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专题12 利用导数研究不等式恒成立问题
(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x) ≥0或u(x) ≤0，将比较法的
min max
思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式v(x)的
不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问
题来解决．
(1)∀x∈D，∃x∈D，f(x)＞g(x)，等价于函数f(x)在D 上的最小值大于g(x)在D 上的最小值
1 1 2 2 1 2 1 2
即f(x) ＞g(x) (这里假设f(x) ，g(x) 存在)．其等价转化的基本思想是：函数 y＝f(x)的任意一个函数值
min min min min
大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．
(2)∀x∈D ，∃x∈D ，f(x)＜g(x)，等价于函数f(x)在D 上的最大值小于函数g(x)在D 上的最大值(这里
1 1 2 2 1 2 1 2
假设f(x) ，g(x) 存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某
max max
一个函数值，但并不要求小于函数y＝g(x)的所有函数值．
典例1.已知函数f(x)＝ax＋ln x＋1，若对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】法一：构造函数法
设g(x)＝xe2x－ax－ln x－1(x＞0)，对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，
等价于g(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则只需g(x) ≥0即可．因为g′(x)＝(2x＋1)e2x－a－，
min
令h(x)＝(2x＋1)e2x－a－(x＞0)，则h′(x)＝4(x＋1)e2x＋＞0，
所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为当x―→0时，h(x)―→－∞，当x―→＋∞时，h(x)―→＋∞，
所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x，满足(2x＋1)e2x－a－＝0，
0 0 0
所以a＝(2x＋1)e2x－，且g(x)在(0，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增，
0 0 0 0
所以g(x) ＝g(x)＝xe2x－ax－ln x－1＝－2xe2x－ln x，
min 0 0 0 0 0 0 0
则由g(x) ≥0，得2xe2x＋ln x≤0，此时0＜x＜1，e2x≤－，
min 0 0 0 0
所以2x＋ln(2x)≤ln(－ln x)＋(－ln x)，设S(x)＝x＋ln x(x＞0)，则S′(x)＝1＋＞0，
0 0 0 0
所以函数S(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为S(2x)≤S(－ln x)，所以2x≤－ln x 即e2x≤，
0 0 0 0 0
所以a＝(2x＋1)e2x－≤(2x＋1)·－＝2，所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
0 0 0
法二：分离参数法
因为f(x)＝ax＋ln x＋1，所以对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，
等价于a≤e2x－在(0，＋∞)上恒成立．
令m(x)＝e2x－(x＞0)，则只需a≤m(x) 即可，则m′(x)＝，
min再令g(x)＝2x2e2x＋ln x(x＞0)，则g′(x)＝4(x2＋x)e2x＋＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为g＝－2ln 2＜0，g(1)＝2e2＞0，所以g(x)有唯一的零点x，且＜x＜1，
0 0
所以当0＜x＜x 时，m′(x)＜0，当x＞x 时，m′(x)＞0，
0 0
所以m(x)在(0，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增，因为2xe2x＋ln x＝0，
0 0 0 0
所以ln 2＋2ln x＋2x＝ln(－ln x)，即ln(2x)＋2x＝ln(－ln x)＋(－ln x)，
0 0 0 0 0 0 0
设s(x)＝ln x＋x(x＞0)，则s′(x)＝＋1＞0，所以函数s(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为s(2x)＝s(－ln x)，所以2x＝－ln x，即e2x＝，
0 0 0 0 0
所以m(x)≥m(x)＝e2x－＝－－＝2，则有a≤2，
0 0
所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
典例2.设函数f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的
底数)；
(2)若对任意的x＞x＞0，f(x)－f(x)＜x－x 恒成立，求k的取值范围．
1 2 1 2 1 2
【解析】(1)由条件得f′(x)＝－(x＞0)，∵曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，
∴f′(e)＝0，即－＝0，得k＝e，∴f′(x)＝－＝(x＞0)，
由f′(x)＜0得0＜x＜e，由f′(x)＞0得x＞e，∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
当x＝e时，f(x)取得极小值，且f(e)＝ln e＋＝2.∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知，对任意的x＞x＞0，f(x)－x＜f(x)－x 恒成立，
1 2 1 1 2 2
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x＞0)，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即当x＞0时，k≥－x2＋x＝－2＋恒成立，∴k≥.故k的取值范围是.
典例3.已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝，对∀x∈，∃x∈，使f′(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
【解析】(1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，
而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则y ＝－3，∴a≥－3，∴a的最小值为－3.
max
(2)“对∀x∈，∃x∈，
1 2
使f′(x)≤g(x)成立”等价于“当x∈时，f′(x) ≤g(x) ”．
1 2 max max
∵f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在上单调递增，∴f′(x) ＝f′(2)＝8＋a.
max
而g′(x)＝，由g′(x)＞0，得x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x∈时，g(x) ＝g(1)＝.由8＋a≤，得a≤－8，
max
∴实数a的取值范围为.典例4.已知函数f(x)＝，g(x)＝－x3＋(a＋1)x2－3ax－1，其中a为常数．
(1)当a＝1时，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＜0，对于任意的x∈[1,2]，总存在x∈[1,2]，使得f(x)＝g(x)，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
【解析】(1)当a＝1时，g(x)＝－x3＋3x2－3x－1，
所以g′(x)＝－3x2＋6x－3，g′(0)＝－3，又因为g(0)＝－1，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝－3x，即3x＋y＋1＝0.
(2)f(x)＝＝＝3－，当x∈[1,2]时，∈，
所以－∈[－3，－2]，所以3－∈[0,1]，故f(x)在[1,2]上的值域为[0,1]．
由g(x)＝－x3＋(a＋1)x2－3ax－1，可得g′(x)＝－3x2＋3(a＋1)x－3a＝－3(x－1)(x－a)．
因为a＜0，所以当x∈[1,2]时，g′(x)＜0，所以g(x)在[1,2]上单调递减，
故当x∈[1,2]时，g(x) ＝g(1)＝－1＋(a＋1)－3a－1＝－a－，
max
g(x) ＝g(2)＝－8＋6(a＋1)－6a－1＝－3，即g(x)在[1,2]上的值域为.
min
因为对于任意的x∈[1,2] ，总存在x∈[1,2]，使得f(x)＝g(x)，
1 2 1 2
所以[0,1]⊆，所以－a－≥1，解得a≤－1，故a的取值范围为(－∞，－1]．
专项突破练
一、单选题
1．若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ,
当 时， ，当 时， ，
的递减区间是 ，递增区间是 ，
所以 取得极小值，也是最小值， ，
不等式 对任意实数x都成立，所以 .故选:D.
2．已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 ,对 都有 ,当 时, 即 ,即为 ，可化为
令 ,则
当 时, ,单调递减.因此 ，所以
故实数 的取值范围是 ，故选B
3．已知函数 ， ，若 ， 恒成立，则实
数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 在 上的最大值是 ． ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 上的最小值是 ，
若 ， ， 恒成立，则 ，即 ，
所以 ，所以实数k的取值范围是 ．故选:D．
4．已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的最小值为（ ）A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
， ，
不等式 对任意 恒成立可转化为对任意 时 ，
所以 ，解得 .故选：C.
5．若关于 的不等式 ，对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为不等式 ，对 恒成立，
当 时，显然成立，
当 ， 恒成立，令 ，则 ，
令 ，则 在 上成立，
所以 在 上递减，则 ，所以 在 上成立，
所以 在 上递减，所以 ，所以 ，故选：A
6．若关于x的不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．【解析】依题意， ，
则 （*）．
令 ，则（*）式即为 ．
又 在 上恒成立，故只需 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，解得 ．故选：D.
7．已知函数 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，其满足 ，
所以函数 为奇函数，且 ，所以函数 为 上的增函数，
若 对 恒成立，则 对 恒成立，
即 对 恒成立，即 对 恒成立，
设 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .故选：A.
8．已知不等式 恒成立，则a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【解析】由题设，可知： ，问题转化为 在 上恒成立，
令 ，则 ，当 时 ，即 递增；
当 时 ，即 递减；所以 ，故 .故选：B
9．若函数 ，g(x)= 对任意的 ，不等式 恒成立，则整数m的最小
值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【解析】因为 单调递增， ，所以 ，即 ，
原不等式恒成立可化为 恒成立，
即 时， 恒成立，
即函数 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故当 时，函数 的最大值为 ，
即 恒成立，由 知，整数m的最小值为2.故选：A
二、多选题10．已知函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，则实数a的取值可以是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 .
当 时， 恒成立.
当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，
， ， 为减函数， ， ， 为增函数，
所以 ，所以 ，综上所述： .故选：ABC
11．设函数 ，若 恒成立，则实数 的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 时，函数取得最小值 ，因为 恒成立，
所以 恒成立，且 ，可得实数 的所有可能取值1，2，3，故选：ABC.12．已知函数 ， ，若 ，不等式 恒
成立，则正数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 在 上单调递增，
所以对 ， ；
，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ；
因为 ，任意 ，不等式 恒成立，
即 ，整理得 ，
解得 或 ，所以正数 的取值范围为 ；
6e与 均在区间 内， 与 均不在区间 内；故选：AB．
13．已知 ，若不等式 在 上恒成立，则a的值可以为
（ ）
A． B． C．1 D．
【解析】设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，∴ ，∴ ．
又 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 对 恒成立，即 恒成立．
令 ，当 时， ，故 ，
∴ ，解得 或 ，所以a的值可以为 ， ，故选：AD.
三、填空题
14．已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是________．
【解析】由 ，得 ，
又函数 的定义域为 ，令 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
故 是函数 的极小值点，也是最小值点，且 ，
要使 恒成立，需 ，则 .
15．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【解析】根据题意，当 时，分离参数 ，得 恒成立．
令 ，∴ 时， 恒成立．
令 ，则 ，
当 时， ，∴函数 在 上是减函数．
则 ，∴ ．∴实数 的取值范围是 ．
16．已知函数 ， ，如果对任意的 ， ，都有 成立，则
实数a的取值范围是_________．
【解析】由 ，可得 ，当 ， ，所以 在 单调递减， ，
， 在 上单调递增， ，
对任意的 ，都有 成立， ，
17．已知不等式 对一切正数x都成立.则实数m的取值范围是___________.
【解析】设 ，则 ，
故 对一切正数x都成立， ，
故 在 上单调递增， ， 恒成立，
由 ， 在 上恒大于零，
所以 在 上单调递增，所以 ，
在 上恒成立， ， ， .
四、解答题
18．设 ，其中 ．
（1）若 有极值，求 的取值范围；
（2）若当 ， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意可知： ，且 有极值，
则 有两个不同的实数根，故 ，
解得： ，即 ．（2）由于 ， 恒成立，则 ，即 ，
由于 ，则
①当 时， 在 处取得极大值、在 处取得极小值，
当 时， 为增函数，因为 ，所以 恒大于 ，
当 时， ，解得： ；
②当 时， ，即 在 上单调递增，且 ，
则 恒成立；
③当 时， 在 处取得极大值、在 处取得极小值，
当 时， 为增函数，因为 ，所以 恒大于 ，
当 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
19．已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1)函数 的定义域为 ，
①当 时，令 ，可得 ，此时函数 的增区间为 ，减区间为
②当 时，令 ，可得 ，此时函数 的增区间为 ，减区间为
综上所述：当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；当 时，函数 的增区间为 ，减区间为
(2) 在 恒成立，则 在 恒成立，
即 在 恒成立。令 ，
，令 ， ， ，
， ，则 在 上恒成立，
在 上单调递增，
在 单调递增，
在 恒成立，则
的范围是 .
20．已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 对一切 恒成立，求m的取值范围．
【解析】(1)∵ ，∴ ，
由 得 或 ，
且当 或 时， ，当 时， ，
∴ 的单调增区间为 和 ，单调减区间为
(2)依题意可得 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，易知 在 上单调递增，∵ ，∴ ，又∵ ，
∴ ，使得 ，即有 ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
即m的取值范围为 ．
21．已知函数 .
(1)求 的图象在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】(1)函数 ，切点为 ，
，∴ ，
∴ 的图象在 处的切线方程为： ，即 .
(2)令 ， .
，设 ， ，
∵ ，∴ ， 在 上单调递增，
即 在 上单调递增， ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
∴当 时， 恒成立.当 时， ，
∵函数 在 上存在唯一的零点 ，∴函数 在区间 上单调递减， ，不符合题意，舍去.
综上可得： 的取值范围是 .
22．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由已知定义域为 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 ，即 时， （舍）或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，若 对任意的 恒成立，只需
，而 恒成立，所以 成立；
当 时，若 ，即 ，则 在 上单调递增，又 ，所以 成立；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以 ，
，不满足 对任意的 恒成立.
所以综上所述： .
23．已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（1）求 ， 的值；（2）当 时，证明： 对 恒成立.
【解析】（1）因为 ，所以 ，解得 ，
则 ，解得 .
（2）证明：因为 ，所以要证 对 恒成立，
只需证 对 恒成立.
设函数 （ ），
则 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
则 对 恒成立，故当 时， 对 恒成立.
24．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 处取得极值，对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】(1)因为 ，所以 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上：当 时， 在 上单调递减，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
(2)因为 在 处取得极值，所以结合（1）可得 ，即 ，
所以 ，所以由 可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 .所以实数 的取值范围是 .
25．已知函数 ．
(1)当a＝1时，求曲线在点 处的切线方程；
(2)若 ，且 在 上恒成立，求a的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，
∴ ， ，∴切线方程为
即 ；
(2)函数 在 恒成立，
当 时， 恒成立，，
当 时，可化为 ，令 ，
则 ，
令 ，则 ，当 时， ，∴
当 时， ，
当 时， ，∴h（x）在 上是增函数；
当 时， ，∴ 在 上是减函数；
∴ ，∴
即a的取值范围是
26．已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)令 ， ．
令 ，令 ．所以 在 单增， 在 单减，
所以 的最小值为 ，所以 成立．
(2)由题得 在 上恒成立，
即 ， 恒成立．因为 ，
①若 ， ， 在 上单调递增， ，符合题意；
②若 ，令 ， ，
则 ，所以 在 单调递增，且
（i）若 ， ， 在 上单调递增， ，符合题意；（ii）若 ， ，
当 时， ，则 ，
取 ，则 ，
则存在 ，使得当 时， ， 单调递减，
此时 ，不合题意．综上， ．
27．已知函数 ．
(1)当 时，直线 与曲线 相切，求实数k的值；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【解析】(1)
设切点为 ，由 得出
令
则函数 在 上单调递增，且
故方程 的根为 ，
(2)由 得出 ，即
，令 ，则
，则函数 为增函数， ，即令 ，则
当 时， ，此时函数 单调递减
当 ， ，此时函数 单调递增
，即 ，解得
故a的取值范围为 .
28．已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，所以 ，
可知 在R上单调递增，且 ，
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
即 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)由题得 对任意 恒成立，所以 ，
当 时，则 ，原不等式成立，则 ；
当 时，则 ，令 ，其中 ，
则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
所以 ，
所以 ，所以只需 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围是 ．
29．设函数 .
(1) 时，求 在区间 上的最大值与最小值.
(2) 时， 有两个不同的极值点 ， ，且对不等式 恒成立，求实数 的取值范
围？
【解析】(1) 时， ，
由 解得： 或 ，由 解得：
所以 在区间 ， 上单调递增，在 单调递减.
又 ， ，
故 在区间 上的最大值是 ，最小值是0
(2)因 ，故得不等式 .
即 .
由于 .令 得方程 .
， ， ，
代入 有，
即 ，化简得 ，因为 ，解不等式得 .
因此，实数 的取值范围是
30．已知函数 ， ， 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】(1) ，
①当 时， ， 在 上单调递减．
②当 时，令 ，得 ，
当 时 ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
(2)当 时， 恒成立，
即 在 时恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
易知 在 上单调减函数，
∴ ，∴ 在 上单调递减，∴ ．
①当 ，即 ， ，∴ 在 上单调递减，此时 ，符合题意；
②当 ，即 时， ， 时， ，
∴ 使得 ，则 时， ， 单调递增，
∴ ，不符合题意．
综上所述， ．
31．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1) 的定义域是 ， .
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 （舍），
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)若 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ， ，
则 .
当 时， ， ，不符合题意；当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，又 ，
所以 ，不符合题意；
当 时，若 ，即 ， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，又
，所以 在 上恒成立，符合题意.
若 ，即 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在
上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合题意；
若 ，即 ， 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，又 ，
所以 ，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是 .
32．已知函数 ．
(1)若 在 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以此时 在 上仅有一个零点，符合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．要使 在 上仅有一个零点，则必有 ，解得 ．
综上，当 或 时， 在 上仅有一个零点．
(2)因为 ，所以对任意的 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立．
令 ，则只需 即可，则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
因为 ， ，所以 有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，所以函数 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ，
则有 ．所以实数a的取值范围为 ．
33．已知函数 ，函数 ．
(1)求函数 的单调区间．
(2) 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．【解析】(1) ，令 ，则 ，当且仅当 ， 时等号成
立，∴ 在 上单调递增，即 在 上单调递增．
∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2) 时， 恒成立，
， ，
，
时， ，∴ 在 上单调递增，
∵ ，若 ， 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， 恒成立；
若 ，∵ ，∴ ，∴ ，
， ，
∴ 在 有唯一解，设为 ，且 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 与 恒成立矛盾，舍去．
综上，实数 的取值范围是 ．34．已知函数 （其中 ，e为自然对数的底数）．
(1)当 时，讨论函数f（x）的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【解析】(1)由 可得 ，
由 得， ， ，∵ ∴ ，
由 可得： 或 ；令 可得：
此时f（x）的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
(2)法1由 ，
可得 对 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，又 ， ，
故 在 上有唯一的实根，不妨设该实根为 ，
故当 时， ， ，g（x）单调递增；
当 时， ， ， 单调递减，
故 ，又因为 ．所以 ， ， ，
所以 ，故a的取值范围为 ．
法2由 ，可得 对x>1恒成立，
即 对任意的x>1恒成立，
令 ，则
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递增，且
∴ 对任意的 恒成立
令 ，则 令 ，解得：
故当 时， ，g（t）单调递增；
当 时， ， 单调递减；
故 ，故a的取值范围为
35．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，
所以 ， ， ．
所以曲线 在 处的切线方程为 ，整理得 ．
(2)由已知得， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．令 ， ，
则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又因为 ， ，
所以 ，使得 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
所以 ，
由 得， ，
所以 ，
故 ，即 的取值范围为 ．
