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拓展提升01 导数与不等式
题型01 不等式的证明
考向一 单变量不等式的证明
策略1 作差构造法
解题锦囊
（1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂
的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
（2）利用作差构造法证明不等式的基本步骤
①作差或变形；
②构造新的函数g（x）；
③利用导数研究g（x）的单调性或最值；
④根据单调性及最值，得到所证不等式.
【典例1】（24-25 高二下·广东阳江·期中）已知函数
，其中
.
(1)若
，求
的极值；
(2)证明：
.
【变式1】（2025 高二·全国·专题练习）当
时，证明：
.
【变式2】（24-25 高三上·广东江门·阶段练习）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)证明：
：
【变式3】（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
（为自然对数的
底数，
），函数
的极值点为0．
(1)求
的值；
(2)证明：对
【变式4】（2024·河北石家庄高三统考模拟）已知函数
，
.
(1)若函数
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
，求证：
.
策略2 双函数构造法
解题锦囊
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间
量，达到证明的目标．
【典例2】（2024·银川一中高三模拟）已知
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明
.
【变式1】（2024·四川成都高三模拟）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
【变式2】(2025 高三专题训练)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0.
策略3 放缩法
解题锦囊
从参数范围切入主要由两种方法：（1）在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按
取值范围放缩为常数.例如:已知参数
,证明
恒成立,按去参数放缩可得
,只
需要证明
即可.
（2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明
,如果能够得到
,则把
直接扔掉,若
成立,则不等式
恒成立.
【典例3】已知函数
,若
,证明:
.
【变式1】设函数
，证明：
【变式2】（2024·陕西榆林高三模拟）已知函数
，
.
(1)求函数
的极值；
(2)证明：当
时，
在
上恒成立.
考向二 双变量不等式的证明
解题锦囊
（1）分离变量构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性
及最值，从而得到所证不等式．
（2）换元构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最
值，从而得到所证不等式；
（3）换元构造：将要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单
调性可证得.
【典例4】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
【变式1】（24-25 高二上·重庆·期末）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若
有两个极值点
，证明：
．
【变式2】（24-25 高二上·湖南·期末）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求a 的值；
(3)若实数m，n 满足
，证明：
.
【变式3】（24-25 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
．
(1)函数
是否具有奇偶性?为什么?
(2)当
时，求
的单调区间；
(3)若
有两个不同极值点
，
，证明：
．
考向三 求和型不等式的证明
【典例5】（24-25 高二上·湖南长沙·期末）设函数
（
）.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，曲线
与直线
交于
，
两点，求证：
；
(3)证明：
（
，
）.
【变式1】（23-24 高二下·山东菏泽·期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
，
时，证明：
；
(3)证明：
.
【变式2】（2023·四川自贡·统考三模）已知函数
（e 为自然对数底数）．
(1)判断
，
的单调性并说明理由；
(2)证明：对
，
．
题型02 不等式的恒成立与能成立问题
考向一 不等式的恒成立问题
【典例6】（24-25 高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【变式1】（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
在
上没有极值.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式2】（24-25 高二上·上海闵行·期末）已知函数
.
(1)曲线
在点
处的切线过点
，求
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若不等式
恒成立，求整数
的最大值.
【变式3】（24-25 高二上·陕西西安·期末）已知函数
（其中e 为自然对数的底数）．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
在
上的最值；
(3)设函数
，若对
，不等式
恒成立，求a 的取值范围．
【变式4】（24-25 高二上·江苏南京·期末）设函数
，
.
(1)当
（为自然对数的底数）时，求
的极小值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围.
考向二 不等式的能成立问题
【典例7】（24-25 高三上·天津西青·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围.
【变式1】（23-24 高二下·四川眉山·期末）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若存在
，使
，求
的取值范围．
【变式2】24-25 高三上·贵州·阶段练习）函数
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【变式3】（2024 高二上·全国·专题练习）已知函数
.
(1)求函数
在
上的最大值和最小值；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围.
【变式4】（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.
(1)求
的单调区间;
(2)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值范围.
