3.3 平面向量的数量积（讲义）
目录
1
知识点01 向量夹角....................................................................................2
2
知识点02 平面向量的数量积....................................................................2
3
知识点03 向量数量积的运算性质............................................................2
4
知识点04 向量的投影................................................................................3
5
知识点05 常见角的余弦值........................................................................3
6
题型一、判断向量夹角的大小.................................................................4
7
题型二、向量的数量积的运算.................................................................8
8
题型三、向量夹角的余弦值....................................................................11
9
题型四、向量垂直...................................................................................14
10
题型五、向量的投影和投影向量...........................................................17
1 知识点01 向量夹角
(1)
已知两个非零向量⃗a与⃗b
①⃗a与⃗b在平面内相交时所形成的角度；如图：
②⃗a与⃗b在平面内共起点时所形成的角度；如图
2 知识点02 平面向量的数量积
(1)
定义：已知两个非零向量⃗a与⃗b，我们把数量|⃗a||⃗b|cosθ叫做⃗a
与⃗b的数量积（或内积），记作⃗a⋅⃗b，即⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，规定：零
向量与任一向量的数量积为0．
(2)
数量积的运算律
已知向量⃗a、⃗b、⃗c和实数λ，则：
①⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗a
②( λ⃗a)⋅⃗b= λ(⃗a⋅⃗b)=⃗a⋅( λ⃗b)
③(⃗a+⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅⃗c +⃗b⋅⃗c
3 知识点03 向量数量积的运算性质
设⃗a、⃗b都是非零向量，⃗e是与⃗b方向相同的单位向量，θ是⃗a与⃗e的夹角，则
①⃗e⋅⃗a=⃗a⋅⃗e =|⃗a|cosθ
θ 为锐角
θ
θ 为钝角
θ
θ
θ 为锐角
θ
θ 为钝角
②⃗a⊥⃗b⇔⃗a⋅⃗b=0
③当⃗a与⃗b同向时，⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|；当⃗a与⃗b反向时，⃗a⋅⃗b=-|⃗a||⃗b|
④⃗a⋅⃗a=|⃗a|
2或|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
⑤cosθ =⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
(|⃗a||⃗b|≠0)
4 知识点04 向量的投影
(1)
向量的投影长度
①定义：向量的投影长度（也称为标量投影）是指一个向量在另一个
向量方向上的“分量”的大小。它是一个标量值，表示一个向量在另
一个向量方向上的“影子”有多长。
②投影长度的公式⃗
a在⃗b方向上的投影长度：⃗a⋅⃗b
|⃗b|⃗
b在⃗a方向上的投影长度：⃗a⋅⃗b
|⃗a|
(2)
向量的投影向量
设⃗a，⃗b是两个非零向量，它们的夹角是θ ,⃗
b
|⃗b|
与⃗b是方向相同的单位向量，⃗
AB =⃗a,⃗CD =⃗b，过⃗AB的起点A和终点B，分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分
别为A1,B1，得到⃗A1B1，我们称上述变换为向量⃗a向向量⃗b投影，⃗A1B1叫做向
量⃗a在向量⃗b上的投影向量．记为|⃗a|cosθ∙⃗
b
|⃗b|
或者⃗a⋅⃗b
|⃗b|
∙⃗
b
|⃗b|
5 知识点05 常见角的余弦值
角度
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
弧度
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
cosθ
1
❑√3
2
❑√2
2
1
2
0
- 1
2
-
❑√2
2
-
❑√3
2
-1
6 题型一、判断向量夹角的大小
1．△ABC中，“⃗AB⋅⃗AC <0”是“A是钝角”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由⃗AB⋅⃗AC =|⃗AB||⃗AC|cos⟨⃗AB ,⃗AC⟩<0，可得cos⟨⃗AB ,⃗AC⟩<0，
又因为在△ABC中，⟨⃗AB ,⃗AC⟩∈(0,π)，所以A ∈(
π
2 ,π)，所以A为钝角，
若A是钝角，则cos⟨⃗AB ,⃗AC⟩<0，则|⃗AB||⃗AC|cos⟨⃗AB ,⃗AC⟩<0，即⃗
AB⋅⃗AC <0，
所以在△ABC中，“⃗AB⋅⃗AC <0”是“A是钝角”的充要条件，
故选：C.
2．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量⃗a，⃗b，⃗c，⃗
d的判断正确的是（ ）
A．⃗a⋅⃗b<0 B．⃗a⋅⃗d >0
C．⃗b⋅⃗c>0
D．⃗b⋅⃗d =0
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断.
【详解】由平面向量数量积的定义得
由图可知，a
→
,b
→夹角为锐角，则a
→
· b
→
>0,故A 错误；
a
→
,d
→夹角为钝角，则a
→
·d
→
<0,故B 错误；
b
→
, c
→夹角为锐角，则b
→
· c
→
>0,故C 正确；
b
→
,d
→夹角为锐角，则b
→
·d
→
>0，故D 错误.
故选：C.
3．在△ABC 中，AB =3，BC = 4，∠B =60
∘，则⃗AB⋅⃗BC =（ ）
A．12
B．6
C．-6
D．-12
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义求解.
【详解】△ABC 中，AB =3，BC = 4，∠B =60
∘，⃗AB与⃗BC的夹角为角B的补
角，
则⃗AB⋅⃗BC =|⃗AB||⃗BC|cos⟨⃗AB ,⃗BC⟩= AB⋅BC ⋅cos120
∘=-6.
故选：C
4．在△ABC中，若⃑AB⋅⃑BC >0，则角B的取值范围是（ ）
A．(0, π
2)
B．(0, π
2]
C．(
π
2 ,π)
D．[
π
2 ,π)
【答案】C
【分析】根据数量积定义可得.
【详解】因为⃑AB⋅⃑BC =-⃑BA ⋅⃑BC >0
所以⃑BA ⋅⃑BC =|⃑BA|⋅|⃑BC|cos B<0，即cos B<0
又因为角B为△ABC的内角，
所以π
2 <B<π.
故选：C
5．在△ABC中，⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，若⃗a⋅⃗b>0，则下列结论正确的为（ ）
A．△ABC一定为钝角三角形
B．△ABC一定不为直角三角形
C．△ABC一定为锐角三角形
D．△ABC可为任意三角形
【答案】D
【分析】根据数量积的概念即可判断∠BAC为锐角，再利用三角形的定义
判断即可.
【详解】因为⃗a⋅⃗b>0，所以⃗a⋅⃗b=⃗AB⋅⃗AC =|AB|×|AC|×cos∠BAC >0，所
以cos∠BAC >0，
所以∠BAC为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以
不能确定△ABC的形状，
故△ABC可为任意三角形.
故选：D
6．设⃗a,⃗b是不共线的两个向量，若命题p：⃗a⋅⃗b>0，命题q：⃗a,⃗b夹角是锐
角，则命题p 是命题q 成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式，结合充分条件、必要条件
的判定方法，即可求解.
【详解】因为向量⃗a和⃗b是不共线的两个向量，
由⃗a⋅⃗b>0，可得cos⟨⃗a,⃗b⟩>0，则⃗a和⃗b的夹角为锐角，
反之，若⃗a和⃗b的夹角为锐角，可得cos⟨⃗a,⃗b⟩>0，则⃗a⋅⃗b>0，
所以命题p是命题q成立的充要条件．
故选：C．
7．在△ABC中，下列说法错误的是（ ）
A．“|⃗AB+⃗AC|=|⃗BC|”是“A 为直角”的充要条件
B．“|⃗AB+⃗AC|>|⃗BC|”是“A 为锐角”的充要条件
C．“⃗AB⋅⃗AC >0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
D．“⃗AB⋅⃗AC <0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、
必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由|⃗AB+⃗AC|=|⃗BC|，可得|⃗AB+⃗AC|=|⃗AC -⃗AB|，
平方可得⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC =⃗AB
2+⃗AC
2-2⃗AB⋅⃗AC，解得⃗AB⋅⃗AC =0，
所以⃗AB⊥⃗AC，所以∠A为直角，即充分性成立；
若∠A为直角，可得⃗AB⊥⃗AC，所以⃗AB⋅⃗AC =0，则|⃗AB+⃗AC|=|⃗AC -⃗AB|，
即|⃗AB+⃗AC|=|⃗BC|，所以必要性也成立，所以A 正确；
对于B 中，由|⃗AB+⃗AC|>|⃗BC|，可得|⃗AB+⃗AC|>|⃗AC -⃗AB|，可得⃗AB⋅⃗AC >0，
所以∠A为锐角，所以充分性成立，
当∠A为锐角，可得⃗AB⋅⃗AC >0，可得|⃗AB+⃗AC|>|⃗AC -⃗AB|，即
|⃗AB+⃗AC|>|⃗BC|，所以必要性也成立，所以B 正确；
对于C 中，由⃗AB⋅⃗AC >0，可得∠A为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，
所以充分性不成立，所以C 错误；
对于D 中，由⃗AB⋅⃗AC <0，可得∠A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，即
充分性成立，
当△ABC为钝角三角形，不一定∠A为钝角，即必要性不一定成立，
所以⃗AB⋅⃗AC <0是△ABC是钝角三角形的充分不必要条件，所以D 正确.
故选：C.
8．已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C 可以构成一个A 为
钝角的钝角三角形”是“⃗AB⋅⃗AC <0”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数量积即可求解.
【详解】当A，B，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形时，⃗AB⋅⃗AC <0，
从而命题“A，B，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“
⃗
AB⋅⃗AC <0”的充分条件，
当三个点A，B，C 共线且∠BAC =180
∘时，满是⃗AB⋅⃗AC <0，但是A，B，
C 不能构成三角形，
从而命题“A，B，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”不是“⃗
AB⋅⃗AC <0”的不必要条件.
故选：A
7 题型二、向量的数量积的运算
1．△ABC是顶角为120
∘的等腰三角形，BC 是底边，且AB =1，则⃗AB⋅⃗BC =
（ ）
A．-
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．- 3
2
D．3
2
【答案】C
【分析】由余弦定理可得|⃗BC|=a= ❑√3，结合向量数量积运算即可求解.
【详解】由题意知B = 180
∘-120
∘
2
=30
∘，
a
2=b
2+c
2-2bc cos120
∘=1+1-2×(- 1
2)=3，
所以|⃗BC|=a= ❑√3，⃗
AB⋅⃗BC =|⃗AB||⃗BC|cos(π- B)=1×❑√3×(-
❑√3
2 )=- 3
2.
故选：C.
2．已知△ABC是边长为2 的等边三角形，则⃗BA ⋅⃗AC =（ ）
A．4
B．- 4
C．2
D．-2
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质，可得向量的模长以及夹角，根据数量积的
定义式，可得答案.
【详解】依题意可知⃗BA和⃗AC的夹角为2π
3 ，
所以⃗BA ⋅⃗AC =|⃗BA|⋅|⃗AC|⋅cos 2π
3 =2×2×(- 1
2)=-2.
故选：D.
3．已知|⃗a|=1,|⃗b|=2，⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】利用向量数量积公式计算可得答案.
【详解】⃗a⋅⃗b=1×2×cosπ
3 =1.
故选：A．
4．在△ABC中，∠ABC =30°，AB = ❑√3，BC =3，则⃗AB⋅⃗BC =（ ）
A．3
B．9
2
C．－3
D．- 9
2
【答案】D
【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可.
【详解】因为在△ABC中，∠ABC =30°，AB = ❑√3，BC =3，
所以，⃗AB⋅⃗BC =|⃗AB|⋅|⃗BC|cos(180
°- B)= ❑√3×3×(-
❑√3
2 )=- 9
2.
故选：D.
5．已知|⃗a|=2,|⃗b|=3,⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．-3
B．3
C．-3 ❑√3
D．3 ❑√3
【答案】B
【分析】根据数量积的定义计算.
【详解】⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos⟨⃗a,⃗b⟩=2×3× 1
2 =3.
故选：B.
6．已知向量|⃗a|=2❑√3,|⃗b|=3，且两向量夹角为π
6 ，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．18
B．9
C．9 ❑√3
D．3 ❑√3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.
【详解】依题意，⃗a⋅⃗b=2❑√3×3×cosπ
6 =6 ❑√3×
❑√3
2 =9.
故选：B
7．如图，△ABC是边长为2 的等边三角形，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．4
B．- 4
C．2
D．-2
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可.
【详解】因为△ABC是边长为2 的等边三角形，所以∠BAC =60
∘，
所以AB⃗⋅AC⃗=|AB⃗||AC⃗|cos∠BAC =2×2× 1
2 =2.
故选：C
8．在三角形ABC中，AC =3, AB = 4 ,∠CAB =120°，则(⃗AB+⃗CA)⋅⃗AB =
（ ）
A．10
B．22
C．-10
D．-22
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律计算即可.
【详解】
(⃗AB+⃗CA)⋅⃗AB =⃗AB
2+⃗CA ⋅⃗AB =⃗AB
2-⃗AC ⋅⃗AB =16-3×4×(- 1
2)=22.
故选：B.
8 题型三、向量夹角的余弦值
1．已知⃗a,⃗b是单位向量，若(⃗a+⃗b)⋅⃗b= 1
2，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．2π
3
B．5π
6
C．π
6
D．π
3
【答案】A
【分析】先求两个向量的数量积，再利用夹角公式可得答案.
【详解】因为(⃗a+⃗b)⋅⃗b= 1
2，所以⃗a⋅⃗b+⃗b
2=⃗a⋅⃗b+1= 1
2，即⃗a⋅⃗b=- 1
2；
所以，
因为⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π]，所以向量⃗a与⃗b的夹角为2π
3 .
故选：A
2．已知|⃗a|=2，|⃗b|= ❑√5，⃗a⋅⃗b= ❑√10，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
4
B．3 π
4
C．π
6
D．5 π
6
【答案】A
【分析】根据数量积的定义求解．
【详解】由已知cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=
❑√10
2×❑√5 =
❑√2
2 ，又⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π]，
∴⟨⃗a,⃗b⟩=π
4 ，
故选：A．
3．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= ❑√3，|⃗b|= 4，且⃗a⋅⃗b=-6，则向量⃗a与⃗b的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】D
【分析】根据题意结合向量夹角公式运算求解即可.
【详解】因为|⃗a|= ❑√3，|⃗b|= 4，且⃗a⋅⃗b=-6，
则cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=-6
❑√3×4 =-
❑√3
2 ，
且0°≤⟨⃗a,⃗b⟩≤180°，所以⃗a与⃗b的夹角为150°．
故选：D.
4．已知|⃗a|=6 ❑√3,|⃗b|=1,⃗a⋅⃗b=-9，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．2π
3
B．5π
6
C．π
3
D．π
6
【答案】B
【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；
【详解】因为|⃗a|=6 ❑√3,|⃗b|=1,⃗a⋅⃗b=-9，设向量⃗a与⃗b的夹角为θ
所以cosθ =⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=-9
6 ❑√3×1 =-
❑√3
2 ，
又因为θ∈[0,π]，所以θ = 5π
6
故选：B.
5．已知|a⃗|=5,|b⃗|= 4，且a⃗·b⃗=10，则⃗a与⃗b的夹角为 （ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】根据已知及数量积公式计算向量的夹角；
【详解】由题设，
结合向量夹角范围知：，则⃗a与⃗b的夹角为π
3 .
故选：B.
6．已知⃗a⋅⃗b=-3 ❑√3，|⃗a|=2，|⃗b|=3，则⃗a与⃗b的夹角是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】D
【分析】根据向量夹角公式即可代入求解.
【详解】设向量⃗a与⃗b的夹角为θ，则cosθ =⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|
=-3 ❑√3
2×3 =-
❑√3
2 ，
因为θ∈[0,π]，所以θ =5π
6
.
故选:D.
7．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=5，|⃗b|=2，且(⃗a-2⃗b)⋅⃗a=7，则⃗a与⃗b夹角的余弦
值为（ ）
A．- 9
10
B．9
10
C．5
9
D．- 5
9
【答案】B
【分析】运用向量数量积运算即可求得结果.
【详解】设向量⃗a，⃗b的夹角为θ，
因为|⃗a|=5，|⃗b|=2，(⃗a-2⃗b)⋅⃗a=⃗a
2-2|⃗a||⃗b|cosθ =7，
所以cosθ = 9
10.
故选：B.
8．已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=2,|⃑b|=1,⃑a⋅(⃑a-2⃑b)=2，则⃑a与⃑b的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【分析】由题意，先求出⃑a⋅⃑b，然后根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】解：因为⃑a⋅(⃑a-2⃑b)=⃑a
2-2⃑a⋅⃑b=|⃑a|
2-2⃑a⋅⃑b= 4 -2⃑a⋅⃑b=2，所以⃑
a⋅⃑b=1，
设⃑a与⃑b的夹角为θ，则cosθ =⃑a⋅⃑b
|⃑a||⃑b|= 1
2，
因为θ∈[0° ,180°]，
所以θ =60°，
故选：B.
9 题型四、向量垂直
1．已知向量⃗a与⃗b的夹角为3π
4 ，|⃗a|= ❑√2，⃗a⊥(⃗a+⃗b)，则|⃗b|=（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．❑√5
【答案】C
【分析】由已知可得出⃗a⋅(⃗a+⃗b)=0，利用平面向量数量积的运算性质和定
义可求得|⃗b|的值.
【详解】因为向量⃗a与⃗b的夹角为3π
4 ，|⃗a|= ❑√2，⃗a⊥(⃗a+⃗b)，
则⃗a⋅(⃗a+⃗b)=|⃗a|
2+|⃗a|⋅|⃗b|cos 3π
4 =2+ ❑√2|⃗b|⋅(-
❑√2
2 )=2-|⃗b|=0，解得|⃗b|=2.
故选：C.
2．若平面向量⃗a，⃗b的夹角为60°，且|⃗a|=2|⃗b|，则（ ）
A．⃗a⊥(⃗b+⃗a)
B．⃗b⊥(⃗b-⃗a)
C．⃗b⊥(⃗b+⃗a)
D．⃗a⊥(⃗b-⃗a)
【答案】B
【分析】求出⃗a⋅⃗b，再分别求出对应的向量数量积，即可得出结论.
【详解】由题意，
向量⃗a，⃗b的夹角为60°，且|⃗a|=2|⃗b|，
⃗a⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|cos⟨⃗a,⃗b⟩=2|⃗b|
2cos60° =|⃗b|
2
A 项，⃗
a·(⃗b+⃗a)=⃗a·⃗b+⃗a
2=5|⃗b|
2≠0，
故A 不正确;
B 项，
因为⃗b·(⃗b-⃗a)=⃗b
2-⃗b·⃗a=⃗b
2-⃗b
2=0，
∴⃗b⊥(⃗b-⃗a)，
故B 正确;
C 项，⃗
b·(⃗b+⃗a)=⃗b
2+⃗a·⃗b=2|⃗b|
2≠0，
故C 不正确;
D 项，⃗
a·(⃗b-⃗a)=⃗a·⃗b-⃗a
2=-3|⃗b|
2≠0，
故D 不正确.
故选：B.
3．已知|⃗a|=2，|⃗b|=3，且⃗a⊥⃗b，则|⃗b-⃗a|=（ ）
A．1
B．❑√5
C．❑√13
D．5
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律求解.
【详解】因为(⃗b-⃗a)
2=|⃗b|
2+|⃗a|
2-2⃗b⋅⃗a=13，
结合已知向量垂直知：|⃗b-⃗a|= ❑√13，
故选:C.
4．已知两个单位向量⃗a，⃗b满足⃗a+ 1
2⃗b与⃗a-7⃗b垂直，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．5
13
B．- 5
13
C．7
13
D．- 7
13
【答案】B
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得⃗a⋅⃗b的值.
【详解】依题意可得(⃗a+ 1
2⃗b)⋅(⃗a-7⃗b)=⃗a
2- 13
2⃗a⋅⃗b- 7
2⃗b
2=0，
即1- 13
2⃗a⋅⃗b- 7
2 =- 13
2⃗a⋅⃗b- 5
2 =0，则⃗a⋅⃗b=- 5
13.
故选：B
5．若向量⃗a,⃗b满足|⃗a|= ❑√2,|⃗b|=2,⃗a⊥(⃗a-⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
4
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】A
【分析】根据平面垂直向量和向量数量积的定义可得2-2❑√2cos⟨⃗a,⃗b⟩=0，
即可求解.
【详解】因为⃗a⊥(⃗a-⃗b)，
所以0=⃗a⋅(⃗a-⃗b)=⃗a
2-⃗a⋅⃗b=2-|⃗a||⃗b|cos⟨⃗a,⃗b⟩=2-2❑√2cos⟨⃗a,⃗b⟩，
得cos⟨⃗a,⃗b⟩=
❑√2
2 ，又⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π ]，
所以⟨⃗a,⃗b⟩= π
4 .
故选：A．
6．已知向量⃑a,⃑b均为单位向量，且⃑a⊥⃑b，则(2⃑a-⃑b)⋅(⃑a+ 4⃑b)=（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．- 4
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】解：因为向量⃑a,⃑b均为单位向量，且⃑a⊥⃑b，
所以|⃑a|=|⃑b|=1，⃑a⋅⃑b=0，
所以(2⃑a-⃑b)⋅(⃑a+ 4⃑b)=2⃑a
2- 4⃑b
2+7⃑a⋅⃑b=2|⃑a|
2- 4|⃑b|
2=-2，
故选：B.
7．已知非零平面向量⃑a、⃑b，“⃑a⋅⃑b=0”是“⃑a⊥⃑b”的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】对于平面向量垂直的数量积表示判断可得出结论.
【详解】对于非零平面向量⃑a、⃑b，⃑a⋅⃑b=0⇔⃑a⊥⃑b.
因此，“⃑a⋅⃑b=0”是“⃑a⊥⃑b”的充要条件.
故选：C.
8．已知平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|2⃗a+⃗b|=2，且(⃗a+⃗b)⊥⃗a，则|⃗b|=（ ）
A．2
B．❑√3
C．❑√2
D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式
计算即可.
【详解】由(⃗a+⃗b)⊥⃗a，得(⃗a+⃗b)⋅⃗a=⃗a
2+⃗a⋅⃗b=0，则⃗a⋅⃗b=-⃗a
2=-1，
由|2⃗a+⃗b|=2，得4⃗a
2+⃗b
2+ 4⃗a⋅⃗b= 4，因此⃗b
2= 4，
所以|⃗b|=2.
故选：A
9．已知平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2，且(⃗a-2⃗b)⊥⃗a，则|⃗a-⃗b|=（ ）
A．❑√6
B．❑√5
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据向量垂直得到向量⃗a,⃗b的数量积，再将模长转化为数量积即可
求得结果.
【详解】因为(⃗a-2⃗b)⊥⃗a，所以(⃗a-2⃗b)⋅⃗a=0，即⃗a
2-2⃗a⋅⃗b=0，
因为|⃗a|=1，所以2⃗a⋅⃗b=1，
|⃗a-⃗b|=
❑√(⃗a-⃗b)
2=
❑√⃗a
2+⃗b
2-2⃗a⋅⃗b，又|⃗b|=2，
所以|⃗a-⃗b|=2.
故选：C.
10
题型五、向量的投影和投影向量
1．已知向量⃗a与向量⃗b的夹角为π
3 ，且|⃗a|=2，|⃗b|=3则⃗a在⃗b方向上的投影向
量为（ ）
A．1
3⃗a
B．1
2⃗a
C．1
3⃗b
D．1
2⃗b
【答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】解：由题意，⃗a在⃗b方向上的投影向量为：
|⃗a|cos⟨⃗a,⃗b⟩⋅⃗b
|⃗b|
=2×cosπ
3 ·⃗b
3 = 1
3⃗b．
故选：C．
2．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，⃗a⋅⃗b=-3，则⃗b在⃗a上的投影向量为（ ）
A．- 3
4⃗a
B．- 3
2⃗a
C．- 1
3⃗a
D．- 2
3⃗a
【答案】A
【分析】根据投影向量的概念可直接求解.
【详解】⃗b在⃗a上的投影向量为：⃗a⋅⃗b
|⃗a| ⋅⃗a
|⃗a|=-3
2 ⋅⃗a
2 =- 3
4⃗a.
故选：A
3．已知非零向量⃗b在向量⃗a上的投影向量为1
2⃗a，|⃗a|=2，则(⃗b-⃗a)⋅⃗a =
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．- 1
2
【答案】A
【分析】利用投影向量的意义及数量积的运算律求解即得.
【详解】由非零向量⃗b在向量⃗a上的投影向量为1
2⃗a，得⃗b⋅⃗a
|⃗a|
2⃗a= 1
2⃗a，则⃗
b⋅⃗a
|⃗a|
2 = 1
2，而|⃗a|=2，
因此⃗b⋅⃗a=2，所以(⃗b-⃗a)⋅⃗a=⃗b⋅⃗a-⃗a
2=2-2
2=-2.
故选：A
4．已知|⃗a|=3，|⃗b|= 4，⃗a⋅⃗b=-12，则向量⃗a在⃗b方向上的投影向量为（ ）
A．- 3
4⃗a
B．- 3
4⃗b
C．- 4
3⃗b
D．- 4
3⃗a
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量⃗a在⃗b方向上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗b|
2⃗b=-12
4
2⃗b=- 3
4⃗b.
故选：B
5．已知向量⃗a，⃗b，满足|⃗a|=2，|⃗b|=1，且⃗b在⃗a上的投影向量为- 1
4⃗a，
则cos〈⃗a,⃗b 〉=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．- 1
4
D．1
4
【答案】A
【分析】利用投影向量公式即可求解.
【详解】设〈⃗a,⃗b 〉=θ，由⃗b在⃗a上的投影向量为- 1
4⃗a，知
|b
→
|cosθ×
a
→
|a
→
|
=- 1
4 a
→
，解得cosθ =- 1
2.
故选：A
6．若|⃗a|=2，|⃗b|=1，(⃗a-⃗b)⊥⃗b，则向量⃗a在向量⃗b上的投影向量为（ ）
A．- 1
4⃗a
B．1
4⃗a
C．-⃗b
D．⃗b
【答案】D
【分析】根据向量垂直可得⃗a⋅⃗b=1，进而求投影向量.
【详解】因为|⃗a|=2，|⃗b|=1，(⃗a-⃗b)⊥⃗b，
则(⃗a-⃗b)⋅⃗b=⃗a⋅⃗b-⃗b
2=⃗a⋅⃗b-1=0，即⃗a⋅⃗b=1，
所以向量⃗a在向量⃗b上的投影向量为(⃗
a⋅⃗b⃗
b
2 )⃗b=⃗b.
故选：D.
7．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,|⃗b|=1，且⃗b⊥(⃗a-⃗b)，则⃗b在⃗a上的投影向量为
（ ）
A．- 1
4⃗a
B．1
4⃗a
C．- 1
2⃗a
D．1
2⃗a
【答案】B
【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得⃗a⋅⃗b=1，再
代入投影向量的公式即可.
【详解】因为⃗b⊥(⃗a-⃗b)，所以⃗b⋅(⃗a-⃗b)=0，
所以⃗a⋅⃗b=|⃗b|
2=1，
设⃗a,⃗b的夹角为θ，
所以⃗b在⃗a上的投影向量为|⃗b|⋅cosθ
|⃗a|
⋅⃗a=⃗a⋅⃗b
|⃗a|
2 ⋅⃗a= 1
4⃗a.
故选：B.
8．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|= 4 , |⃗b|=2, |⃗a-⃗b|= 4，则⃗a在⃗b方向上的投影向量是
（ ）
A．⃗a
8
B．⃗a
4
C．⃗b
4
D．⃗b
2
【答案】D
【分析】先由题意求出⃗a⋅⃗b的值，再根据投影向量的概念即可得结果.
【详解】因为|⃗a|= 4 , |⃗b|=2, |⃗a-⃗b|= 4，
所以|⃗a-⃗b|
2=⃗a
2-2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=|⃗a|
2-2⃗a⋅⃗b+|⃗b|
2=16-2⃗a⋅⃗b+ 4 =16，
即⃗a⋅⃗b=2，
所以⃗a在⃗b方向上的投影向量是⃗a⋅⃗b
|⃗b|
⋅⃗b
|⃗b|
=⃗b
2，
故选：D.
9．已知|⃗a|=1，|⃗b|=2，cos⟨⃗a,⃗b⟩= 1
2，则⃗a在⃗b上的投影向量为（ ）.
A．1
2⃗b
B．1
2⃗a
C．1
4⃗b
D．1
4⃗a
【答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】⃗a在⃗b上的投影向量为|⃗a|cos⟨⃗a,⃗b⟩⃗b
|⃗b|
=1× 1
2⃗
b
2 = 1
4⃗b，
故选：C
10．已知向量⃗a与⃗b是非零向量，|⃗a|=1，|⃗b|= 1
2，⃗a与⃗b的夹角为120°，则⃗
a-⃗b在⃗b上的投影向量为（ ）
A．-2⃗b
B．2⃗b
C．-⃗b
D．⃗b
【答案】A
【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果.
【详解】由题意有
(⃗a-⃗b)⋅⃗b=⃗a⋅⃗b-⃗b
2=|⃗a||⃗b|cos120
°-|⃗b|
2=1× 1
2 ×(- 1
2)-(
1
2)
2
=- 1
2，
根据由投影向量定义可得⃗a-⃗b在⃗b上的投影向量为：
(⃗a-⃗b)⋅⃗b
|⃗b|⃗
b
|⃗b|
= (⃗a-⃗b)⋅⃗b
|⃗b|
2⃗
b=-2⃗b，
故选：A.
