文档文本内容
第09 讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................1
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）.............................................................................................1
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）..................................................................................4
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）.........................................................................................7
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）..............................................................................9
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）........................................................................12
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）.............................................................15
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）.......................................18
第一部分：基础知识
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式
，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理
，
，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根
据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）
典型例题
例题1．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角A；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
例题2．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
，且
的面积为1，求
的周长．
例题3．已知三角形
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
.
(1)求角
；
(2)求
的最大值，并求出此时
的周长.
精练高频考点
1．在
中，角
的对边分别是
，
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积是
，求
的周长．
2．已知
中，角
所对的边分别为
，
的面积满足
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的周长．
3．如图，已知
的内角
的对边分别为
，
.
(1)求
；
(2)若
边上的中线
，且
，求
的周长.
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）
典型例题
例题1．在
中，已知
的平分线
与边
相交于点
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求
.
例题2．在
中，内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，
的周长为5，求
的长．
例题3．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
．
(1)求角
；
(2)若
，三角形
的面积为
．求
．
精练高频考点
1．已知
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
.
(1)求角C；
(2)若
，
的面积为
，求a，c.
2．已知函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期与单调增区间；
(2)设
中，角
，
，
的对边长分别为
，
，，若
，
，
的面积为
，
求
的值.
3．在
中，内角
的对边分别为
的面积满足：
(1)求
；
(2)若
平分
，且
，求．
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）
典型例题
例题1．记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
．
(1)求A；
(2)求
周长的最大值．
例题2．已知
的内角
所对的边分别为
，
，并且______．
①
；
②
．
从上面两个条件中任选一个，补充在问题中，并解答下列问题．
(1)求角
；
(2)求
周长的最大值．
例题3．已知
的面积为
，
．
(1)求C 的大小；
(2)求
周长的最小值．
精练高频考点
1．在
中，角
对应的边分别为
，已知
，
为
中点，
．
(1)证明
为等腰三角形；
(2)若
，求
周长的最小值．
2．已知
的外接圆半径为1，内角
，
，
的对边分别为
，
，.
(1)若
边上的高为1，求
的面积的最大值；
(2)若
，求
的周长的最大值.
3．在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的最大值.
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）
典型例题
例题1．已知
的内角
的对边分别为
，若
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
例题2．记
的角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的最小值．
例题3．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的中线
，求
的最大值．
精练高频考点
1．记
的内角
（其中
为钝角）的对边分别为
，已知
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的最值．
2．记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)若
，求
的大小；
(2)若
的外接圆半径为2，试确定
的关系式，并求
的最大值．
3．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）
典型例题
例题1．在
中，
，
．
(1)求
；
(2)求
周长的取值范围.
例题2．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
周长的取值范围.
例题3．
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的取值范围.
精练高频考点
1．在
中，角A，B，C 所对的边是a，b，c，且满足
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)求
面积的最大值．
(3)求
周长的取值范围.
2．设向量
，
.函数
.
(1)求
的单调增区间；
(2)求
在
上的零点；
(3)在
中，若
，且边
，直接写出
周长的取值范围.
3．在
中，
．若
，
(1)求
面积的最大值；
(2)求
周长的取值范围．
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）
典型例题
例题1．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，且边
的中线
的长为
，求
的面积；
(3)若
是锐角三角形，求
的范围．
例题2．在
中，
，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件
①：
；条件②：
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
例题3．已知向量
，设函数
．
(1)求函数
的最小正周期：
(2)若
，且
，求
的值；
(3)在锐角
中，角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．
精练高频考点
1．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求B．
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围．
2．已知向量
，
，函数
．（注：
表示向量
、
的夹角）
(1)求函数
零点；
(2)若锐角
的三内角
、
、
的对边分别是
、
、，且
，求
的取值范围．
3．已知向量
，
，
，其中A 是
的内角，
.
(1)求角A 的大小；
(2)若角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，求
的取值范围.
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）
典型例题
例题1．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
；
(2)若
的角平分线交
于点
，且
，
，求
边的长度；
(3)若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围.
例题2．在
中，内角
的对边分别是
，已知
，且
.
(1)求
；
(2)若
为
内一点且
，求
长度的最大值；
(3)若
为锐角三角形，求
的周长的取值范围.
例题3．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，
平分
，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
精练高频考点
1．在锐角
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
2．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
，
，
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
(3)若三角形为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围.
3．在①
，②
，③
这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知
是
的三个内角
的对边，且__________.
(1)求
；
(2)若
，求锐角
的周长的取值范围.
