文档内容
拓展拔高 2-指数与对数的运算-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. [2024·琼海模拟](3√7) √7+3 （ ）.
=
27
1 √3
A. 9 B. C. 3 D.
9 9
2. [2024·绵阳模拟]设a=log 4，则3a的值是（ ）.
9
A. 1 B. 2 C. 4 D. 9
3. [2024·河南模拟]已知函数 {log x,00且a≠1,log a=b,log a=c，且b=cd，则dlog 3=
3 4 2
（ ）.
1 1
A. 2 B. C. 3 D.
2 3
1 n
6. 已知实数a，m，n满足3a=m，(2√3) a=n，a= log (2m+n)，则 =（ ）.
2 2 m
1 1
A. 2 B. C. 3 D.
2 3
7. [2024·大连模拟]若实数 , 满足 ，则（ ）.
a b 4a+log a=8b+3log b
3 27
3b 3b
A. a< B. a> C. a>b3 D. a4z
x y z
10.（多选题）下列结论正确的是（ ）.
A. e3+e5>e3 ⋅e5 B. lg 3+lg 5>lg 3⋅lg 5
C. 2π+6π>3π ⋅5π D. log 10+log 10>log 10⋅log 10
3 5 3 5
11. 1 √3−1 ______
eln 3−814+log =
√3+1 22 3
12. 已知实数a，b满足4a+2a=3，log √33b+1+b= ，则a+ b=______
2 3 2
应用情境练
13. [2024·郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之
间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若A地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为
E ，B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E ，则E 是E 的______倍.
1 2 1 2
14. [2024·文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在
PCR扩增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指
数时期，当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足
，其中 为 的初始数量， 为扩增效率.已知某被
lg X=nlg (1+p)+lg X X DNA p
0 0
测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为______.(
参考数据： 1 , 1
103≈2.154 104≈1.778)
创新拓展练
15. [2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音1(do)的音阶频率为
f，则简谱中七个音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)组成的音阶
9 81 4 3 27 243
频率分别是f， f， f， f， f， f， f，其中后一个音阶频率与前一
8 64 3 2 16 128
个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，
记为α ，β(α>β)，α 称为全音，β 称为半音，则lg α5+lg β2−lg 2=______
16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合
X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u⊗v为uv除以p的余数,um,⊗为um除以p的
余数;设a∈X,1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗两两不同,若an,⊗=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是
以a为底b的离散对数,记为n=log(p) b.
a
(1)若p=11,a=2,求ap-1,⊗.
(2)对m ,m ∈{0,1,…,p-2},记m⊕m 为m +m 除以p-1的余数(当m +m 能被p-1
1 2 1 2 1 2 1 2
整除时,m⊕m =0).证明:log(p) (b⊗c)=log(p) b⊕log(p) c,其中b,c∈X.
1 2 a a a
(3)已知n=log(p) b.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y =ak,⊗,y =x⊗bk,⊗.证明:x=y
a 1 2 2
.
⊗yn(p-2),⊗
1
注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和
b模n同余,记作a≡b(mod n).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(mod
9).
.拓展拔高 2-指数与对数的运算-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. [2024·琼海模拟](3√7) √7+3 （ B ）.
=
27
1 √3
A. 9 B. C. 3 D.
9 9
[解析](3√7) √7+3 = (3√7) √7+3 =(3√7−3)√7+3=3(√7−3)(√7+3)=3−2= 1.故选 B .
27 33 9
2. [2024·绵阳模拟]设a=log 4，则3a的值是（ B ）.
9
A. 1 B. 2 C. 4 D. 9
[解析]由a=log 4，得9a=4，即32a=4，所以3a=2.故选B.
9
3. [2024·河南模拟]已知函数 {log x,00且a≠1,log a=b,log a=c，且b=cd，则dlog 3=（
3 4 2
A ）.
1 1
A. 2 B. C. 3 D.
2 3
[解析]由题意得 b log a log 4 ，所以
d= = 3 = a =log 4
c log a log 3 3
4 a
log 4 2log 2 .故选 .
dlog 3=log 4×log 3= 3 = 3 =2 A
2 3 2 log 2 log 2
3 3
1 n
6. 已知实数a，m，n满足3a=m，(2√3) a=n，a= log (2m+n)，则 =（ A ）.
2 2 m
1 1
A. 2 B. C. 3 D.
2 3
[解析]由题意得3a=m，12a=n2，1
由a= log (2m+n)，得2a=log (2m+n)，化简得22a=2m+n，即4a=2m+n.
2 2 2
因为 ，所以 ，即 .
3a×4a=12a m(2m+n)=n2 (2m−n)⋅(m+n)=0
n
由指数函数的值域可得m>0，n>0，所以n=2m，即 =2.故选A.
m
7. [2024·大连模拟]若实数 , 满足 ，则（ A ）.
a b 4a+log a=8b+3log b
3 27
3b 3b
A. a< B. a> C. a>b3 D. a0，b>0.
， ， ， ，
∵4a=22a 8b=23b 3log b=log b ∴22a+log a=23b+log b
27 3 3 3
，即 .
∴22a+log a+log 2=23b+log b+log 2 22a+log 2a=23b+log 2b
3 3 3 3 3 3
∵y=log x在(0,+∞)上单调递增，∴log 2b4z
x y z
[解析]设3x=4y=12z=t，t>1，则x=log t，y=log t，z=log t，
3 4 12
1 1 1 1 1
所以 + = + =log 3+log 4=log 12= ，A正确；
x y log t log t t t t z
3 4因为6z 2log t 2log 3 ，所以 ，
= 12 = t =log 9<1 6z<3x
3x log t log 12 12
3 t
因为3x 3log t 3log 4 log 64 ，所以 ，
= 3 = t = t =log 64<1 3x<4 y
4 y 4log t 4log 3 log 81 81
4 t t
所以6z<3x<4 y，B正确；
因为
1 1 4 log 3+log 4 4 (log 3−log 4) 2
x+ y−4z=log t+log t−4log t= + − = t t − = t t >0
3 4 12 log 3 log 4 log 12 log 3log 4 log 3+log 4 log 3log 4(log 3+log 4)
t t t t t t t t t t t
所以x+ y>4z，D正确；
1 1 1 x+ y xy
因为 = + = ，则 =x+ y>4z，所以xy>4z2，C错误.
z x y xy z
故选ABD.
10. [2024·陕西模拟]（多选题）下列结论正确的是（ BD ）.
A. e3+e5>e3 ⋅e5 B. lg 3+lg 5>lg 3⋅lg 5
C. 2π+6π>3π ⋅5π D. log 10+log 10>log 10⋅log 10
3 5 3 5
[解析]因为e3+e5 1 1 1 1 ，所以 ， 错误；
= + < + =1 e3+e5(2×6) π = + <1
(2×6) π 2π 6π
所以 ， 错误；
3π ⋅5π>(2×6) π>2π+6π C
因为log 10+log 10 1 1 ，所以
3 5 = + =lg 5+lg 3=lg 15>1
log 10⋅log 10 log 10 log 10
3 5 5 3
log 10+log 10>log 10⋅log 10，D正确.故选BD.
3 5 3 5
11. [2024·四川适应性考试] 1 √3−1 .
eln 3−814+log = −1
√3+1 2
[解析] eln 3−814 1 +log √3−1 =3−3 4× 4 1 +log (√3+1) −1=3−3−1=−1 .
√3+1 2 √3+1
2 3
12. 已知实数a，b满足4a+2a=3，log √33b+1+b= ，则a+ b=1.
2 3 2
2
[解析]因为log √33b+1+b= ，化简得log (3b+1)+(3b+1)=3，所以
2 3 2
，
log (3b+1)+2log 2 (3b+1)=3
2又 ，所以构造函数 ，
4a+2a=22a+2a=3 f (x)=2x+x
因为函数y=2x，y=x在(−∞,+∞)上均单调递增，所以f (x)在(−∞,+∞)上单
1 1
调递增，因为f (1)=3，所以2a=log (3b+1)=1，解得a= ，b= ，所以
2 2 3
3
a+ b=1.
2
应用情境练
13. [2024·郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之
间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若A地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为
E ，B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E ，则E 是E 的104.8倍.
1 2 1 2
[解析]由题意知lg E =4.8+1.5×7.8=16.5，lg E =4.8+1.5×4.6=11.7，所以
1 2
， ，故E 1016.5 ，则 .
E =1016.5 E =1011.7 1= =104.8 E =104.8E
1 2 E 1011.7 1 2
2
14. [2024·文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在
PCR扩增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指
数时期，当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足
，其中 为 的初始数量， 为扩增效率.已知某被
lg X=nlg (1+p)+lg X X DNA p
0 0
测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为115.4%.(参
考数据： 1 , 1
103≈2.154 104≈1.778)
[解析]由题意得 ，即
lg (100X )=6lg (1+p)+lg X
0 0
2+lg X =6lg (1+p)+lg X ，可得 1 ，解得 p≈1.154=115.4%.
0 0 1+p=103≈2.154
创新拓展练
15. [2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音1(do)的音阶频率为
f，则简谱中七个音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)组成的音阶
9 81 4 3 27 243
频率分别是f， f， f， f， f， f， f，其中后一个音阶频率与前一
8 64 3 2 16 128
个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，
记为α ，β(α>β)，α 称为全音，β 称为半音，则lg α5+lg β2−lg 2=0.
9 9 256 9 9 9
[解析]因为相邻两个音的频率比值分别为 ， ， ， ， ， ，
8 8 243 8 8 8
9 256
由题意知α= ，β= ，所以
8 243
lg α5+lg β2−lg 2=lg [
(9) 5
×
(256) 2
÷2]=lg 1=0
.
8 243
16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合
X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u⊗v为uv除以p的余数,um,⊗为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗两两不同,若an,⊗=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是
以a为底b的离散对数,记为n=log(p) b.
a
(1)若p=11,a=2,求ap-1,⊗.
(2)对m ,m ∈{0,1,…,p-2},记m⊕m 为m +m 除以p-1的余数(当m +m 能被p-1
1 2 1 2 1 2 1 2
整除时,m⊕m =0).证明:log(p) (b⊗c)=log(p) b⊕log(p) c,其中b,c∈X.
1 2 a a a
(3)已知n=log(p) b.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y =ak,⊗,y =x⊗bk,⊗.证明:x=y
a 1 2 2
.
⊗yn(p-2),⊗
1
注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和
b模n同余,记作a≡b(mod n).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(mod
9).
[解析] (1)若p=11,a=2,且注意到210=1024=93×11+1,
则ap-1,⊗=210,⊗=1.
(2)当p=2时,此时X={1},此时b=c=1,b⊗c=1,
故log(p) (b⊗c)=0,log(p) b=0,log(p) c=0,
a a a
此时log(p) (b⊗c)=log(p) b⊕log(p) c.
a a a
当p>2时,因为1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗相异,所以a≥2,
而a∈X,故a,p互质.
设n=log(p) (b⊗c),n =log(p) b,n =log(p) c,
a 1 a 2 a
则∃k
1
,k
2
∈N,使得an 1=pk
1
+b,an 2=pk
2
+c,
故 =(pk +b)(pk +c),故 ≡bc(mod p),
an
1
+n
2
1 2 an
1
+n
2
设n +n =t(p-1)+s,0≤s≤p-2,则n⊕n =s,
1 2 1 2
因为1,2,3,…,p-1除以p的余数两两相异,
且a,2a,3a,…,(p-1)a除以p的余数两两相异,
所以(p-1)!≡[a×2a×3a…×(p-1)a](mod p),故ap-1≡1mod p,
故as≡bc(mod p),而an≡b⊗c(mod p)=bc(mod p),其中0≤n≤p-2,
故s=n,即log(p) (b⊗c)=log(p) b⊕log(p) c.
a a a
(3)当b≥2时,由(2)可得bp-1≡1mod p,若b=1,则bp-1≡1mod p也成立.
因为n=log(p) b,所以an≡b(mod p).
a另一方面,y ≡y ≡(x bk )(ak )n(p-2)
2⊗yn(p-2),⊗ 2yn(p-2),⊗ ⊗ ,⊗ ,⊗
1 1
≡(xbk)akn(p-2)≡(xbk)bk(p-2)≡x(bp-1)k-1≡x(1)k-1(mod p)≡x(mod p).
因为x∈X,所以x=y .
2⊗yn(p-2),⊗
1
