14.2乘法公式（讲+练）16大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)（解析版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练

14.2 乘法公式 平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 注意：在这里， 既可以是具体数字， (3x5y)(3x5y) 也可以是单项式或多项式. （2）系数变化：如 抓住公式的几个变形形式利于理解公 (m3n2)(m3n2) （3）指数变化：如 式.但是关键仍然是把握平方差公式的典 (ab)(ab) （4）符号变化：如 型特征：既有相同项，又有“相反项”， （ 5 ） 增 项 变 化 ： 如 而结果是“相同项”的平方减去“相反 项”的平方.常见的变式有以下类型： (mn p)(mn p) (ab)(ba) （ 6 ） 增 因 式 变 化 ： 如 （1）位置变化：如 利 用加法交换律可以转化为公式的标准型 (ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4) 题型1：平方差公式-用面积探究公式 1.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪下， 拼成右边的矩形，由图形①到图形②的变化过程能够验证的一个等式是（ ）A．a(a+b)=a2+ab B．a2-b2=(a+b)(a-b) C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．a(a-b)=a2-ab 【答案】B 【解析】【解答】解：由图形①可知剪掉后剩下的图形面积是：a2-b2， 图形②的长为(a+b)，宽为(a-b)，所以面积是：(a+b)(a-b)， ∴a2-b2=(a+b)(a-b) 故答案为：B. 【分析】由图形①可知剪掉后剩下的图形面积是a2-b2，图形②的长为(a+b)，宽为(a- b)，表示出其面积，进而可得等式. 【变式1-1】如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 (a>b) ， 把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式 （ ） A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)(a-b)=a2-b2 C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．(a-b) 2=a2-2ab+b2 【答案】A 【解析】【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2−b2， 1 右图中梯形的面积是 （2a＋2b）（a−b）＝（a＋b）（a−b）， 2 ∴a2−b2＝（a＋b）（a−b）. 故答案为：A. 【分析】左图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，右图中阴影部分的面积=梯形的面积，根据面积相等可得公式. 【变式1-2】如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余 部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 D．a2＋ab＝a（a＋b） 【答案】A 【解析】【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2， 矩形的面积＝（a+b）（a﹣b）， 故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：A． 【分析】利用阴影部分的面积等于大正方形的面积﹣小正方形的面积列出等式a2﹣b2＝ （a+b）（a﹣b），即可得到答案。 题型2：平方差公式-识别 2.下列式子可用平方差公式计算的是（ ） A．(a+b)(a−b) B．(a−b)(b−a) C．(a+2b)(2b+a) D．(y-2x)( 2x +y) 【答案】D 【解析】【解答】解：A.括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错 误； B.括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误； C.括号中的两项符号都相同，不符合公式特点，故此选项错误； D.y的符号相同，2x的符号相反，符合公式特点，故此选项正确. 故答案为：D. 【分析】 由平方差公式(a+b)(a−b) =a2-b2，进行逐一判断即可. 【变式2-1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2 C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 -a2-b2 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意； B、 x2+(- y) 2=x2+ y2 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分 解，不符合题意； C、 (-x) 2+(- y) 2=x2+ y2 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行 分解，不符合题意； D、 -m2+1=12-m2=(1+m)(1-m) ，可以利用平方差公式进行分解，符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据平方差公式分解因式即可。 【变式2-2】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算 的，写出计算结果． 2a3b3b2a 2a3b2a3b (1) ； (2) ； 2a3b2a3b 2a3b2a3b (3) ； (4) ； 2a3b2a3b 2a3b2a3b (5) ； (6) ． 【点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． 2a3b2a3b 3b2 2a2 9b2 4a2 (2) ＝ － ＝ ． 2a3b2a3b 2a2 3b2 4a2 9b2 (3) ＝ － ＝ ． 2a3b2a3b 2a2 3b2 4a2 9b2 (4) ＝ － ＝ ． 2a3b2a3b 3b2 2a2 9b2 4a2 (5) ＝ － ＝ ． 【总结】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数 的同类项）． 题型3：平方差公式-计算 3.计算（4＋x）（x－4）的结果是（ ） A．x2-16 B．x2+16 C．16-x2 D． -x2-16 【答案】A 【解析】【解答】解：(4+x)(x-4)=x2-42=x2-16， 故答案为：A． 【分析】利用平方差公式计算即可. 【变式3-1】计算 (-2a-3b)(2a-3b) 的结果为（ ） A．4a2-9b2 B．9b2-4a2 C．-4a2-12ab-9b2 D．-4a2+12ab-9b2 【答案】B【解析】【解答】解： (-2a-3b)(2a-3b) = -(2a+3b)(2a-3b) = -[(2a) 2-(3b) 2 ] = 9b2-4a2 ， 故答案为：B. 【分析】根据平方差公式，用完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方可得结 果.  x 3  x 3   y  y    2 2 2 2  (2x)(2x) 【变式3-2】计算：（1） ； （2） ； (3x2y)(2y3x) （3） ． 【答案】  x 2 3  2 x2 9   y   y2     2 2  4 4 解：（1）原式 ． (2)2 x2 4x2 （2）原式 ． (3x2y)(2y3x)(3x2y)(3x2y)9x2 4y2 （3）原式 ． 题型4：平方差公式-混合运算及简便运算 4.2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98． 602 0.12 【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝ ＝3600－0.01＝ 3599.99 1002 22 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝ ＝10000－4＝9996． 【总结】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利 用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样 可顺利地利用平方差公式来计算． 【变式4-1】计算：（1）991×1009 解： 991×1009 =(1000-9)×(1000+9)=10002-92=1000000-81=999919 （2）用公式进行简便计算.20222﹣2023×2021． 解：原式=20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）=20222﹣20222+1=1 （3）(x+2y)(x-2y)-(x+4 y)(x- y) 【答案】解：原式=(x2-4 y2 )-(x2+3xy-4 y2 ) =x2-4 y2-x2-3xy+4 y2=-3xy 【解析】【分析】考查平方差公式、多项式乘多项式运算，结果为-3xy。 【变式4-2】阅读并完成下列各题： 通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快 捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．【例】用简便方法计算995×1005． 解：995×1005 =（1000﹣5）（1000+5）① =10002﹣52② =999975． （1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名 称）； （2）用简便方法计算： 9×11×101×10 001； 【答案】（1）平方差公式 （2）解：9×11×101×10 001 =（10﹣1）（10+1）×101×10 001 =99×101×10 001 =（100﹣1）（100+1）×10 001 =9999×10 001 =（10000﹣1）（10000+1） =99999999； 【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式； 【分析】（1）通过观察，利用平方差公式进行化简。（2）利用平方差公式，进行拆 分，通过观察规律，进行化简。 题型5：平方差公式-巧用公式计算 5.计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1． 解：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1． =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1 =264﹣1+1 =264． 【变式5-1】某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用 两数和乘以这两数差公式计算： 3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1=255． 1 1 1 1 1 请借鉴该同学的经验，计算： (1+ )(1+ )(1+ )(1+ )+ ． 2 22 24 28 215 1 1 1 1 1 1 【答案】解：原式=2（1﹣ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+ 2 2 22 24 28 2151 1 =2（1﹣ ）+ 216 215 =2 【解析】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 完全平方公式 注意：公式特点：左边是两数的和 （或差）的平方，右边是二次三项 ab2 a2 2abb2 完全平方公式： 式，是这两数的平方和加（或减）这 (ab)2  a2 2abb2 两数之积的2倍.以下是常见的变形 （重要）： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上 a2 b2 ab2 2ab （减去）这两数乘积的两倍. ab2 2ab ab2 ab2 4ab 题型6：完全平方公式-用面积探究公式 6.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab 【答案】B 【解析】【解答】解：据题意得： （a+b）2=a2+2ab+b2. 故答案为：B. 【分析】利用正方形和矩形面积公式，结合完全平方公式计算求解即可。 【变式6-1】通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，下图可表示的代数恒等 式是（ ） A．(a-b) 2=a2-2ab+b2 B．2a(a+b)=2a2+2ab C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．(a+b)(a-b)=a2-b2【答案】B 【解析】【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b）， 也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab， 即2a（a+b）=2a2+2ab． 故答案为：B． 【分析】根据大长方形的面积等于两个小正方形的面积和两个长方形的面积之和，依 此列出等式，再将两边计算化简，即可作出判断. 【变式6-2】如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可 以验证下列哪个计算公式（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【答案】A 【解析】【解答】根据题意得： 图1中阴影部分面积＝（a﹣b）2， 图2中阴影部分面积＝a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：A． 【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答． 题型7：完全平方公式-识别 7.下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A．(x- y)(x+ y) B．(x- y)(x- y) C．(x- y)(-x- y) D．-(x+ y)(x- y) 【答案】B 【解析】【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，不符合题意； B、原式＝x2﹣2xy+y2，符合题意； C、原式＝y2﹣x2，不符合题意； D、原式＝﹣x2+y2，不符合题意， 故答案为：B.【分析】根据(a b)2=a2 2ab+b2进行逐一判断即可. 【变式7-1】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） 1 1 C．(- p+q)(q+ p) D．（2x﹣3y）（2x+3y） 2 2 【答案】B 【解析】【解答】A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意； B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意； 1 C、原式＝q2﹣ p2，本选项不合题意； 4 D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意， 故答案为：B． 【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意； B、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意； C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意； D、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意． 【变式7-2】下列式子满足完全平方公式的是（） A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y） C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x） 【答案】D 【解析】【解答】完全平方指的是两数的和（差）相乘，即两因式相同，故选D． 【分析】根据完全平方的定义直接得出答案． 题型8：完全平方公式-计算 8.下列计算正确的是（ ） A．（2a+b）2=4a2+b2 B．（5x-2y）❑ 2=25x2-10xy+4 y2 1 1 C．（ x- y）2= x2-xy+ y2 2 2 1 1 1 1 1 D．（ x+ ）2= x2+ x+ 2 3 4 3 9 【答案】D 【解析】【解答】解：A.（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故不符合题意； B.（5x-2y）❑ 2=25x2-20xy+4 y2，故不符合题意； 1 1 C.（ x- y）2= x2-xy+ y2 ，故不符合题意； 2 41 1 1 1 1 D.（ x+ ）2= x2+ x+ ，符合题意； 2 3 4 3 9 故答案为：D 【分析】利用完全平方公式逐项判断即可。 【变式8-1】下列运算正确的是（ ） A．(x+y)2 =x2+y2 B．(x-y)2=x2+2xy+y2 C．(x+y)2 =x2+y2 +2xy D．(x-y)2=x2-xy+y2 【答案】C 【解析】【解答】解：∵(x+ y) 2=x2+2xy+ y2，(x- y) 2=x2-2xy+ y2 只有C选项正确 故答案为：C 【分析】利用完全平方公式进行逐一判断即可. 【变式8-2】计算： 3ab2 32a2 x2y2 2x3y2 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公 式. 【答案】 3ab2 3a2 23abb2 9a2 6abb2 解：(1) ． 32a2 2a32 2a2 22a332 4a2 12a9 (2) ． x2y2  x2 2x2y2y2  x2 4xy4y2 (3) ． 2x3y2 2x3y2 2x2 22x3y3y2 4x2 12xy9y2 (4) ． 【总结】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结 果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符 ab2 ab2 号为负．(2)注意 之间的转化． 题型9：完全平方公式-混合运算 9.简便计算： （1）982 （2）20202﹣4040×2019+20192 【答案】（1）解： 982＝（100﹣2）2 ＝1002﹣2×100×2+22 ＝10000﹣400+4 ＝9604； （2）解：20202﹣4040×2019+20192＝20202﹣2×2020×2019+20192 ＝（2020﹣2019）2 ＝12 ＝1． 【解析】【分析】（1）由982＝（100﹣2）2，根据完全平方公式展开即可；（2）﹣ 4040×2019＝﹣2×2020×2019，将原式变形后，根据完全平方公式计算即可． （3）计算（2x+y）2﹣（y﹣2x）2 【答案】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣y2+4xy﹣4x2＝8xy 【解析】【分析】先根据完全平方公式展开，再合并同类项即可. 【变式9-1】计算：（1）(2x+3 y) 2-(2x+ y)(2x- y) 解：原式 =4x2+12xy+9 y2-(4x2- y2 )=4x2+12xy+9 y2-4x2+ y2=12xy+10 y2 1 （2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+ ）2 x 1 1 解：原式＝x2﹣4﹣x2﹣2﹣ ＝﹣6﹣ x2 x2 （3） (x+2) 2-(x+1)(x-1) ． 【答案】解：原式=x2+4x+4﹣x2+1=4x+5 （4）9（a－1）2－（3a＋2）（3a－2）； 解：9（a－1）2－（3a＋2）（3a－2） =9(a2-2a+1)-(9a2-4) =9a2-18a+9-9a2+4 =-18a+13。 【变式9-2】（1）简算：20182－4036×2017＋20172 解：20182－4036×2017＋20172 =20182－2×2018×2017＋20172 =(2018-2017) 2 =1 （2）计算(2x+ y) 2-(2x+3 y)(2x-3 y) 解：(2x+ y) 2-(2x+3 y)(2x-3 y)， =4x2+4xy+ y2-(4x2-9 y2 )， =4x2+4xy+ y2-4x2+9 y2， =4xy+10 y2． 题型10：完全平方公式-公式变形求代数式的值 10.a+b=5，ab=-2，求a2+b2和（a-b）2 的值.【答案】解：∵a+b=5，ab=-2， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×（-2）=29； （a-b）2=a2+b2-2ab=29-2×（-2）=33. 【解析】【分析】①将a2+b2变形为（a+b）2-2ab，再代入计算即可；② 利用完全平方 公式可得（a-b）2=a2+b2-2ab ，然后整体代入计算即可. 【变式10-1】已知 (m+n) 2=9,(m-n) 2=1 ，求 m2+n2+mn 的值. 【答案】解：∵(m+n) 2=m2+2mn+n2=9①， (m-n) 2=m2-2mn+n2=1②， ①+②得 m2+n2=5 ， ①-②得 mn=2 ， ∴m2+n2+mn=5+2=7 . 【解析】【分析】利用完全平方公式将两个等式的左边展开 ，然后将两个等式相加可 以得出 m2+n2=5 ， 将两个等式相减可以得出 mn=2 ， 从而整体代入即可算出答 案. 【变式10-2】已知 (a+b) 2=60 ， (a-b) 2=80 ，求 a2+b2 及 ab 的值． 【答案】解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80， ∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②， ∴①+②得：2（a2+b2）=140， 解得：a2+b2=70， ∴70+2ab=60， 解得：ab=-5． 【解析】【分析】利用完全平方公式的展开，再计算即可。 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负 号，括到括号里的各项都改变符号. 注意：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号 是否正确. 题型11：完全平方公式-添括号 11.运用乘法公式计算： (a2b3)2 (a2b3c)(a2b3c) （1） ；（2） ． 【点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将 a2b3化成a(2b3)，看成a与(2b3)和的平方再应用公式；（2）是两个三项式 相乘，其中a与a完全相同，2b，3c与2b，3c分别互为相反数，与平方差公式特征 一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为 “另一项”． 【答案】 [a(2b3)]2 a2 2a(2b3)(2b3)2 解：（1）原式a2 4ab6a4b2 12b9 a2 4b2 4ab6a12b9 ． [a(2b3c)][a(2b3c)]a2 (2b3c)2 a2 4b2 12bc9c2 （2）原式 ． 【总结】配成公式中的“a”“b”的形式再进行计算. 【变式11-1】运用乘法公式计算： abcabc 2x y1y12x (1) ； (2) ； x yz2 2a3b112a3b (3) ； (4) ． 【答案】 abcabc a b c a b c 解：(1) ＝[ －( － )][ ＋( － )] a2 bc2 a2   b2 2bcc2 ＝ a2 b2 2bcc2 ＝ ． 2x y1y12x x y x y (2) ＝[2 ＋( －1)][2 －( －1)] 2x2 y12 4x2   y2 2y1  ＝ 4x2  y2 2y1 ＝ ． x yz2  x yz 2 x y2 2x yzz2   (3) x2 2xy y2 2xz2yzz2 ＝ ． 2a3b112a3b 2a3b12 (4) ＝ [(2a＋3b)2－2(2a＋3b)＋12] ＝－ (2a)2 22a3b3b2 4a6b1   ＝－ －4a2－12ab－9b2＋4a＋6b－1 ＝ 题型12：完全平方公式-构造完全平方公式 12.若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17 y2-16xy-4 y+4=0，求 △ABC的周长． 【答案】解：∵4x2+17 y2-16xy-4 y+4=0， ∴4x2-16xy+16 y2+ y2-4 y+4=0， 则(2x-4 y) 2+(y-2) 2=0， ∴2x-4 y=0，y-2=0， 解得：x=4，y=2． 当2为腰，4为底时，△ABC不存在； 当4为腰，2为底时，△ABC的周长=2×4+2=10 【解析】【分析】把左式配成两个完全平方式之和的形式，然后根据非负数之和等于 0，则每个非负数等于0，分别列方程联立求解，再分两种情况讨论，即当2为腰，4 为底时，当4为腰，2为底时， 先根据三角形的三边的关系进行判断，再求其周长即可. 【变式12-1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm， 求△ABC的周长. 【答案】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0， ∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0， 又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a﹣2=0，b﹣4=0， ∴a=2，b=4， ∴△ABC的周长为a+b+c=2+4+3=9， 答：△ABC的周长为9. 【解析】【分析】由a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，利用非负数的性质可求得a，b的值，然后 根据三角形的周长公式进行求解即可得. 1 【变式12-2】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+ c2 ＝ac+bc，试 2 判定△ABC的形状，并说明理由． 【答案】无法构成△ABC．理由如下： 1 ∵a2+b2+ c2=ac+bc ， 2 1 ∴a2+b2+ c2-ac-bc=0 ， 2 1 1 ∴(a2-ac+ c2 )+(b2-bc+ c2 )=0 ， 4 4 1 2 1 2 ∴(a- c) +(b- c) =0 ， 2 2 1 1 ∴a- c=0 且 b- c=0 ， 2 2 1 1 即 a= c 且 b= c ， 2 2 ∴a+b=c， ∴无法构成△ABC． 1 1 【解析】【分析】将已知等式移项后变形为 (a2-ac+ c2 )+(b2-bc+ c2 )=0 ，即 4 4 1 2 1 2 1 1 (a- c) +(b- c) =0 ，据此可得 a= c 且 b= c ，继而知a+b=c，即可作出判 2 2 2 2断． 题型13：用乘法公式证明整除问题 13.求证：对任意整数 n,整式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值都能被 10整 除． 【解答】证明：原式=（3n）2-1-（32-n2） =9n2-1-9+n2 =10n2-10 =10（n2-1）． ∵n为整数， ∴10（n2-1）能被10整除， ∴对任意整数n,原式的值都能被10整除． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关 键． 【变式13-1】求证：对任意自然数 n,式子（n-1）（n+1）-（n-5）（n-7）的值都能被 12整除． 【分析】应用平方差公式及多项式乘多项式进行计算得12（n-3），由n为自然数，即 12（n-3）能被12整除，即可得出答案． 【解答】证明：（n-1）（n+1）-（n-5）（n-7） =（n2-1）-（n2-12n+35） =n2-1-n2+12n-35 =12n-36 =12（n-3）， ∵n为自然数，12（n-3）能被12整除， ∴对任意自然数n,式子（n-1）（n+1）-（n-5）（n-7）的值都能被12整除． 【点评】本题主要考查了平方差公式及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式及多项式 乘多项式的法则进行求解是解决本题的关键． 【变式13-2】设两个连续奇数为 2n-1和2n+1，则这两个数的平方差（较大的减去较小 的）是否一定被8整除？请说明理由． 【分析】先列出算式，再根据完全平方公式进行计算，再判断即可． 【解答】解：设两个连续奇数为2n-1和2n+1，则这两个数的平方差（较大的减去较小 的）一定能被8整除， 理由是：（2n+1）2-（2n-1）2 =4n2+4n+1-4n2+4n-1 =8n, 8n÷8=n, ∵n为整数， ∴设两个连续奇数为2n-1和2n+1，则这两个数的平方差（较大的减去较小的）一定能被8整除． 【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，注意： （a+b）（a-b）=a2-b2，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2． 题型14：乘法公式在几何中的应用 14.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长 方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，求等式。 （2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值． 【答案】解：（1）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn=（m﹣ n）2 （2）（m﹣2n）2=（m+2n）2﹣8mn=25， 则m﹣2n=±5． 【解析】【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也 可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系； （2）根据（1）所得出的关系式，可求出（m﹣2n）2，继而可得出m﹣2n的值． 【变式14-1】用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所 示，已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，用x、y（x＞y）分别表示小长 方形的两边长． （1）求x2+y2的值； （2）求xy的值． 【答案】（1）解：∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4， ∴（x+y）2＝36， （x﹣y）2＝4， 即x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4， 两式相加，可得2（x2+y2）＝40， ∴x2+y2＝20；（2）解：∵x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4， 两式相减，可得4xy＝32， ∴xy＝8． 【解析】【分析】（1）依据大正方形的面积为 36，小正方形的面积为 4，可得 （x+y）2=36，（x-y）2=4，展开变形即可得到 x2+y2的值；（2）依据（x+y）2=36， （x-y）2=4，展开变形即可得到xy的值． 【变式14-2】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到 一个等式．例 如图1可以得到 (a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 ．请解答下列问题： （1）根据图2，完成数学等式： (2a) 2 = ； （2）观察图3，写出图3中所表示的等式： ＝ . （3）若 a=7x-5 、 b=-4x+2 、 c=-3x+4 ，且 a2+b2+c2=37 ，请利用 （2）所得的结论求： ab+bc+ac 的值 【答案】（1）4a2 （2）(a+b+c) 2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （3）解：由 (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 得： [(7x-5)+(4x+2)+(-3x+4)] 2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) 12=37+2(ab+ac+bc) ab+ac+bc=-18 【解析】【解答】解：（1） 4a2 ； （2） (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘。（2）正方形面积公式，边长乘边 长。先求出大正方形的面积，他就等于里面所拼接的各个小的正方形面积的和（3）将 各个的值代入（2）得到的公式中，进行化简，消除同类项，最终得到值 题型15：乘法公式与化简求值 1 15.先化简，再求值： (a+b)(a-b)+(a-b) 2-a(2a-3b) ，其中 a=- ,b=1 2【答案】解：原式=a2-b2+a2-2ab+b2-2a2+3ab=ab， 1 1 当a= - ，b=1时，原式= - ． 2 2 【解析】【分析】根据平方差公式以及完全平方公式的性质，化简式子，代入a和b的 值，求出答案即可。 1 【变式15-1】先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)，其中a= 2 【答案】解：原式=a2+6a+9-(a2-1)-4a-8， =2a+2， 1 当a= 时， 2 1 ∴原式=2× +2=3 2 【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式，将式子化简得到答案，继而代入a 的值求出答案即可。 1 【变式15-2】先化简，再求值： (2x+ y) 2-(2x+ y)(2x- y) ，其中 x= ， y=3 2 ． 【答案】解：原式 =4x2+4xy+ y2-(4x2- y2 ) ， =4x2+4xy+ y2-4x2+ y2 ， =4xy+2y2 ， 1 ∵x= ， y=3 ， 2 1 ∴原式= 4× ×3+2×32 ， 2 =6+18 ， =24 . 【解析】【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的性质，化简式子得到答案，代 入x和y的值，得到答案即可。 题型16：用乘法公式解规律探究题 16.阅读下面内容回答问题： （x-1）（x+1）=x2-1 （x-1）（x2+x+1）=x3-1 （x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1 （x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1 ……（1）按这样的规律写出第6个式子 （2）用你找出的规律计算1+2+22+23+24+25+26的值 【分析】（1）根据规律写出第6个式子； （2）把1化为（2-1），原式化为（2-1）（1+2+22+23+24+25+26），根据规律写出结 果． 【解答】解：（1）第6个式子：x7-1， 故答案为：x7-1； （2）1+2+22+23+24+25+26 =（2-1）（1+2+22+23+24+25+26） =27-1． 【点评】本题主要考查了平方差公式、多项式与多项式相乘，掌握平方差公式、多项式 与多项式相乘的法则，巧妙运用规律进行计算是解题关键． 【变式 16-1】观察下面各式规律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32= （2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论． 【分析】本题考查学生的观察归纳的能力．仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的 左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证 明结论． 【解答】解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2， 证明：因为左边=n2+[n（n+1）]2+（n+1）2， =n2+（n2+n）2+（n+1）2， =（n2+n）2+2n2+2n+1， =（n2+n）2+2（n2+n）+1， =（n2+n+1）2， 而右边=（n2+n+1）2， 所以，左边=右边，等式成立． 【点评】本题考查了完全平方公式，关键是凑成（n2+n）2+2 （n2+n）+1的形式，考查 了学生对完全平方公式的变形应用能力． 【变式16-2】你能很快计算出19952吗？ （1）通过计算，探索规律： 152=225=100×（1+1）+25， 252=625=100×2×（2+1）+25， 352=1225=100×3×（3+1）+25， 452=2025=100×4×（4+1）+25， … 752=5625= 852=7225= … （2）观察以上结果，归纳、猜想得（10n+5）2= 。并运用整式运算的知识给予说明． （3）利用上述结论，计算19952． 【分析】根据题目给出的计算过程可得规律：第n个数可以表示为100×n× （n+1）+25，据此填空即可． 【解答】解：（1）752=5625=100×7×（7+1）+25 852=7225=100×8×（8+1）+25． 故答案是：100×7×（7+1）+25；100×8×（8+1）+25； （2）100n（n+1）+25，（10n+5）=100n2+100n+25=100n（n+1）+25． 故答案是：100n（n+1）+25； （3）19952=100×199（199+1）+25=3980025． 【点评】此题考查了完全平方数的计算技巧，同时考查了规律的探索问题，可以激发同 学们的探索意识，激发学习兴趣． 一、单选题 1．下面计算正确是（ ） A．x3+4x3＝5x6 B．a2•a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故本选项不符合题意； B、a2•a3＝a5，故本选项不符合题意； C、（﹣2x3）4＝16x12，故本选项符合题意； D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本选项不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据合并同类项即可判断A；根据同底数幂的乘法法则求出即可判断B；根据 积的乘方和幂的乘方的运算法则求出即可判断C；根据平方差公式求出即可判断D． 2．下列运算正确的是（ ） A．2x+3x=6x B．(x-2) 2=x2-4 C．(-x3 ) 2=x5 D．x3 ⋅x4=x7 【答案】D 【解析】【解答】解：A. 2x+3x=5x , 故A选项错误； B. (x-2) 2=x2-4x+4 ，故B选项错误； C. (-x3 ) 2=x6 ; 故C选项错误； D. x3 ⋅x4=x7 ,故 D项计算正确.故答案为：D. 【分析】根据题目要求可知，通过合并同类项，整式的乘法之完全平方公式，幂的乘 方，同底数幂的乘法的等运算性质，即可解答本题. 3．下列计算正确的是（ ） A．(a+b) 2=a2+b2 B．(-2a3 ) 2=4a5 C．4a3 ⋅3a2=12a5 D．-8a4÷4a=2a 【答案】C 【解析】【解答】解：A、完全平方公式，（a+b）2=a2+2ab+b2，选项不符合题意； B、积的乘方，(-2a3 ) 2=4a6，选项不符合题意； C、同底数幂相乘，4a3•3a2=12a5，选项符合题意； D、同底数幂相除，-8a4÷4a=-2a3，选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用完全平方公式、积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式和单项式除以单 项式的计算方法逐项判断即可。 4．若a、b、c为一个三角形的三条边，则代数式(a-c) 2-b2的值（ ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【答案】B 【解析】【分析】先根据平方差公式分解因式，再根据三角形的三边关系分析即可. 【解答】(a-c) 2-b2=(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)[a-(b+c)] ∵a、b、c为一个三角形的三条边，由三角形的任意两边和大于第三边，得 ∴a+b-c>0，a-(b+c)<0 ∴(a+b-c)[a-(b+c)]<0 故选B. 【点评】解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边 之差小于第三边. 5．下列运算正确的是（ ） A．2a2﹣a2=2 B．2a•3a=6a2 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a6÷a2=a3 【答案】B 【解析】【解答】解：A、2a2﹣a2=a2，故选项错误； B、2a•3a=6a2，故选项正确； C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故选项错误；D、a6÷a2=a4，故选项错误． 故选B． 【分析】A、利用合并同类项法则进行计算，即可判断； B、利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可判断； C、利用完全平方公式进行计算，即可判断； D、利用同底数幂的除法法则进行计算，即可判断． 6．下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) A．(4x-3 y)(-3 y-4x) B．(2x2- y2 )(2x2+ y2 ) C．(a+b-c)(-c-b+a) D．(-x+ y)(x- y) 【答案】D 【解析】【解答】A. 原式=(−3y+4x)(−3y−4x)，可以运用平方差公式，故本选项不符合 题意； B. 符合两个数的和与这两个数差的积的形式，可以运用平方差公式，故本选项不符合 题意； C. 可以把−c+a看做一个整体，故原式=(−c+a+b)(−c+a−b)，可以运用平方差公式，故 本选项不符合题意； D. 不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，所以不可以运用平方差公式，故 本选项符合题意。 故答案为：D. 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于证两个数平方差，即 （a+b）(a-b)=a2-b2,据此逐一判断即可. 二、填空题 7．计算 ①(2x+ y)(2x- y)= ； ②(2x+3 y) 2= . 【答案】4x2- y2；4x2+12xy+9 y2 【解析】【解答】解： ①(2x+ y)(2x- y)=4x2- y2 ， ②(2x+3 y) 2=4x2+12xy+9 y2 ， 故答案为： 4x2- y2 ； 4x2+12xy+9 y2 . 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别进行计算即可. 8．已知 (a+b) 2=49 ， a2+b2=25 ，则 ab= . 【答案】12 【解析】【解答】解： (a+b) 2=a2+2ab+b2 ，将 a2+b2=25 ， (a+b) 2=49 代入， 可得： 2ab+25=49 ， 则 2ab=24 ， 所以 ab=12.故答案为：12. 【分析】根据完全平方公式可得(a+b)2=a2+2ab+b2，然后将已知条件代入就可求出ab的 值. 9．已知实数a、b满足a-b=3，ab=2，则a²+b²的值为 。 【答案】13 【解析】【解答】解：∵ a-b=3，∴（a-b）2=9，∴ a²-2ab+b² =9,又∵ ab=2 ∴ a²+b² =13. 故答案为：13. 【分析】根据等式的性质，将等式的两边同时平方后再根据利用完全平方公式展开即 可解决问题. 10．已知关于x的二次三项式x2+2mx﹣m2+4是一个完全平方式，则m的值为 【答案】 ±√2 【解析】【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+2mx﹣m2+4是一个完全平方式，即 x2+2mx﹣m2+4 ∴﹣m2+4=m2， 解得：m=±√2． 故答案为：±√2． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 三、计算题 11．计算 （1）a2b(ab-4b2)； （2）(2x+4)(x-2)； （3）(2x-y)2-(2x)2 ； （4）598×602（用简便方法计算）. 【答案】（1）解：原式=a3b2−4a2b3 （2）解：原式=2x2−4x+4x−8=2x2−8 （3）解：原式=(2x−y+2x)( 2x-y-2x)=(4x−y)⋅(-y)= y2−4xy （4）解：原式=(600−2)(600+2)=360000−4=359996 【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则，用单项式与多项式的每一项都相 乘，再把所得的积相加； （2）利用多项式乘以多项式的法则，用一个多项式的每一项分别取乘以另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加； （3）利用平方差公式分解因式，再在每一个因式内合并同类项，最后根据单项式乘以 多项式法则，用单项式与多项式的每一项都相乘，再把所得的积相加； （4）由于两个因数都接近600，故可以将原式改写成 (600−2)(600+2) ，然后根据平方差公式算出算出答案。 四、解答题 12．计算： （a+b) 2-a(a+2b+1) 【答案】解：原式=a2+2ab+b2-a2-2ab-a=b2-a. 【解析】【分析】运用完全平方公式，及单项式乘多项式法则化简. 13．光明村正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则 增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案】解：设原绿地的边长为x米，则现在绿地的边长为（x+3）米，根据题意得： （x+3）2－x2=63 解得：x=9. 即原绿地的边长为9米，把x=9代入x2得：x2=81，即原绿地的面积为81平方米. 答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米. 【解析】【分析】设原绿地的边长为x米，则现在绿地的边长为（x+3）米，根据“面 积则增加了63平方米“，列出关于x的方程，求出x的值，再把x的值代入x2即可得 到答案. 五、综合题 14．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用 的式子，或可以求出一些不规则图形的面积． （1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正 方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来． （2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一 直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分 的面积吗？ 【答案】（1）解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：∵a+b=10，ab=20， 1 1 1 1 1 1 3 ∴S =a2+b2﹣ （a+b）•b﹣ a2= a2+ b2﹣ ab= （a+b）2﹣ ab= 阴影 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ×102﹣ ×20=50﹣30=20． 2 2【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种 可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式 （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（2）利用S =正方形ABCD的面积+正方形 阴影 ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解． 15．先阅读下面的内容，再解决问题： 例题；若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值。 解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0， 所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0， 所以(m+n)2+ (n-3)2=0， 所以m+n=0，n-3=0， 所以m=-3，n=3． 问题； （1）若x2+2y2-2xy+6y+9=0，求x的值； （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=6a+8b-25。且c是△ABC中最长 的边，求c的取值范围。 【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+3＝0， ∴x＝﹣3，y＝﹣3， ∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9， 即xy的值是9． （2）解：∵a2+b2＝6a+8b﹣25， a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， ∵c是△ABC中最长的边， 且4﹣3＜c＜3+4， ∴ 4＜c＜7 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的性质，由非负数的性质，即可得到x和y 的值，求出xy的值即可； （2）同理用完全平方公式化简式子，结合非负数的性质，计算得到a和b的值，由三 角形三边关系，确定c的取值范围即可。