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第09 讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题
目录
类型一：构造
或
(
，且
)型....................................2
类型二：构造
或
(
，且
)型....................................7
类型三：构造
或
型............................................................11
类型四：构造
或
型...........................................................16
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数.................................................................20
1、两个基本还原
①
②
2、类型一：构造可导积函数
①
高频考点1：
②
高频考点1：
高频考点2
③
高频考点1：
④
高频考点1：
高频考点2
⑤
⑥
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
3、类型二：构造可商函数
①
高频考点1：
②
高频考点1：
高频考点2：
③
⑥
类型一：构造
或
(
，且
)型
典型例题
例题1．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）已知
是定义在
上的奇函数，
，当
时，有
成立，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来
求解不等式.
【详解】构造函数
，则
，
因为当
时，有
，
故当
时，
，
单调递增；
又因为
是定义在
上的奇函数，
，
故
是偶函数，
则当
时，
是单调递减函数.
又因为
，则
，
不等式
等价于
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以不等式
的解集是
.
故选：A.
例题2．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，对
任意的
都有
成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，再根据函数单调性比较函数值
的大小.
【详解】设
，对
求导，可得
.
因为对任意的
都有
，即
，且
，所以
，这表明
在
上单调递减.
逐一分析选项，
因为
在
上单调递减，所以
，即
，也就是
，所
以A 选项错误.
仅根据已知条件无法得出
，所以B 选项错误.
因为
在
上单调递减，所以
，即
，也就是
，所
以C 选项正确.
因为
在
上单调递减，所以
，即
，也就是
，所以D 选项错误.
不等式一定成立的是
.
故选：C.
例题3．（24-25 高二下·广东·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】令
，由
，得
，函数
在
上单
调递增，
由
，得
，不等式
化为
，
则
，解得
，所以不等式
的解集为
．
故选：B
例题4．（24-25 高二下·山西太原·期中）已知
是定义在
上的函数
的导函数，
且满足
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造
并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正
误.
【详解】令
，则
，即
在R 上单调递减，
所以
，则
，
，
，
，
由
，则
，
所以
，
，
，
.
故选：D
例题5．（24-25 高二下·湖南娄底·期中）设函数
是R 上可导的偶函数，且
，
当
，满足
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先构造函数
，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令
，
∵函数
在
上是可导的偶函数，
∴
在
上也是偶函数
又当
时，
，∴
，
∴
，
∴
在
上是增函数
∵
，
由
得
即不等式转化为
，
∴x 不为0 时有
，
而x 为0 时，不等式显然成立，
∴不等式的解集为
.
故选：C.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·山东威海·期中）定义在
上的奇函数
的导函数为
，当
时，恒有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式.
【详解】根据题意可构造函数
，则
，
由题可知
，所以
在区间
上为增函数，
又由于
为偶函数，
为奇函数，所以
为奇函数，
又
，即
，
所以
，解得
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·浙江·期中）设
是函数
定义在
上的导函数，满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，求导，得到
在
上单调递增，可直接判断
B、C 选项
；举出反例，设
，可判断A、D 选项.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
B 选项，由
，即
，可得
，故B 错误；
C 选项，由
，即
，可得
，故C 正确；
A 选项，因为
，不妨设
（为常数），
即
（为常数），所以
，
令
，故
，当
时，
为常数函数，
此时
，即
，所以
，故A 错误；
D 选项，根据上述分析，
，（为常数），
故
，
，令
，
，
当
时，
，在
上单调递减，
所以
，则
，故D 错误.
故选：C.
3．（24-25 高二下·天津西青·期中）定义在
上的奇函数
满足
时，
成立，若
，
，
则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，利用导数可求得
在
上单调递减，根据
为偶函
数可知其在
上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到
，即可求解.
【详解】令
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，又
是奇函数，
则
，所以
为
上的偶函数，
则
在
上单调递增，又
，
所以
，即
，
故选：B.
4．（24-25 高二下·湖北·期中）已知
是定义在区间
上的函数，其导函数为
，且不等式
恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据不等式可构造函数
，判断出函数
在
上单
调递减即可得出结论.
【详解】由
可得
，
令函数
，
可得
即
在
上单调递减，
因此可得
，即
，所以
.
故选：B
类型二：构造
或
(
，且
)型
典型例题
例题1．（24-25 高二下·福建漳州·期中）已知函数
的定义域为
，满足
（
为
的导函数），设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，判断函数
单调性后即可求解.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
．
故选：B
例题2．（24-25 高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数
在
上可导，导函数为
，满足
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用
为偶
函数及
，推出
，即得
，将所求不等式等价转化为
，利
用单调性即得.
【详解】设
，则
，故函数
在
上为增函数，
因
，且
为偶函数，故
，故
，则
，
于是
等价于
，即
，由函数
的单调性可得
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
精练高频考点
1．（2025·山西·模拟预测）已知函数
在R 上可导，其导函数为
，且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数
利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】设
则
，
故
在R 上单调递减，
且
，即
，
即
，
故
.
故不等式
的解集为
.
故答案为：
2．（24-25 高三下·全国·课堂例题）已知
为
上的可导函数，其导函数为
，且
对于任意的
，均有
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】构造函数
，由
得
在
上单调递增，由单调性可
比较大小.
【详解】构造函数
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
故
，即
，
即
．
同理，
，即
．
故选：A.
3．（多选）（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）定义在
上的函数
的导函数为
，对于任意实数
，都有
，且满足
，则下
列说法正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．
C．不等式
的解集为
D．若方程
有两个根
，则
【答案】AB
【分析】由
，有
，结合函数奇偶性的定义即可判断
；由
，可得
，求出
的解析式即可判断B；当
时，函数
单调递增，有
，可判断C；方程
有两个根，等价于函数
与函数
的图象有两个交点，
利用这两个函数的单调性和对称性，得结论判断D．
【详解】令
，函数定义域为
，
由
，有
，即
，
所以函数
为偶函数，故A 选项正确；
由
，得
，
即
，所以
，
有
，得
，
所以
，
得
，
，故选项B 正确，
，
当
时，函数
单调递增，且
，有
，
即
，不合题意，故选项C 错误；
方程
，即
，方程有两个根，
等价于函数
与函数
的图象有两个交点，其中函数
单调递减，
函数
的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为
，
时函数单调递
减，
若方程
有两个根
，则有
，
此时
，即
，
若
且
，则有
，
∴
，∴
，得
，故选项D 错误.
故选：AB．
类型三：构造
或
型
典型例题
例题1．（24-25 高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数
是奇函数，对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等
式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，根据给定条件确定函数
的奇偶性
及单调性，再逐项判断即可.
【详解】令函数
，由函数
是奇函数，
得
，函数
是偶函数，
求导得
，由任意
，
，
得任意
，
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
对于A，由
，得
，化简得
，A 错误；
对于B，由
，得
，化简得
，B 错误；
对于C，由
，得
，化简得
，C 正确；
对于D，由
，得
，化简得
，D 错误.
故选：C
例题2．（24-25 高二下·重庆·阶段练习）定义在
上的函数
的导函数为
，都有
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个
选项进行大小比较即可.
【详解】因为
，所以
，
.
由
，得
，
则
，即
，
设
，则
，
可得
，则
在定义域
上单调递减，
对于A，可得
，则
，
得到
，即
，故A 错误，
对于B，可得
，则
，
得到
，即
，故B 错误，
对于C，可得
，则
，
而由两角和的正弦公式得
，
得到
，故C 正确，
对于D，可得
，则
，
而由两角和的正弦公式得
，
得到
，故D 错误.
故选：C
例题3．（2024·云南·模拟预测）已知
是定义域为
的函数
的导函数，且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】由已知，设
，可得函数
单调递减，则由
，可
得
，即为不等式
的解集.
【详解】设
，
，
所以函数
在
上单调递减，
，
即
，得
，
所以
，所以不等式的解集为
．
故答案为：
．
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
的导函数为
，对任意
，有
，设
，
，
，则
，
，的大小关系为 .
【答案】
【分析】构造函数
，根据导数判断函数单调性，进而比较大小.
【详解】构造函数
，
，
，
则
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
于是
，
即
，
所以
，
故答案为：
.
2．（2024·河南信阳·一模）已知函数
对
均满足
，其中
是
的导数，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性即可比较大小.
【详解】
，令
，求导得：
，
当
时
，当
时
，因此函数
在
上递增，在
上递
减，
对于A，
，则
，即
，A 正确；
对于B，
，则
，即
，B 错误；
对于C，
，则
，即
，C 错误；
对于D，
，则
，即
，D 错误．
故选：A
3．（多选）（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，且恒有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】构造函数
，则
，结合题意可
得
在
上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案.
【详解】由题意令
，
则
，
当
时，恒有
成立，
，即
在
上单调递减，
，
，
即
，
即得
对于A，D
，故A 错误，D 正确；
对于B，C
，故B 错误，C 正确.
故选：CD.
类型四：构造
或
型
典型例题
例题1．（24-25 高三下·山东济南·阶段练习）定义在
上的函数
，
是
的导函数，且
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件可得
，构造函数
，利用导数判断函数
的单调性，比较函数值的大小即可.
【详解】因为
时，
，
所以
可化为
，
设
，
，
则
，
所以函数
在
上的单调递减，
因为
，所以
，
所以
，即
，
对于A：因为
，A 选项
不一定成立；
对于B：因为
，B 选项
不一定成立；
对于C：
成立；
对于D：
，D 选项不成立；
故选：C.
例题2．（24-25 高三上·内蒙古通辽·期末）已知函数
对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造
，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可.
【详解】设
，
，则
，
在
上单调递增，
对于A，
，化简得
，A 正确；
对于B，
，化简得
，B 错误；
对于C，
，化简得
，C 错误；
对于D，
，化简得
，D 错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键.
例题3．（24-25 高三上·福建南平·期中）定义在
上的函数
，
是
的导
函数，且
成立，
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件可得
，构造函数
，利用导数判断函数
的单调性，比较函数值的大小即可.
【详解】因为
时，
，
所以
可化为
，
设
，
，
则
，
所以函数
在
上的单调递减，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
.
故选：B.
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高三上·山东滨州·期末）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，
，则下列判断中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，构造新函数
，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选
项是否正确.
【详解】设
，则
，
所以
在
上单调递减，
对于A，由
，即
，即
，故A 正确；
对于B，由
，即
，又
，则
，故B
错误；
对于C，由
，即
，即
，故C 正确；
对于D，由
，即
，即
，故D 正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知函数
对于任意的
都
有
，则下列式子成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据题设构造函数
，利用导数运算得
在
上单调递增，
从而利用单调性得
，
，
，
，即可比
较四个选项式子的大小.
【详解】令
，
对于任意的
，
所以
在
上单调递增，
所以
，A 不对；
，B 正确；
，C 正确；
，D 不对．
故选：BC
3．（2024 广西柳州·一模）已知
是定义在
上的函数
的导函数，有
，若
，
，
，则
，
，的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数
，求导，可得
在
上的单调性，将
a，b，c 变形整理，结合单调性，即可得答案.
【详解】由于比较
，
，
大小，
即比较
，
，
大小即可.
设函数
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上是增函数，且
，
，
，
则
，所以
，
故选：A
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（2025·海南·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，当
时，
．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，然后判断
的单调性和奇偶性，然后将不等式变
形并求出不等式的解集即可.
【详解】令
，则
.
所以
，所以
是偶函数.
当
时，
，所以
在
上单调递增.
因为
，所以
.
即
.
因为
是偶函数，所以
.
又
在
上单调递增，所以
.
两边平方得
，解得
.
故选：A.
例题2．（24-25 高二下·黑龙江·期中）已知定义在
上的函数
的导函数
满
足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用导数分析函数
在
上的单调性，结合函
数
的单调性逐项判断即可.
【详解】设
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，
对于AB 选项，
，即
，
所以
，AB 无法判断；
对于CD 选项，
，即
，可得
，C 错D 对.
故选：D.
例题3．（23-24 高二下·江苏南京·期末）已知定义在
上的函数
的导函数
，若
，且
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意可构造函数
，利用导数得出函数
在
上单调性，
解不等式可得结论.
【详解】设
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递减；
不等式
等价于
，即
，
因为
，所以
，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题干信息构造函数，并利用导数得出函数单调
性；将不等式转换为比较函数值大小问题，利用函数单调性解不等式即可得结果.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若对任意的
，均有
恒成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造一个函数
，再利用
的单调性求解不等式即
可.
【详解】由
，可得
，
即
，令
，
则
.
令
，
，
所以
在
上是单调递减函数.
不等式
，
等价于
，
即
，
，
所求不等式即
，
由于
在
上是单调递减函数，
所以
，解得
，
且
，即
，
故不等式
的解集为
.
故选：A.
2．（2024·辽宁大连·一模）设函数
在R 上存在导函数
，对任意的实数
都有
，当
时，
.若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造
，求导，得到
在
上为减函数，结合
为奇函
数，得到
在
上为减函数，分
和
两种情况，得到
，由函数单调性得到不等式，求出答案.
【详解】令
，
，则
，
函数
在
上为减函数，
因为
，即
，
故
为奇函数，于是
在
上为减函数
而不等式
，
若
，则
，即
，
可化为
，
即
，则
解得
，与前提条件相同，满足要求；
若
，则无法比较
与
的大小关系，
故无法比较
与
的大小关系，故不合要求.
故选：A.
3．（24-25 高二下·山东德州·期中）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件得到
，再利用导数与函数单调性间的关系，得到
在区间
上单调递减，即可求解.
【详解】由
，得到
，
令
，则
，
所以
（
为常数），又
，则
，
所以
，得到
，又
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，又
，所以
，
故选：B.
4．（22-23 高二下·河南郑州·期中）定义在
上的函数
满足
，
，则关于x 的不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】由已知不等式整理得到
，设函数
，得
的单调
性，再利用其单调性解待求不等式即得.
【详解】因
时，
，即
，也即
，
取
，则
，即
在
上单调递减，
又
，则
，
由
可得
，故得，
，解得，
.
故答案为：
.
