 式是（ ）A．(a-b) 2=a2-2ab+b2 B．2a(a+b)=2a2+2ab C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．(a+b)(a-b)=a2-b2 【变式6-2】如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可 以验证下列哪个计算公式（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 题型7：完全平方公式-识别 7.下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A．(x- y)(x+ y) B．(x- y)(x- y) C．(x- y)(-x- y) D．-(x+ y)(x- y) 【变式7-1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） 1 1 C．(- p+q)(q+ p) D．（2x﹣3y）（2x+3y） 2 2 【变式7-2】下列式子满足完全平方公式的是（） A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y） C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x） 题型8：完全平方公式-计算 8.下列计算正确的是（ ） A．（2a+b）2=4a2+b2 B．（5x-2y）❑ 2=25x2-10xy+4 y21 1 C．（ x- y）2= x2-xy+ y2 2 2 1 1 1 1 1 D．（ x+ ）2= x2+ x+ 2 3 4 3 9 【变式8-1】下列运算正确的是（ ） A．(x+y)2 =x2+y2 B．(x-y)2=x2+2xy+y2 C．(x+y)2 =x2+y2 +2xy D．(x-y)2=x2-xy+y2 【变式8-2】计算： 3ab2 32a2 x2y2 2x3y2 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型9：完全平方公式-混合运算 9.简便计算： （1）982 （2）20202﹣4040×2019+20192 （3）计算（2x+y）2﹣（y﹣2x）2 【变式9-1】计算：（1）(2x+3 y) 2-(2x+ y)(2x- y) 1 （2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+ ）2 x （3） (x+2) 2-(x+1)(x-1) ． （4）9（a－1）2－（3a＋2）（3a－2）； 【变式9-2】（1）简算：20182－4036×2017＋20172 （2）计算(2x+ y) 2-(2x+3 y)(2x-3 y) 题型10：完全平方公式-公式变形求代数式的值 10.a+b=5，ab=-2，求a2+b2和（a-b）2 的值. 【变式10-1】已知 (m+n) 2=9,(m-n) 2=1 ，求 m2+n2+mn 的值. 【变式10-2】已知 (a+b) 2=60 ， (a-b) 2=80 ，求 a2+b2 及 ab 的值． 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负 号，括到括号里的各项都改变符号. 注意：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 题型11：完全平方公式-添括号 11.运用乘法公式计算： (a2b3)2 (a2b3c)(a2b3c) （1） ；（2） ． 【变式11-1】运用乘法公式计算： abcabc 2x y1y12x (1) ； (2) ； x yz2 2a3b112a3b (3) ； (4) ． 题型12：完全平方公式-构造完全平方公式 12.若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17 y2-16xy-4 y+4=0，求 △ABC的周长． 【变式12-1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm， 求△ABC的周长. 1 【变式12-2】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+ c2 ＝ac+bc，试 2 判定△ABC的形状，并说明理由． 题型13：用乘法公式证明整除问题 13.求证：对任意整数 n,整式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值都能被 10整 除． 【变式13-1】求证：对任意自然数 n,式子（n-1）（n+1）-（n-5）（n-7）的值都能被 12整除． 【变式13-2】设两个连续奇数为 2n-1和2n+1，则这两个数的平方差（较大的减去较小 的）是否一定被8整除？请说明理由． 题型14：乘法公式在几何中的应用 14.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长 方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，求等式。 （2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．【变式14-1】用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所 示，已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，用x、y（x＞y）分别表示小长 方形的两边长． （1）求x2+y2的值； （2）求xy的值． 【变式14-2】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到 一个等式．例 如图1可以得到 (a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 ．请解答下列问题： （1）根据图2，完成数学等式： (2a) 2 = ； （2）观察图3，写出图3中所表示的等式： ＝ . （3）若 a=7x-5 、 b=-4x+2 、 c=-3x+4 ，且 a2+b2+c2=37 ，请利用 （2）所得的结论求： ab+bc+ac 的值 题型15：乘法公式与化简求值 1 15.先化简，再求值： (a+b)(a-b)+(a-b) 2-a(2a-3b) ，其中 a=- ,b=1 21 【变式15-1】先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)，其中a= 2 1 【变式15-2】先化简，再求值： (2x+ y) 2-(2x+ y)(2x- y) ，其中 x= ， y=3 2 ． 题型16：用乘法公式解规律探究题 16.阅读下面内容回答问题： （x-1）（x+1）=x2-1 （x-1）（x2+x+1）=x3-1 （x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1 （x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1 …… （1）按这样的规律写出第6个式子 （2）用你找出的规律计算1+2+22+23+24+25+26的值 【变式 16-1】观察下面各式规律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32= （2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论． 【变式16-2】你能很快计算出19952吗？ （1）通过计算，探索规律： 152=225=100×（1+1）+25， 252=625=100×2×（2+1）+25， 352=1225=100×3×（3+1）+25， 452=2025=100×4×（4+1）+25， … 752=5625= 852=7225= … （2）观察以上结果，归纳、猜想得（10n+5）2= 。并运用整式运算的知 识给予说明． （3）利用上述结论，计算19952． 一、单选题 1．下面计算正确是（ ） A．x3+4x3＝5x6 B．a2•a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y22．下列运算正确的是（ ） A．2x+3x=6x B．(x-2) 2=x2-4 C．(-x3 ) 2=x5 D．x3 ⋅x4=x7 3．下列计算正确的是（ ） A．(a+b) 2=a2+b2 B．(-2a3 ) 2=4a5 C．4a3 ⋅3a2=12a5 D．-8a4÷4a=2a 4．若a、b、c为一个三角形的三条边，则代数式(a-c) 2-b2的值（ ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 5．下列运算正确的是（ ） A．2a2﹣a2=2 B．2a•3a=6a2 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a6÷a2=a3 6．下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) A．(4x-3 y)(-3 y-4x) B．(2x2- y2 )(2x2+ y2 ) C．(a+b-c)(-c-b+a) D．(-x+ y)(x- y) 二、填空题 7．计算 ①(2x+ y)(2x- y)= ； ②(2x+3 y) 2= . 8．已知 (a+b) 2=49 ， a2+b2=25 ，则 ab= . 9．已知实数a、b满足a-b=3，ab=2，则a²+b²的值为 。 10．已知关于x的二次三项式x2+2mx﹣m2+4是一个完全平方式，则m的值为 三、计算题 11．计算 （1）a2b(ab-4b2)； （2）(2x+4)(x-2)； （3）(2x-y)2-(2x)2 ；（4）598×602（用简便方法计算）. 四、解答题 12．计算： （a+b) 2-a(a+2b+1) 13．光明村正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则 增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 五、综合题 14．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用 的式子，或可以求出一些不规则图形的面积． （1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正 方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来． （2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一 直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分 的面积吗？ 15．先阅读下面的内容，再解决问题： 例题；若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值。 解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0， 所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0， 所以(m+n)2+ (n-3)2=0， 所以m+n=0，n-3=0， 所以m=-3，n=3． 问题； （1）若x2+2y2-2xy+6y+9=0，求x的值； （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=6a+8b-25。且c是△ABC中最长 的边，求c的取值范围。