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拓展拔高 3 用构造法解决函数问题
【高考考情】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,既可能在选择、填
空题中运用,也可能在解答题中出现.
【解题关键】通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、
解不等式、恒成立等问题.
视角一 通过变量构造具体函数
[例1](1)若0ln x
2
-ln x
1
B.ex
2
-ex
1
x
1
ex
2
D.x
2
ex
1
x >0,
2 1
所以ex 1>ex 2,即x >x .
2ex
1
1ex
2
x x
1 2
1 1
(2)(2023·石家庄模拟)若ln x-ln y< - (x>1,y>1),则( )
lnx ln y
A.ey-x>1 B.ey-x<1
C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1
1 1
【解析】选A.依题意,ln x- 0,
t2
所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;
又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,
因为f(ln x)0,
所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确;
又无法确定y-x-1与0的大小关系,故C,D不正确.
思维升华
若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号
两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.视角二 利用导数的运算法则构造函数
微切口1 利用f(x)与xn构造函数
[例 2]设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1)=0,当 x<0 时,有 xf'(x)-f(x)>0 恒成立,则
不等式f(x)>0的解集为________.
f (x)
【解析】构造F(x)= ,
x
f '(x)·x-f (x)
则F'(x)= ,
x2
当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数,
所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增.
根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图
象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
思维升华
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
f (x)
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)= .
xn
微切口2 利用f(x)与ex构造函数[例3](2023·南昌模拟)已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)+f'(x)>0,且有 f(3)=3,则
f(x)>3e3-x的解集为________.
【解析】设F(x)=f(x)·ex,
则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增.
又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3.
因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3,
即F(x)>F(3),
所以x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
思维升华
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
f (x)
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)= .
enx
迁移应用
已知可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),若对任意的 x∈R,都有 f'(x)-f(x)<1,且 f(0)=2
022,则不等式f(x)+1>2 023ex的解集为( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)1
C. .(-∞, ) D.(-∞,1)
e
f (x)+1
【解析】选A.构造函数F(x)= ,
ex
则F'(x)=f '(x)·ex-[f (x)+1]·ex=f '(x)-f (x)-1,
e2x ex
因为f'(x)-f(x)<1,
所以F'(x)<0恒成立,
f (x)+1 f (x)+1
故F(x)= 在R上单调递减,f(x)+1>2 023ex可变形为 >2 023,
ex ex
f (0)+1
又f(0)=2 022,所以F(0)= =2 023,
e0
所以F(x)>F(0),解得x<0.
微切口3 利用f(x)与sin x,cos x构造函数
π
[例 4](多选题)已知定义在(0, )上的函数 f(x),f'(x)是 f(x)的导函数,且恒有 f'(x)sin
2
x-f(x)cos x<0成立,则( )
π π π π
A. f( )>√2f ( ) B.√2f ( )>f ( )
6 4 6 3
π π π π
C.√3f ( )>f( ) D.√2f( )>f( )
6 3 6 4
f (x) π
【解析】选CD.令g(x)= ,x∈(0, ),
sinx 2
f '(x)sinx-f (x)cosx
则g'(x)= ,
sin2x
π
又由x∈(0, ),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,
2
π
则有g'(x)<0,即函数g(x)在(0, )上单调递减.
2π π π π
由 < ,则有g( )>g( ),
6 3 6 3
π π
f( ) f( )
6 3 π π
即 > ,可得√3f( )>f( );
π π 6 3
sin sin
6 3
π π π π
又由 < ,则有g( )>g( ),
6 4 6 4
π π
f( ) f( )
6 4 π π
即 > ,可得√2f( )>f( ).
π π 6 4
sin sin
6 4
思维升华
函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式:
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
f (x) f '(x)sinx-f (x)cosx
F(x)= ,F'(x)= ;
sinx sin2x
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
f (x) f '(x)cosx+f (x)sinx
F(x)= ,F'(x)= .
cosx cos2x
迁移应用
π π π
已知偶函数 f(x)的定义域为(- , ),其导函数为 f'(x),当 0 ,
所以 3
π π
-
