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3.2 平面向量的加法运算（讲义）
目录
1
知识点01 三角形法则之向量加法............................................................2
2
知识点02 三角形法则之向量减法............................................................2
3
知识点03 平行四边形法则........................................................................3
4
知识点04 向量的数乘................................................................................3
5
题型一、平面向量的加法.........................................................................3
6
题型二、平面向量的减法.........................................................................6
1 知识点01 三角形法则之向量加法
①向量加法定义：将两个向量首位相接，形成一个封闭的三角形，两个向
量的和为这个三角形的第三边，即在三角形中：⃗AB+⃗BC =⃗AC（首位相接的加
法）
②向量加法的推广，如：⃗BA +⃗AC =⃗BC，⃗AM +⃗M N =⃗A N
2 知识点02 三角形法则之向量减法
①相反向量：模长相等，方向相反的向量
②相反向量图示：⃗AB与⃗B A
③利用数乘表示相反向量：⃗AB与-⃗AB向量为相反向量，所以-⃗AB=⃗BA
④向量减法定义：将两个起点相同的向量，形成一个封闭的三角形，两个
向量的差为这个三角形的第三边，即在三角形中：⃗AB -⃗AC =⃗CB（起点相同的
减法）
⑤向量减法的推广，如：⃗OA -⃗OB =⃗BA，⃗AM -⃗AN =⃗NM
【注意】⃗
AB+⃗BC =⃗AC
C
B
A⃗
a+⃗b=⃗c⃗
c⃗
b⃗
a
A
B
B
A⃗
AB -⃗AC =⃗C B
C
B
A
①向量表达式中的零向量写成⃗0，而不能写成0．
②向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合
③要注意运用三角形法则时，两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进
行平移，使之符合条件．
3 知识点03 平行四边形法则
①向量减法定义：将两个起点相同的向量，补成一个封闭的平行四边形，
两个向量的和为这个平行四边形的对角线向量，即在平行四边形中：
②要注意运用平行四边形法则时，两个向量必须共起点，和向量与差向量
分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量
4 知识点04 向量的数乘
数乘的定义：求实数λ与向量⃗a的积的运算
①| λ⃗a|=| λ||⃗a|
②当λ>0时，λ⃗a与⃗a的方向相同；
③当λ<0时，λ⃗a与⃗a的方向相同；
④当λ =0时，λ⃗a=0
⑤λ( μ⃗a)=( λμ)⃗a
⑥( λ+ μ)⃗a= λ⃗a+ μ⃗a
⑦λ(⃗a+⃗b)= λ⃗a+ λ⃗b
5 题型一、平面向量的加法
1．⃗AC -⃗BD +⃗CD =（ ）
A．⃗AB
B．⃗BA
C．⃗BC
D．0
D⃗
AB+⃗A D =⃗A C ⃗AB -⃗AD
C
B
A
2⃗a⃗
a
-⃗a
2．⃗AB -⃗AD +⃗BD -⃗CD =（ ）
A．⃗AC
B．⃗DC
C．⃗BC
D．⃗CD
3．在△ABC中，点M 为边BC 的中点，点N 在AM 上，且⃗AN =3⃗NM，则⃗
CN =（ ）
A．3
8⃗AB+ 5
8⃗AC
B．1
8⃗AB+ 7
8⃗AC
C．3
8⃗AB - 5
8⃗AC
D．1
8⃗AB - 7
8⃗AC
4．如图，在平行四边形ABCD 中，O为对角线的交点，则⃗AO+⃗OB+⃗AD =
（ ）
A．⃗AC
B．⃗AD
C．⃗BD
D．⃗0
5．下列关于向量的线性运算，不正确的是（ ）
A．⃗AB+⃗BC +⃗CA =⃗0
B．⃗AB -⃗AC =⃗BC
C．0⋅⃗AB =⃗0
D．λ( μ⃗a)=( λμ)⃗a
6．⃗CA +⃗AB+⃗BD =（ ）
A．⃗AB
B．⃗BA
C．⃗CD
D．⃗DC
7．如图，在△ABC中，⃗BC =6⃗DC，则⃗AD =（ ）
A．1
6⃗AB+ 5
6⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
6⃗AC
C．1
7⃗AB+ 6
7⃗AC
D．6
7⃗AB+ 1
7⃗AC
8．⃗AE +⃗EB -⃗CB等于（ ）
A．⃗AB
B．⃗BA
C．⃗CA
D．⃗AC
9．在平行四边形ABCD 中，⃗AB =（ ）
A．⃗AD -⃗AC
B．⃗AC -⃗AD
C．2⃗AC +⃗AD
D．⃗AC +⃗AD
10．⃗AB+⃗BC +2⃗CD -⃗CE = （ ）
A．⃗AD
B．⃗AE
C．⃗AD +⃗CD
D．⃗AD+⃗ED
11．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（ ）
A．⃗DA +⃗DP=⃗PA
B．⃗DA +⃗AB+⃗BP =⃗DP
C．⃗AB+⃗BC +⃗CP =⃗PA
D．⃗PA +⃗PB =⃗BA
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点.若⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗AC =（ ）
A．3⃗a-2⃗b B．⃗a-2⃗b
C．-⃗a+2⃗b D．1
2⃗a+ 1
2⃗b
13．如图，在△ABC中，⃗BO =2⃗OC，则⃗AO等于（ ）
A．1
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
C．2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
D．2
3⃗AB+ 2
3⃗AC
14．如图，在△ABC中，⃗AB =3⃗AD，E 是CD的中点．设⃗CA =⃗a，⃗CB=⃗b．
则正确的是（ ）
A．⃗AB =⃗a-⃗b
B．⃗CD = 1
3⃗a+ 2
3⃗b
C．⃗CE = 1
3⃗a+ 1
3⃗b
D．⃗AD = 1
3⃗b- 1
3⃗a
15．如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设⃗AD =⃗a,⃗AB =⃗b，则⃗
DE =（ ）
A．1
2⃗a-⃗b B．⃗a- 1
2⃗b
C．1
2⃗a+⃗b
D．-⃗a+ 1
2⃗b
6 题型二、平面向量的减法
1．在△ABC中，⃗AB -⃗AC =（ ）
A．⃗AB
B．⃗AC
C．⃗CB
D．⃗0
2．设D为△ABC所在平面内一点，⃗DC =3⃗BC，则（ ）
A．⃗AC = 3
2⃗AB - 1
2⃗AD
B．⃗AC = 4
3⃗AB - 1
3⃗AD
C．⃗AC =3⃗AB -2⃗AD
D．⃗AC = 4⃗AB -3⃗AD
3．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足⃗BD =2⃗DC，则向量⃗AD =
（ ）
A．1
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
C．2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
D．2
3⃗AB+ 2
3⃗AC
4．设D，E 为△ABC所在平面内两点，⃗AD =⃗DC，⃗CB =2⃗BE，则（ ）
A．⃗DE =-⃗AB+ 3
2⃗AC
B．⃗DE =- 3
2⃗AB+⃗AC
C．⃗DE =-⃗AB - 3
2⃗AC
D．⃗DE = 3
2⃗AB -⃗AC
5．下列各式中不能化简为⃗PQ的是（ ）
A．⃗AB+(⃗PA +⃗BQ)
B．⃗PA +⃗AB -⃗BQ
C．⃗QC -⃗QP+⃗CQ
D．(⃗AB+⃗PC)+(⃗BA -⃗QC)
6．化简⃗CM +⃗MA +⃗BC -⃗BA =（ ）
A．2⃗MC
B．2⃗CB
C．2⃗BC
D．⃗0
7．化简：⃗AB+⃗CD -⃗AD =（ ）
A．⃗CB
B．⃗BC
C．⃗DC
D．⃗CD
8．在△ABC中，AD为BC边上的中线，3⃗ED =2⃗AD，则⃗BE =（ ）
A．- 5
6⃗AB+ 1
6⃗AC
B．- 1
6⃗AB - 5
6⃗AC
C．- 5
6⃗AB - 1
6⃗AC
D．- 1
6⃗AB+ 5
6⃗AC
9．如图，向量⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗CD =⃗c，则向量⃗BD可以表示为（ ）
A．⃗a+⃗b-⃗c
B．⃗a-⃗b+⃗c
C．⃗b-⃗a+⃗c
D．⃗b-⃗a-⃗c
10．在△ABC中，⃗AN =3⃗NC ,⃗BP = 4⃗PN，则⃗AP =（ ）
A．1
5⃗AB+ 3
5⃗CA
B．3
5⃗AB - 4
5⃗CA
C．3
5⃗AB - 1
5⃗CA
D．1
5⃗AB - 3
5⃗CA
11．如图，矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的三等分点，点F是线段
BC的中点，则⃗DE =（ ）
A．8
9⃗DF - 5
9⃗AC
B．10
9⃗DF - 5
9⃗AC
C．- 8
9⃗DF + 5
9⃗AC
D．- 10
9⃗DF + 5
9⃗AC
12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，⃗AB = ⃗a，⃗AD = ⃗b，则用⃗a，⃗b表示
向量⃗AC和⃗BD分别是（ ）
A．⃗a＋⃗b和⃗a－⃗b
B．⃗a＋⃗b和⃗b－⃗a
C．⃗a－⃗b和⃗b－⃗a
D．⃗b－⃗a和⃗b＋⃗a
13．在平行四边形ABCD中，点E是CD上靠近C的四等分点，BE与AC交于
点F，则⃗DF =（ ）
A．3
5⃗AB - 2
5⃗AD
B．4
5⃗AB - 1
5⃗AD
C．3
4⃗AB - 1
4⃗AD
D．2
5⃗AB - 3
5⃗AD
14．化简⃗OP+⃗PS -⃗OQ的结果等于（ ）
A．⃗SP
B．⃗OQ
C．⃗SQ
D．⃗QS
15．在△ABC中，BD = 1
3 BC，E 为AD 的中点，则⃗EB =（ ）
A．2
3⃗AB - 1
6⃗AC
B．1
6⃗AB - 2
3⃗AC
C．2
3⃗AB+ 1
6⃗AC
D．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
