文档文本内容
4.2 简单的三角恒等变换
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、两角和与差公式............................................................................................................................3
二、二倍角公式....................................................................................................................................3
三、降幂公式........................................................................................................................................3
四、升幂公式........................................................................................................................................3
五、辅助角公式....................................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：两角和与差的三角函数公式................................................................................................6
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用....................................................................................7
题型三：辅助角公式的多种应用........................................................................................................7
题型四：给值求值型问题....................................................................................................................8
题型五：给角求值型问题....................................................................................................................8
题型六：给值求角型问题....................................................................................................................9
题型七：正切恒等式的综合应用......................................................................................................10
题型八：三角函数式的化简.............................................................................................................. 11
题型九：三角恒等变换的综合应用..................................................................................................12
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................15
①数形结合..........................................................................................................................................16
②转化与化归......................................................................................................................................16
③分类讨论..........................................................................................................................................17
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................18
基础过关篇..........................................................................................................................................18
能力拓展篇..........................................................................................................................................20
1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的
恒等变换.
一、两角和与差公式
①
；③
；
②
；④
；
⑤
；变形公式：
；
⑥
；变形公式：
．
二、二倍角公式
①
；
②
；
③
三、降幂公式
①
；
②
；
③
．
四、升幂公式
①
，
②
；
③
，
④
．
五、辅助角公式
．
①其中辅助角
是由方程
，
，
．决定
②正弦在前，余弦在后（确保系数
，
不会弄反）
③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限.
④保证
，
．
常用二级结论
1、积化和公式
①
②
③
2、和化积公式
①
②
③
④
3、化简小技巧：
①1 的代换：
；
②
．
4、两角互组，两角互补，两角互余
①两角互组：
②两角互补：
③两角互余：
题型一：两角和与差的三角函数公式
【典例1-1】（2025·海南·模拟预测）若
，且
为锐角，
为钝角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式1-1】（2025·广东深圳·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2025·山东潍坊·二模）已知角
的顶点与坐标原点
重合，始边与
轴非负半轴重合，其终
边与圆
交于点
．若角
终边沿逆时针方向旋转角
，交圆
于点
，则角
可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用
【典例2-1】（2025·广西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
【典例2-2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
【变式2-1】（2025·江西·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知
，
是第三象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】（2025·河北·模拟预测）
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
题型三：辅助角公式的多种应用
【典例3-1】已知
，则
．
【典例3-2】已知关于
的方程
在
上有两个不同的实数解，则这两个解的和为
【解题总结】
对
化
，要清楚如何求
助角
简时
辅
的值.
【变式3-1】已知
，则
的值为 .
【变式3-2】（2025·高三·河北·开学考试）已知实数
，
，
，
满足：
，
，
，则
的最大值为 .
【变式3-3】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知
均为正数，
，则
的最大
值为 .
题型四：给值求值型问题
【典例4-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知
，则
的值为 ．
【典例4-2】已知
，
满足
，
，则
．
【解题总结】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱
导公式把“所求角”变成“已知角”.
【变式4-1】（2025·高三·广东深圳·期末）已知
，则
．
【变式4-2】已知
，
，
，
，则
的值为
．
【变式4-3】若
和
都为锐角，
，则
.
【变式4-4】已知
，
，
，则
.
题型五：给角求值型问题
【典例5-1】1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比
定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角
的斜边与邻边的比，叫做
的正割，用
表示；
其斜边与对边的比，叫做
的余割，用
表示；其邻边与对边的比，叫做
的余切，用
表示，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
角求
求解的关
在于“
角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之
的
系
找
化方法．
给
值问题
键
变
间
联
寻
转
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】
．
【变式5-3】求值：
．
【变式5-4】
．
题型六：给值求角型问题
【典例6-1】已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【解题总结】
针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为：首先，依据已知条件
计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目
所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等
工具，准确求出该角度的具体数值 。
【变式6-1】设
是方程
的两根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式6-2】已知等差数列
中，
，
，又
，
，其中
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【变式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：正切恒等式的综合应用
【典例7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【典例7-2】
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【解题总结】
当
时，
【变式7-1】（2025·江西·一模）化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式7-2】在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式7-4】（2025·河南·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式7-5】（2025·全国·模拟预测）已知正项等差数列
满足
，
，则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：三角函数式的化简
【典例8-1】（多选题）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（多选题）下列选项化简值为1 的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
(1)三角函数式的化简要遵循
三看
原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征
“
”
.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找
式子和三角函数公式之间的联系点.
【变式8-1】（多选题）（2025·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（多选题）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（多选题）下列计算或化简正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
为第二象限角，则
题型九：三角恒等变换的综合应用
【典例9-1】（1）求证：
；
（2）已知
，
，求
的值．
【典例9-2】已知
，
，
，
，
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
【解题总结】
进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公
式的逆用和变形使用.
【变式9-1】已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
【变式9-2】已知
，且
均为锐角．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【变式9-3】已知
，
为锐角，
，
．
(1)求证：
；
(2)求
的值．
【变式9-4】已知函数
（其中
）的最小正周期为
.
(1)若
，求
的值；
(2)已知
，求
的值.
1．已知
，
是函数
在
上的两个零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，则
A．3
B．
C．
D．2
4．已知
，
，则
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．如图所示，
A．
B．
C．
D．
2．在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点
和第二象限内的点
都在单位图O 上，
，
，其中
，
，若
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
3．已知正n 边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则
，其中
（ ）
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
5．已知
，
，则
A．
B．
C．
D．
6．若
，
，则
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
8．已知
，
，则
A．0
B．
C．1
D．
9．已知
，
都是锐角，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
基础过关篇
1．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 年新课标全国
卷数学真题）已知
Ⅰ
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年新课标全国
卷数学真题）已知
Ⅰ
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年新课标全国
卷数学真题）已知
Ⅱ
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 年新课标全国
卷数学真题）已知
Ⅱ
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
8．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
，则
= .
9．（2022 年新高考浙江数学高考真题）若
，则
，
．
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于
的方程
在
上有
个实根，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·甘肃白银·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，β
终边经过点
， 则（ ）
A．
B．β 终边在第二象限
C．
D．
19．（多选题）（2025·吉林·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（多选题）（2025·山东聊城·三模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知单位圆
的内接正
边形
的边长、周长和面积分
别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·高三·河南许昌·期中）当
时，
，则
.
23．公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约
为0.618，这一数值也可以表示为
，若
，
.
24．（2025·浙江杭州·模拟预测）若
，则
.
25．（2025·全国·二模）已知
，则
．
26．（2025·山东青岛·模拟预测）已知
，
，则
.
27．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
直线
对称.若
，则
= .
能力拓展篇
28．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集
上的函数
满足
，则
的取值范围为 ．
29．（2025·陕西汉中·二模）设
是关于
的方程
的一个实根，其中
为常数，
则
．
30．（2025·四川德阳·二模）若关于
的方程
在区间
上有且仅有一个实
数解，则实数
．
31．已知集合
，
，设函数
．
(1)当
时，证明：函数
是常数函数：
(2)已知
，写出所有使函数
是常数函数的集合
．
