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4.4 简单的三角恒等变换的应用
1．降幂公式
sin2α＝，cos2α＝.
2．升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
3．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
4．积化和差公式与和差化积公式
积化和
差公式
sin αcos β＝1
2[sin (α＋β)＋sin (α－β)]
cos αsin β＝1
2[sin (α＋β)－sin (α－β)]
cos αcos β＝1
2[cos (α＋β)＋cos (α－β)]
sin αsin β＝－1
2[cos (α＋β)－cos (α－β)]
和差化
积公式
sin θ＋sin φ＝2sin θ+φ
2
cos θ−φ
2
sin θ－sin φ＝2cos θ+φ
2
sin θ−φ
2
cos θ＋cos φ＝2cos θ+φ
2
cos θ−φ
2
cos θ－cos φ＝－2sin θ+φ
2
sin θ−φ
2
5．半角公式
(1)sin α
2 ＝{
❑√
1−cosα
2
，α
2 是第一、第二象限角
−❑√
1−cosα
2
，α
2 是第三、第四象限角
(2)cos α
2 ＝{
❑√
1+cosα
2
，α
2 是第一、第四象限角
−❑√
1+cosα
2
，α
2 是第二、第三象限角
(3)tan α
2 ＝±❑√
1−cosα
1+cosα ＝
sin α
1+cosα ＝1−cosα
sin α
．
[常用结论]
公式的常用变式(万能公式)
(1)sin 2α＝＝；
(2)cos 2α＝＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝2；
(6)1－sin α＝2；
(7)tan ＝＝.
考点一 辅助角公式与降幂公式
考点二 积化和差、和差化积与半角公式
考点三 利用三角恒等变换公式化简求值
考点四 三角恒等变换综合应用
考点一 辅助角公式与降幂公式
1．（25-26 高三上·上海·期中）函数
的值域是______________．
2．（2026·江苏淮安·模拟预测）
的值域为___________．
3．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列各式中，化简结果为1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·湖南永州·开学考试）（多选）已知函数
的图象关于点
对
称，则
的值可以是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三下·安徽·期中）（多选）已知
为锐角，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河南焦作·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 积化和差、和差化积与半角公式
7．（2026·重庆·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·青海西宁·二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
且
，则
的值为_____________．
10．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
11．（湖北武汉市2026 届高三年级五月供题数学试题）已知
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026 高三·全国·专题练习）（1）求值：
______；
（2）若
，则
的最大值是______．
考点三 利用三角恒等变换公式化简求值
13．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）（1）已知
，求
的值；
（2）化简：
.
14．（2026·海南海口·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 高三上·广东中山·阶段检测）（多选）下列各式化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知
．
(1)化简
，并求值；
(2)若
且
，求
的值．
17．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）已知函数
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
，且
，
均为锐角，求
的值.
18．（25-26 高三上·云南昆明·阶段检测）化简
（ ）
A．-1
B．
C．
D．1
19．（25-26 高三上·江苏镇江·阶段检测）（1）已知
，
，其中
，
.求角
的值.
（2）化简：
.
20．（25-26 高三上·全国·课后作业）化简：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
考点四 三角恒等变换综合应用
21．（25-26 高三上·湖北·期中）（多选）在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形
对应的函数为
，下列关于该函数说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递增
22．（25-26 高三上·海南海口·期中）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和对称中心；
(2)求
在区间
内的单调递增区间.
23．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知
，
，
．
(1)当
，
时，求函数
在
上的单调区间；
(2)若
在区间
上有解，求
的取值范围．
24．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知角
，
，且
，
，求
和
的值．
25．（25-26 高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数
，
．
(1)求
在
的单调递减区间；
(2)当
时，求
的最大值和最小值；
(3)若
，
，求
的值．
1．（2026·浙江金华·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．
或3
2．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）下列函数的最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·安徽马鞍山·期末）已知角
满足
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·福建泉州·三模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河南开封·二模）设函数
，若
恒成立，且
在
上最
大值与最小值的和为0，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．5
D．4
7．（25-26 高三上·广东江门·期中）设函数
，若
，则函数
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列各式的值正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
10．（25-26 高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为
，且在
上单调递增的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期中）（多选）下列各式计算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·四川巴中·期中）（多选）下列代数式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（24-25 高三上·江苏南通·阶段检测）已知
，则
的值为__________．
14．（25-26 高二下·北京·期中）已知函数
．若
在区间
上的最大值为
，
则
___________．
15．（25-26 高三上·上海·期中）化简：
(1)
；
(2)
.
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
．
(1)求函数的最小正周期、对称轴和零点；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若关于x 的方程
在
上有两个不同的解
、
，求实数m 的取值范围及
的值．
