1
解答题：三角函数与解三角形
目录
题型一：三角恒等变换与三角函数1
题型二：正余弦定理解三角形的边与角3
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆6
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围8
题型五：解三角形中面积的最值范围10
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线12
必刷大题17
题型一：三角恒等变换与三角函数
大题典例
例1 ：(24 - 25 高三上·河南·月考) 已知向量m= (cosx + sinx, 3sinx),n= (cosx - sinx,2cosx)，函数g(x) =
m⋅n.
(1) 求g(x) 的最小正周期;
(2) 若函数f(x) = g(x) - a 在区间0, π
2
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)π；(2) [1,2).
【解析】(1)g(x) = m⋅n= cos2x - sin2x + 2 3sinxcosx，= cos2x +
3sin2x = 2sin 2x+ π
6
∴g(x) 的最小正周期T = 2π
2 = π；
(2) 由题知g(x) = a 在区间0, π
2
上恰有两个不同的实数根，
即函数g(x) 在区间0, π
2
上的图象与直线y = a 恰有两个交点，
令u = 2x + π
6 , ∵x ∈0, π
2
, ∴u ∈
π
6 , 7π
6
，
作出y = 2sinu u∈π
6 , 7π
6
的图象与直线y = a，如图.
由图知，当1 ≤a < 2 时，y = 2sinu u∈π
6 , 7π
6
的图象与直线y = a 有两个交点，
∴实数a 的取值范围为[1,2).
2
解法指导
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
(1) 二倍角公式：sin 2α = 2sin αcos α (S2α)；cos 2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α (C2α)
(2) 降幂公式：cos2α = 1+cos2α
2
，sin2α = 1-cos2α
2
，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为y = Asin(ωx + φ) + B
3、辅助角公式：asin α + bcos α =
a2+b2sin(α + φ)，其中tan φ = b
a .
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将ωx + ϕ 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题(零点
问题)，通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江苏常州·月考) 如图，已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的图象过点
A 0,1
和B x0,-2
x0>0
，且满足AB
=
13.
(1) 求f x
的解析式；
(2) 当x ∈- 1
4 ,1
时，求函数f x
值域.
【答案】(1)f x
= 2sin 2π
3 x+ π
6
;(2) 0,2
【解析】(1) 由A 0,1
,B x0,-2
x0>0
, AB
=
13，得x2
0+ 9 = 13,x0> 0，则x0= 2
又f 0
= 1，即sin φ
= 1
2 , φ
< π
2 得φ = π
6 ，
由f 2
=-2，得sin 2ω+ π
6
=-1,
根据图象可知2ω + π
6 = 3π
2 ，解得ω = 2π
3
∴f x
= 2sin 2π
3 x+ π
6
.
(2) ∵x ∈- 1
4 ,1
，∴2π
3 x + π
6 ∈0, 5π
6
，故sin 2π
3 x+ π
6
∈0,1
，
f x
= 2sin 2π
3 x+ π
6
∈0,2
，即f x
的值域为0,2
.
3
【变式2】(24 - 25 高三上·北京·期中) 已知函数f x
= sin2x + 2sinxcosx - cos2x.
(1) 求f x
的最小正周期；
(2) 求不等式f x
≥-1 的解集；
(3) 从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m 的取值范围.
①f x
在0,m
有恰有两个极值点；
②f x
在0,m
单调递减；
③f x
在0,m
恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0 分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)π；(2) x kπ≤x≤3π
4 +kπ,k∈Z
；(3) 答案见解析
【解析】(1) 因为f x
= sin2x + 2sinxcosx - cos2x = 2sinxcosx - cos2x-sin2x
= sin2x - cos2x =
2sin 2x- π
4
.
所以f x
的最小正周期为2π
2 = π.
(2) 因为f x
=
2sin 2x- π
4
≥-1，即sin 2x- π
4
≥-
2
2 ，
则- π
4 + 2kπ ≤2x - π
4 ≤5π
4 + 2kπ,k ∈Z，解得kπ ≤x ≤3π
4 + kπ,k ∈Z，
所以不等式f x
≥-1 的解集为x kπ≤x≤3π
4 +kπ,k∈Z
.
(3) 因为x ∈0,m
，所以2x - π
4 ∈- π
4 ,2m- π
4
.
若选择①：因为f x
在0,m
有恰有两个极值点.
则3π
2 < 2m - π
4 ≤5π
2 ，解得7π
8 < m ≤11π
8 ，
所以m 的取值范围
7π
8 , 11π
8
；
若选择②：因为f x
在0,m
单调递减
当2x - π
4 ∈- π
4 , π
2
时，f x
函数递增，
所以f x
在0,m
不可能单调递减，所以②不符合题意；
若选择③：因为f x
在0,m
恰好有两个零点.
则π < 2m - π
4 ≤2π，解得5π
8 < m ≤9π
8 ，
所以m 的取值范围
5π
8 , 9π
8
.
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
大题典例
例2 ：(24 - 25 高三上·福建南平·期中) 在锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知cos2 A+B
=
- 3
4
(1) 求tan2C；
(2) 当c = 2a，且b =
7
2
时，求a.
4
【答案】(1) -
7
3 ；(2)
14
6
【解析】(1) 因为cos2 A+B
=- 3
4 ，
所以cos2 A+B
- sin2(A + B) =- 3
4 ，即cos2C - sin2C =- 3
4 ，
所以cos2C-sin2C
cos2C+sin2C = 1-tan2C
1+tan2C =- 3
4 ，
所以tan2C = 7，
又因为C 为锐角，所以tanC =
7，
所以tan2C =
2tanC
1-tan2C =-
7
3
(2) 由(1) 知tanC =
7 且C 为锐角，
所以cosC =
2
4 ，
所以c2= a2+ b2- 2abcosC，即4a2= a2+ 7
4 - 2a ×
7
2
×
2
4 ，
所以12a2+
14a - 7 = 0. 解之得a =
14
6
解法指导
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
(1) 已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
(2) 已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
(3) 已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
(4) 已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
(5) 已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的
关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)，并注意利
用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江苏苏州·月考) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a( 2 - cosB)
= 2bcos2 A
2 .
(1) 证明：b + c =
2a；
(2) 若a = 2，tanBtanC = 3，求sinA.
【答案】(1) 证明见解析；(2)sinA =
15
4
【解析】(1) 由已知结合正弦定理，得sinA( 2 - cosB) = 2sinBcos2 A
2 ，
5
化简得sinA( 2 - cosB) = sinB(1 + cosA)，
即sinAcosB + cosAsinB + sinB =
2sinA，
所以sin(A + B) + sinB =
2sinA，
又A + B = π - C，所以sinB + sinC =
2sinA，
故由正弦定理得b + c =
2a.
(2) 因为tanBtanC = 3，所以sinBsinC
cosBcosC = 3，
所以sinBsinC - cosBcosC = 2cosBcosC，
所以-cos(B + C) = 2cosBcosC，
结合B + C = π - A，可得-cos(B + C) = cosA，故cosA = 2cosBcosC，
由(1) 知b + c =
2a = 2 2，
由余弦定理得cosA = b2+c2-4
2bc
= (b+c)2-4
2bc
- 1 = 2
bc - 1，
则2
bc - 1 = 2 ⋅4+c2-b2
4c
⋅4+b2-c2
4b
，
化简得16 - 8bc = 4+c2-b2
4+b2-c2
= 16 - (b + c)2(b - c)2，
代入b + c = 2 2，整理得16 - 8bc = 16 - 8(b - c)2，所以bc = 8
5 ，
所以cosA = 2
bc - 1 = 1
4 ，
故sinA =
1-cos2A =
15
4
.
【变式2】(24 - 25 高三上·上海·期中) 在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知a = 5．
(1) 若A = π
3 ，b = 3c，求c；
(2) 若A = π
6 ，5csinB = 3b，求△ABC 的周长．
【答案】(1)c = 5 7
7
；(2)15 + 3 3 或7 + 3 3.
【解析】(1) 根据余弦定理a2= b2+ c2- 2bccosA，已知a = 5，A = π
3 ，b = 3c.
将b = 3c，a = 5，cosA = 1
2 代入余弦定理公式可得：
52= (3c)2+ c2- 2 × 3c × c × 1
2 化简得c2= 25
7
解得c = 5 7
7
(因为边长不能为负，舍去- 5 7
7
).
(2) 已知5csinB = 3b，由正弦定理
b
sinB =
c
sinC 可得5sinCsinB = 3sinB.
因为sinB ≠0，可得sinC = 3
5 .
因为a = 5，A = π
6 ，a < c 时C 有两解(C 为锐角或钝角).
当C 为锐角时，cosC = 4
5 .
sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC，sinA = 1
2 ，cosA =
3
2 .
则sinB = 1
2 × 4
5 +
3
2
× 3
5 = 4+3 3
10
.
6
再由正弦定理
b
sinB =
a
sinA ，可得b = asinB
sinA = 5 × 4+3 3
10
× 2 = (4 + 3 3).
c
sinC =
a
sinA ，可得c = asinC
sinA = 5 × 3
5 × 2 = 6.
此时三角形周长为a + b + c = 5 + (4 + 3 3) + 6 = 15 + 3 3.
当C 为钝角时，cosC =- 4
5 .
sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC = 1
2 × - 4
5
+
3
2
× 3
5 = 3 3-4
10
.
由正弦定理
b
sinB =
a
sinA ，可得b = asinB
sinA = 5 × 3 3-4
10
× 2 = (3 3 - 4).
c
sinC =
a
sinA ，可得c = asinC
sinA = 5 × 3
5 × 2 = 6.
此时三角形周长为a + b + c = 5 + (3 3 - 4) + 6 = 7 + 3 3.
则△ABC 的周长为15 + 3 3 或7 + 3 3.
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
大题典例
例3 ：(24 - 25 高三上·全国·专题练习)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2
ab
=
2sinB-sinA
sinA
．
(1) 求C 的大小；
(2) 若△ABC 面积为6 3，外接圆面积为49
3 π，求△ABC 周长.
【答案】(1) π
3 ；(2)18
【解析】(1) ∵b2+c2-a2
ab
= 2sinB-sinA
sinA
= 2b-a
a
，
∴ab = b2+ a2- c2，
∴cos
C = b2+a2-c2
2ab
= 1
2 ，
∵C ∈0，π
，∴C = π
3 ．
(2) 设△ABC 外接圆的半径为R，
由S圆= πR2= 49
3 π，得R = 7 3
3
，
因为
c
sinC = 2R = 14 3
3
，解得c = 7，
∵S△ABC = 1
2 absin
C = 6 3，所以ab = 24，
又c2= b2+ a2- ab = (a + b)2- 3ab，
所以49 = (a + b)2- 72 ，故a + b = 11，
所以△ABC 周长a + b + c = 18.
解法指导
7
利用正弦定理：a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R 可求解三角形外接圆的半径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将R 用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·海南·月考) 如图，平面四边形ABCD 内接于一个圆，且AB = 5，BD = 3 5 ，A 为钝
角，sinA = 3
5 .
(1) 求sin∠ABD；
(2) 若BC = 5，求△BCD 的面积．
【答案】(1) 2 5
25 ；(2)15
【解析】(1) 因为A 为钝角，sinA = 3
5 ，所以cosA =-
1-
3
5
2
=- 4
5 ，
由余弦定理得3 5
2= AD2+ 52- 2 × AD × 5 × - 4
5
，
整理得AD2+ 8AD - 20 = AD+10
AD-2
= 0，解得AD = 2(负根舍去)，
由正弦定理得
AD
sin∠ABD = BD
sinA ,sin∠ABD = AD×sinA
BD
=
2× 3
5
3 5 = 2 5
25 .
(2) 由于圆的内接四边形对角互补，所以sinC = sinA = 3
5 且C 为锐角，则cosC = 4
5 ，
在三角形BCD 中，由余弦定理得：
3 5
2= 52+ CD2- 2 × 5 × CD × 4
5 ，CD2- 8CD - 20 = CD-10
CD+2
= 0，
解得CD = 10(负根舍去)，
所以三角形BCD 的面积为1
2 × BC × CD × sinC = 1
2 × 5 × 10 × 3
5 = 15.
【变式2】(23 - 24 高三下·浙江·模拟预测) 如图，在平面内的四个动点A，B，C，D 构成的四边形ABCD 中，
AB = 1，BC = 2，CD = 3，AD = 4.
(1) 求△ACD 面积的取值范围；
8
(2) 若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.
【答案】(1) 0,2 5
；(2) 1155π
288
【解析】(1) 由三角形的性质可知，AB + BC > AC，即AC < 3，
且AC + CD > AD，即AC > 1，所以1 < AC < 3，
△ADC 中，cos∠ADC = 9+16-AC2
2×3×4
= 25-AC2
24
，
所以cos∠ADC ∈
2
3 ,1
，则sin∠ADC ∈0,
5
3
，
S△ADC = 1
2 × 3 × 4 × sin∠ADC = 6sin∠ADC，
所以△ADC 面积的取值范围是0,2 5
；
(2)△ADC 中，AC2= 9 + 16 - 2 × 3 × 4 × cos∠ADC = 25 - 24cos∠ADC，
△ABC 中，AC2= 1 + 4 - 2 × 1 × 2 × cos∠ABC = 5 - 4cos∠ABC，
即25 - 24cos∠ADC = 5 - 4cos∠ABC
因为四边形ABCD 存在外接圆，所以∠ADC + ∠ABC = 180°，即cos∠ADC =-cos∠ABC，
即25 - 24cos∠ADC = 5 + 4cos∠ADC，得cos∠ADC = 5
7 ，sin∠ADC =
1-
5
7
2
= 2 6
7
，
此时AC2= 25 - 24 × 5
7 = 55
7 ，即AC =
385
7
，
由2R =
AC
sin∠ADC =
2310
12
⇒R =
2310
24
，
四边形ABCD 外接圆的面积S = πR2= π ×
2310
24
2
= 1155π
288 .
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
大题典例
例4 ：(24 - 25 高三上·四川绵阳·月考) 在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，b2= c2- ab.
(1) 求证：C = 2B；
(2)b = 2，求a 的取值范围.
【答案】(1) 证明见解析；(2)2 < a < 4.
【解析】(1) 在锐角△ABC 中，由余弦定理b2= a2+ c2- 2accosB 及b2= c2- ab，得2ccosB = a + b，
由正弦定理得2sinCcosB = sinA + sinB = sin(B + C) + sinB = sinBcosC + cosBsinC + sinB，
则sin(C - B) = sinB，由0 < C < π
2 ,0 < B < π
2 ，得- π
2 < C - B < π
2 ，
所以C - B = B，即C = 2B.
(2) 在锐角△ABC 中，由正弦定理得
a
sinA =
b
sinB ，则
a
sin(π-B-2B) =
2
sinB ，
于是a = 2sin(B+2B)
sinB
= 2(sinBcos2B+cosBsin2B)
sinB
= 2cos2B + 4cos2B = 8cos2B - 2，
由
0<2B< π
2
0<π-3B< π
2
，得π
6 < B < π
4 ，则cosB ∈
2
2 ,
3
2
，cos2B ∈
1
2 , 3
4
，
所以a 的取值范围是2 < a < 4.
9
解法指导
利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后
通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基
本不等来处理。
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·山西·月考) 在△ABC 中，角A,B ,C 的对边分别是a,b,c，且b+c
cosA =
a cosB-cosC
．
(1) 证明：A = 2B．
(2) 若△ABC 是锐角三角形，求b
a 的取值范围．
【答案】(1) 证明见解析；(2)
3
3 ,
2
2
.
【解析】(1) 由题设sinB+sinC
cosA = sinA cosB-cosC
，
所以sinBcosA + sinCcosA = sinAcosB - sinAcosC，
则sinCcosA + sinAcosC = sinAcosB - sinBcosA，即sin(A + C) = sin(A - B)，
又A + C = π - B，则sin(π - B) = sinB = sin(A - B)，且A,B ∈(0,π)，
所以B = A - B ⇒A = 2B，得证.
(2) 由题设
0<A< π
2
0<B< π
2
π
2 <A+B<π
，即
0<2B< π
2
0<B< π
2
π
2 <3B<π
，得π
6 < B < π
4 ，
由b
a = sinB
sinA = sinB
sin2B =
1
2cosB ，而cosB ∈
2
2 ,
3
2
，故b
a ∈
3
3 ,
2
2
.
【变式2】(24 - 25 高三上·贵州遵义·月考) 记△ABC 的内角A，B，C 对应的三边分别为a，b，c，且
3 sinB +
cosB = 1.
(1) 求B；
(2) 若b = 3，求△ABC 的周长的取值范围.
【答案】(1)B = 2π
3 ；(2) 6,2 3+3
【解析】(1) 因为
3sinB + cosB = 1，所以2sin B+ π
6
= 1，即sin B+ π
6
= 1
2 ，
因为B ∈0,π
，所以B + π
6 = 5π
6 ，即B = 2π
3 ；
(2) 因为B = 2π
3 ，b = 3，由正弦定理得
a
sinA =
c
sinC =
b
sinB =
3
3
2
= 2 3，
则a = 2 3sinA,c = 2 3sinC，又A + B + C = π，
则C = π - B - A = π
3 - A，且A ∈0, π
3
，
所以a + b + c = 2 3sinA + 2 3sin π
3 -A
+ 3 = 2 3sinA + 3cosA -
3sinA + 3
10
=
3sinA + 3cosA + 3 = 2 3sin A+ π
3
+ 3
因为A ∈0, π
3
，所以A + π
3 ∈
π
3 , 2π
3
，则sin A+ π
3
∈
3
2 ,1
，
所以a + b + c ∈6,2 3+3
，
综上可知，三角形ABC 的周长的取值范围是6,2 3+3
．
题型五：解三角形中面积的最值范围
大题典例
例5 ：(24 - 25 高三上·辽宁沈阳·月考) 已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，满足
3bsinC - ccosB
= c．
(1) 求角B．
(2) 若△ABC 为锐角三角形，且a = 2，求△ABC 面积的取值范围．
【答案】(1) π
3 ；(2)
3
2 ,2 3
【解析】(1) 因为
3bsinC - ccosB = c，由正弦定理得
3sinBsinC - sinCcosB = sinC，
因为0 < C < π，可得sinC > 0，所以
3sinB - cosB = 1，所以sin B- π
6
= 1
2 ，
又因为0 < B < π，所以B - π
6 = π
6 ，解得B = π
3 .
(2) 由(1) 知B = π
3 ，且a = 2，
又由正弦定理得
a
sinA =
c
sinC ，可得c =
a
sinA ⋅sinC，
所以S = 1
2 acsinB =
3
2 c =
3
2
a
sinA sinC =
3sinC
sinA
=
3sin 2π
3 -A
sinA
=
3
3
2 cosA+ 1
2 sinA
sinA
=
3
2
+
3
2tanA ，
因为△ABC 为锐角三角形，所以0 < A < π
2 ，且0 < C = 2π
3 - A < π
2 ，可得π
6 < A < π
2 ，
则tanA >
3
3 ，所以0 <
3
2tanA < 3 3
2
，所以△ABC 面积的取值范围是
3
2 ,2 3
．
解法指导
1、常用三角形的面积公式：
(1)S = 1
2 ah；
(2)S = 1
2 absinC = 1
2 acsinB = 1
2 bcsinA；
(3)S = 1
2 r(a + b + c) (r 为三角形内切圆半径)；
(4)S =
p(p-a)(p-b)(p-c) ，即海伦公式，其中p = 1
2 (a + b + c) 为三角形的半周长。
11
2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用
正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江西·期中) 已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且cosC
b
+ ccosA
ab
=
3
4acosB .
(1) 求cosB；
(2) 若b = 4，求△ABC 面积的最大值.
【答案】(1) 3
4 ；(2)4 7.
【解析】(1) 由cosC
b
+ ccosA
ab
=
3
4acosB ，得acosC + ccosA =
3b
4cosB ，
由正弦定理，得sinAcosC + sinCcosA = 3sinB
4cosB ，
因为sinAcosC + sinCcosA = sin A+C
= sinB，且0 < B < π,sinB ≠0，
综上，
3
4cosB = 1 ⇒cosB = 3
4 .
(2) 因为b = 4,cosB = 3
4 ，
由余弦定理，得16 = a2+ c2- 2accosB = a2+ c2- 3
2 ac ≥2ac - 3
2 ac = 1
2 ac，
所以ac ≤32，当且仅当a = c = 4 2 时取等号，
因为sinB =
1-cos2B =
1-
3
4
2
=
7
4 ，
所以△ABC 面积S = 1
2 acsinB ≤1
2 × 32 ×
7
4
= 4 7，即△ABC 面积的最大值为4 7.
【变式2】(24 - 25 高三上·河南·月考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
a+b
cosA+cosB =
c
sinC ．
(1) 求C 的值；
(2) 若△ABC 内有一点P，满足∠APB = ∠APC = ∠CPB = 2π
3 ，CP = 1，求△ABC 面积的最小值．
【答案】(1) π
2 ；(2) 3 3
2
+ 3
【解析】(1) 因为
a+b
cosA+cosB =
c
sinC ，
由正弦定理得，2RsinA+2RsinB
cosA+cosB
= 2RsinC
sinC
，
所以sinA+sinB
cosA+cosB = 1，即sinA - cosA = cosB - sinB，
所以
2sin A- π
4
=- 2sin B- π
4
，
即sin A- π
4
=-sin B- π
4
= sin B- π
4 +π
= sin B+ 3π
4
，
又因为A,B,C 是三角形得内角，显然A - π
4 ≠B + 3π
4 ，所以A- π
4
+ B+ 3π
4
= π，
12
即A + B = π
2 ，所以C = π
2 .
(2) 法一：由(1) 得：C = π
2 ，设PA = m,PB = n，
在△PAB 中，由余弦定理得，AB2= m2+ n2- 2mncos 2π
3 = m2+ n2+ mn，
同理在△PBC,△PAC 中有：BC2= n2+ 1 - 2ncos 2π
3 = n2+ 1 + n，
AC2= m2+ 1 - 2mcos 2π
3 = m2+ 1 + m，
又因为△ABC 是直角三角形，所以AB2= BC2+ AC2，
所以m2+ n2+ mn = m2+ n2+ m + n + 2，即mn = m + n + 2，
所以n = m+2
m-1 ，因为n > 0,m + 2 > 0，所以m - 1 > 0，即m > 1，所以
S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC= 1
2 mn⋅sin 2π
3 + 1
2 ×1⋅n⋅sin 2π
3 + 1
2 ×1⋅m⋅sin 2π
3 ，
=
3
4
m+n+mn
=
3
2
m+n+1
=
3
2
m+1+ m+2
m-1
=
3
2
+
3
2
m+ m+2
m-1
，
=
3
2
+
3
2
⋅m2+2
m-1 =
3
2
+
3
2
⋅
m-1
2+2 m-1
+3
m-1
=
3
2
+
3
2
⋅
m-1
+
3
m-1 +2
，
≥
3
2
+
3
2
⋅2
m-1
⋅
3
m-1 +2
=
3
2
+
3
2
⋅2 3+2
= 3 3
2
+ 3，
当且仅当m - 1 =
3
m-1 ，即m = n = 1 +
3 时取等号.
△ABC 的面积的最小值为3 3
2
+ 3．
法二：在△ABC 中，设PA = x,PB = y，
由余弦定理可得，AC2= x2+ x + 1,BC2= y2+ y + 1,AB2= x2+ xy + y2.
由勾股定理可得:x2+ x + 1 + y2+ y + 1 = x2+ xy + y2，即2 + x + y = xy.
而S△ABC = 1
2 (1 × x + 1 × y + xy)sin 2π
3 =
3
4 (x + y + xy) =
3
4 (2xy - 2).
由基本不等式x + y ≥2 xy，所以xy ≥2 + 2 xy，可解得xy ≥4 + 2 3(由上xy > 2)，
当且仅当x = y =
3 + 1 时等号成立，
所以△ABC 面积最小值为6+3 3
2
.
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
大题典例
例6 ：(24 - 25 高三上·江苏徐州·月考) 已知△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2c = 2bcosA - a．
13
(1) 求角B；
(2) 若BD 是角B 的平分线，AD = 4 7,CD = 2 7，求线段BD 的长．
【答案】(1)B = 2π
3 ；(2)4.
【解析】(1) 已知2c = 2bcosA - a，由正弦定理
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R(R 为△ABC 外接圆半径)，
可得2sinC = 2sinBcosA - sinA.
因为A + B + C = π，所以C = π - (A + B)，那么sinC = sin(π - (A + B)) = sin(A + B).
根据两角和的正弦公式sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，
则2(sinAcosB + cosAsinB) = 2sinBcosA - sinA.
展开可得2sinAcosB + 2cosAsinB = 2sinBcosA - sinA.
移项可得2sinAcosB =-sinA.
因为A ∈(0,π)，所以sinA ≠0，两边同时除以sinA 得2cosB =-1，解得cosB =- 1
2 .
又因为B ∈(0,π)，所以B = 2π
3 .
(2) 因为BD 是角B 的平分线，根据角平分线定理AB
BC = AD
DC ，
已知AD = 4 7，CD = 2 7，所以AB
BC = 4 7
2 7 = 2，设BC = x，则AB = 2x.
在△ABC 中，根据余弦定理AC2= AB2+ BC2- 2AB ⋅BC ⋅cosB，
AC = AD + DC = 6 7，B = 2π
3 ，则(6 7)2= (2x)2+ x2- 2 × 2x × x × - 1
2
.
即252 = 4x2+ x2+ 2x2= 7x2，解得x = 6，所以BC = 6，AB = 12.
在△ABD 中，根据余弦定理cos B
2 = AB2+BD2-AD2
2AB⋅BD
，
因为B = 2π
3 ，所以cos B
2 = cos π
3 = 1
2 .
设BD = y，则1
2 = 122+y2-(4 7)2
2×12y
.
即12y = 144 + y2- 112，整理得y2- 12y + 32 = 0.
分解因式得(y - 8) (y - 4) = 0，解得y = 8 或y = 4.
当y = 8，在△CBD 中，CB2+BD2-CD2
2CB⋅BD
= 36+64-28
2×6×8
= 72
96 = 3
4 ≠cos∠DBC, 舍去.
当y = 4，在△CBD 中，CB2+BD2-CD2
2CB⋅BD
= 36+16-28
2×6×4
= 24
48 = 1
2 = cos∠DBC, 满足.
故BD 的长度为4.
解法指导
1、解三角形角平分线的应用
如图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC，角A、B，C 所对的边分别问a，b，c
14
(1) 利用角度的倍数关系：∠BAC = 2∠BAD = 2∠CAD
(2) 内角平分线定理：AD 为∆ABC 的内角∠BAC 的平分线，则AB
AC = BD
DC .
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可
以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
(3) 等面积法：因为S∆ABD + S∆ACD = S∆ABC，所以1
2 c ∙ADsin A
2 + 1
2 b ∙ADsin A
2 = 1
2 bcsinA，
所以b+c
AD = 2bccos A
2 ，整理的：AD =
2bccos A
2
b+c
(角平分线长公式)
2、解三角形中线的应用
(1) 中线长定理：在∆ABC 中，AD 是边BC 上的中线，则AB2+ AC2= 2(BD2+ AD2)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
(2) 向量法：AD
2= 1
4
b2+c2+2bccosA
【点睛】适用于已知中线求面积(已知BD
CD 的值也适用).
3、解三角形垂线的应用
(1)
分别为
边
上的高，则
(2) 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：(1) 产生直角三角形；(2) 与三角形的面积相关。
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·福建福州·月考)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知c-b
c
=
sin A-B
sinC
．
(1) 求A；
(2) 若D 为BC 中点，AD =
13
2
，AC = 3，求△ABC 的周长．
【答案】(1) π
3 ；(2)4 +
7
【解析】(1) ∵c-b
c
= sin A-B
sinC
，由正弦定理得，sinC-sinB
sinC
= sin A-B
sinC
,
即sinC - sinB = sin A-B
，因为A + B = π - C，所以sinC = sin A+B
，
所以sin A+B
- sinB = sin A-B
，
化简得2cosAsinB = sinB，又sinB ≠0，
可得cosA = 1
2 ，0 < A < π，
15
∴A = π
3 .
(2) 因为D 是BC 的中点，所以AD
= 1
2
AB
+AC
，
则AD
2= AD
2= 1
4
AB
+AC
2= 1
4
AB
2+AC
2+2AB
⋅AC
= 13
4 ，
即AB
2+ 9 + 2 AB
× 3 × 1
2 = 13，整理得AB
2+ 3 AB
- 4 = 0，解得AB = 1 或-4(舍去)，
在△ABC 中，由余弦定理可得BC2= AB2+ AC2- 2AB × AC × cosA = 1 + 9 - 2 × 1 × 3 × 1
2 = 7，
∴BC =
7，所以△ABC 的周长为1 + 3 +
7 = 4 +
7.
【变式2】(24 - 25 高三上·广西南宁·月考) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c．已知b
c =
sin2B
2sinA+sinB ．
(1) 求角C；
(2) 若点D 在边AB 上，b = 2,CD = 1，请在下列两个条件中任选一个，求边长AB．
①CD 为△ABC 的角平分线；②CD 为△ABC 的中线．
【答案】(1) 2π
3 ；(2)2 3
【解析】(1) 在△ABC 中，由正弦定理知b
c = sinB
sinC ，
所以sinB
sinC =
sin2B
2sinA+sinB =
2sinBcosB
2sinA+sinB ，
又B ∈(0,π)，所以sinB > 0,
1
sinC =
2cosB
2sinA+sinB ，
∴2sinA + sinB = 2cosBsinC，
又A = π - (B + C), ∴2sin(B + C) + sinB = 2cosBsinC，
∴2sinBcosC + 2cosBsinC + sinB = 2cosBsinC，
化简得2sinBcosC + sinB = 0，即cosC =- 1
2 ，
又C ∈(0,π)，所以C = 2π
3 ．
(2) 选①，CD 为△ABC 的角平分线，
由S△ACD + S△BCD = S△ABC 得：1
2 CA ⋅CD ⋅sin∠ACD + 1
2 CB ⋅CD ⋅sin∠BCD = 1
2 CA ⋅CB ⋅sin∠ACB，
即1
2 b ⋅1 ⋅
3
2
+ 1
2 a ⋅1 ⋅
3
2
= 1
2 b ⋅a ⋅
3
2 ，所以a + b = ab，
又b = 2，所以a = 2，
在△ABC 中，由余弦定理得c2= a2+ b2- 2abcosC = 22+ 22- 8cos 2π
3 = 12，
所以AB = c = 2 3.
选②，CD 为△ABC 的中线，
则CA
+ CB
= 2CD
，平方得CA
2+ CB
2+ 2CA
2⋅CB
2= 4CD
2，
所以b2+ a2+ 2abcosC = 4 × 12，所以a2+ b2- ab = 4，
又b = 2，所以a = 2，
在△ABC 中，由余弦定理得c2= a2+ b2- 2abcosC = 22+ 22- 8cos 2π
3 = 12，
所以AB = c = 2 3.
16
17
必刷大题
名校模拟题
题1. (24 - 25 高三上·山东菏泽·期中) 记锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知c
b - cosC
cosB =
2cosA．
(1) 求B；
(2) 延长AC 到D，使AC = 2CD,∠CBD = 15°，求tanA．
【答案】(1)B = 45°；(2)2 +
3
【解析】(1) 已知c
b - cosC
cosB = 2cosA，正弦定理得sinC
sinB - cosC
cosB = 2cosA，
则有sinCcosB-sinBcosC
sinBcosB
= 2cosA，
所以sin C-B
= cosAsin2B，而A + B + C = 180°，
则cosAsin2B = sin A+2B
= sinAcos2B + cosAsin2B，
即sinAcos2B = 0，锐角△ABC 中，sinA ≠0，则cos2B = 0，
由0° < B < 90°，因此B = 45°.
(2) 在△ABC 中，由正弦定理得BC
sinA =
AC
sin45° ①．
在△BCD 中，由正弦定理得BC
sinD =
CD
sin15° ②．
AC = 2CD，∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 60°，得A + D = 120°，
由①②可得，sinA = sinDsin45°
2sin15°
=
3+1
2
sin 120°-A
= 3+
3
4
cosA + 1+
3
4
sinA,
解得tanA = 2 +
3．
题2. (24 - 25 高三上·上海·期中) 设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，a = btanA 且B 为钝角.
(1) 若A = π
12 ,c = 2，求△ABC 的面积；
(2) 求sinA + sinC 的取值范围.
【答案】(1)
3
3 ；(2)
2
2 , 9
8
【解析】(1)a = btanA ⇒sinA = sinB ⋅sinA
cosA ⇒sinAcosA = sinBsinA，
因为A = π
12 ，sinA > 0，故sinB = cosA，
因为B 为钝角，所以B = A + π
2 ⇒B = 7π
12 ，C = π - 7π
12 - π
12 = π
3 ，
由正弦定理得
c
sinC =
a
sinA ，故
2
sin π
3
=
a
sin π
12
，
其中sin π
12 = sin π
3 - π
4
= sin π
3 cos π
4 - cos π
3 sin π
4 =
3
2
×
2
2
- 1
2 ×
2
2
=
6-
2
4
，
所以
2
3
2
=
a
6-
2
4
，解得a = 3 2-
6
3
，
sinB = 7π
12 = sin π
3 + π
4
= sin π
3 cos π
4 + cos π
3 sin π
4
=
3
2
×
2
2
+ 1
2 ×
2
2
=
6+
2
4
，
18
S△ABC = 1
2 acsinB = 1
2 × 2 × 3 2-
6
3
×
6+
2
4
=
3
3 ；
(2) 由(1) 知，B = A + π
2 ，
sinA + sinC = sinA + sin π-A-B
= sinA + sin π-A-A- π
2
= sinA + sin π
2 -2A
= sinA + cos2A =-2sin2A + sinA + 1
=-2 sinA- 1
4
2
+ 9
8 ，
因为B 为钝角，所以B = A + π
2 > π
2 ，C = π
2 - 2A ∈0, π
2
且A ∈0, π
2
，
解得A ∈0, π
4
，
所以sinA ∈0,
2
2
,sinA - 1
4 ∈- 1
4 ,
2
2 - 1
4
, sinA- 1
4
2
∈0, 9
16 -
2
4
，
sinA + sinC =-2 sinA- 1
4
2
+ 9
8 ∈
2
2 , 9
8
.
题3. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 在△ABC 中，a，b，c 分别是内角A，B，C 的对边，且b2+ c2= 5a2.
(1) 若sinB =
6
2 sinC，求cosA；
(2) 若AB
⋅AC
= 8，求△ABC 的面积的最大值.
【答案】(1)
6
3 ；(2)3
【解析】(1) 因为sinB =
6
2 sinC，所以由正弦定理得
2b =
3c，
又b2+ c2= 5a2，所以b =
3a，c =
2a，
从而cosA = b2+c2-a2
2bc
=
5a2-a2
2 3a⋅
2a =
6
3 .
(2) 由余弦定理可知b2+ c2- 2bccosA = a2，则bccosA = 2a2，
又AB
⋅AC
= bccosA = 8，故a = 2，
即b2+ c2= 20，故2bc ≤20，即bc ≤10，
从而S△ABC = 1
2 bcsinA = 1
2
b2c2-(bccosA)2 = 1
2
b2c2-64 ≤3，
当b = c =
10 时取等号，即△ABC 的面积的最大值为3.
题4. (24 - 25 高三上·辽宁大连·月考) 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，满足sin2A + sin2C =
sin2B + sinAsinC.
(1) 求角B 的大小；
(2) 若△ABC 的面积为
3，求a + c 的最小值．
【答案】(1)B = π
3 ；(2)4
【解析】(1) 由正弦定理得a2+ c2= b2+ ac，
又由余弦定理得cosB = a2+c2-b2
2ac
= ac
2ac = 1
2 ，
因为B 是三角形内角，所以B = π
3 ；
19
(2) 由三角形面积公式得：S△ABC = 1
2 acsinB = 1
2 acsin π
3 =
3
4 ac =
3，解得ac = 4，
因为a + c ≥2 ac = 4，当且仅当a = c = 2 时取等号，
所以a + c 的最小值为4，此时△ABC 为等边三角形．
题5. (24 - 25 高三上·江苏无锡·期中) 在△ABC 中，已知
3tanA-1
3tanB-1
= 4.
(1) 若△ABC 为锐角三角形，求角C 的值，并求sin2A - cos2B 的取值范围;
(2) 若AB =
3，线段AB 的中垂线交边AC 于点D，且CD = 1，求A 的值.
【答案】(1)C = π
3 ；1
4 , 1
2
；(2)A = π
18
【解析】(1) 由题意
3tanA-1
3tanB-1
= 3tanAtanB -
3 tanA+tanB
+ 1 = 4，
所以
3 tanAtanB-1
= tanA + tanB，
所以tan A+B
= tanA+tanB
1-tanAtanB =- 3 = tan π-C
，所以tanC =
3，
易知C ∈0,π
，所以C = π
3 ，则A + B = 2π
3 ，
因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈0, π
2
,B = 2π
3 - A ∈0, π
2
，即A ∈
π
6 , π
2
，
所以sin2A - cos2B = sin2A - cos2 2π
3 -A
= sin2A - - 1
2 cosA+
3
2 sinA
2
= 1
4 sin2A +
3
2 sinAcosA - 1
4 cos2A =- 1
4 cos2A +
3
4 sin2A = 1
2 sin 2A- π
6
，
由A ∈
π
6 , π
2
知2A - π
6 ∈
π
6 , 5π
6
，所以1
2 sin 2A- π
6
∈
1
4 , 1
2
，
即sin2A - cos2B 的取值范围为
1
4 , 1
2
；
(2)
设AB 中点为E，则∠DBA = A, ∴∠CBD = 2π
3 - 2A,DB = AD = AE
cosA =
3
2cosA ，
在△CBD 中，由正弦定理得DB
sin π
3
=
CD
sin 2π
3 -2A
，即
1
cosA =
1
sin 2π
3 -2A
，
所以sin 2π
3 -2A
= cosA = sin π
2 -A
，
因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D，可知A < B，所以0 < A < π
2 ，
则2π
3 - 2A = π
2 - A，解之得A = π
6 ，此时B = π
2 ，正切不存在，舍去；
或2π
3 - 2A + π
2 - A = π，解之得A = π
18 ；
综上A = π
18 .
题6. (24 - 25 高三上·天津·月考) 在△ABC 中，角A,B,C 对应边分别为a,b,c，外接圆半径为1，已知
20
2 sin2A-sin2C
= a-b
sinB.
(1) 证明：a2+ b2- c2= ab；
(2) 求角C 和边c；
(3) 若b = 3
2 ，求sin 2A+4B+5C
.
【答案】(1) 证明见解析；(2)C = π
3 ，c =
3；(3) - 3 7
8
.
【解析】(1) 设△ABC 的外接圆半径为R，
由正弦定理可得
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，又R = 1，
所以sinA = a
2 ，sinB = b
2 ，sinC = c
2 ，又2 sin2A-sin2C
= a-b
sinB，
所以a2
2 - c2
2 = a-b
b
2 ，
所以a2+ b2- c2= ab；
(2) 由余弦定理可得cosC = a2+b2-c2
2ab
，又a2+ b2- c2= ab，
所以cosC = 1
2 ，又C ∈0,π
，所以C = π
3 ，
由(1)sinC = c
2 ，所以c = 2sin π
3 =
3，
所以C = π
3 ，c =
3；
(3) 因为b = 3
2 ，sinB = b
2 ，所以sinB = 3
4 ，b < c，
所以B < C，故B 为锐角，所以cosB =
7
4 ，
因为C = π
3 ，A + B + C = π，
所以sin 2A+4B+5C
= sin 2A+4B+2C+π
= sin 3π+2B
，
所以sin 2A+4B+5C
=-sin2B =-2sinBcosB =- 3 7
8
.
所以sin 2A+4B+5C
=- 3 7
8
.
高考真题
题7. (2024·上海·高考真题) 已知f(x) = sin ωx+ π
3
，ω > 0
(1) 设ω = 1，求解:y = f x
,x ∈0,π
的值域;
(2)a > π(a ∈R),f(x) 的最小正周期为π，若在x ∈π,a
上恰有3 个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1) -
3
2 ,1
；(2)a ∈
7π
3 , 17π
6
【解析】(1) 因为ω = 1，所以f x
= sin x+ π
3
，
因为x ∈0,π
，所以令t = x + π
3 ,t ∈
π
3 , 4π
3
，
由正弦函数性质得y = g t
= sint 在
π
3 , π
2
上单调递增，在
π
2 , 4π
3
上单调递减，
所以g π
2
= 1,g 4π
3
=-
3
2 ,g π
3
=
3
2 ，故y ∈-
3
2 ,1
，
21
(2) 由题意得T = 2π
ω = π，所以ω = 2，可得f x
= sin 2x+ π
3
，
当f x
= 0 时，2x + π
3 = kπ，k ∈Z，即x =- π
6 + kπ
2 ，k ∈Z，
当k = 2 时，x = 5π
6 < π，不符合题意，
当k = 3 时，x = 4π
3 > π，符合题意，
当k = 4 时，x = 11π
6
> π，符合题意，
当k = 5 时，x = 7π
3 > π，符合题意，
所以4π
3 + T ≤a < 4π
3 + 3
2 T，
即7π
3 ≤a < 17π
6 ，故a ∈
7π
3 , 17π
6
.
题8. (2024·广东江苏·高考真题) 记△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sinC =
2cosB，a2+ b2
- c2=
2ab
(1) 求B；
(2) 若△ABC 的面积为3 +
3，求c．
【答案】(1)B = π
3 ；(2)2 2
【解析】(1) 由余弦定理有a2+ b2- c2= 2abcosC，对比已知a2+ b2- c2=
2ab，
可得cosC = a2+b2-c2
2ab
=
2ab
2ab
=
2
2 ，
因为C ∈0,π
，所以sinC > 0，
从而sinC =
1-cos2C =
1-
2
2
2
=
2
2 ，
又因为sinC =
2cosB，即cosB = 1
2 ，
注意到B ∈0,π
，所以B = π
3 .
(2) 由(1) 可得B = π
3 ，cosC =
2
2 ，C ∈0,π
，从而C = π
4 ，A = π - π
3 - π
4 = 5π
12 ，
而sinA = sin 5π
12
= sin π
4 + π
6
=
2
2
×
3
2
+
2
2
× 1
2 =
6+
2
4
，
由正弦定理有
a
sin 5π
12
=
b
sin π
3
=
c
sin π
4
，
从而a =
6+
2
4
⋅
2c =
3+1
2
c,b =
3
2
⋅
2c =
6
2 c，
由三角形面积公式可知，△ABC 的面积可表示为
S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ⋅
3+1
2
c ⋅
6
2 c ⋅
2
2
= 3+
3
8
c2，
由已知△ABC 的面积为3 +
3，可得3+
3
8
c2= 3 +
3，所以c = 2 2.
题9. (2024·全国·高考真题) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA +
3cosA = 2．
(1) 求A．
(2) 若a = 2，2bsinC = csin2B，求△ABC 的周长．
22
【答案】(1)A = π
6 ；(2)2 +
6 + 3 2
【解析】(1) 方法一：常规方法(辅助角公式)
由sinA +
3cosA = 2 可得1
2 sinA +
3
2 cosA = 1，即sin A+ π
3
= 1，
由于A ∈(0,π) ⇒A + π
3 ∈
π
3 , 4π
3
，故A + π
3 = π
2 ，解得A = π
6
方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sinA +
3cosA = 2，又sin2A + cos2A = 1，消去sinA 得到：
4cos2A - 4 3cosA + 3 = 0 ⇔(2cosA -
3)2= 0，解得cosA =
3
2 ，
又A ∈(0,π)，故A = π
6
方法三：利用极值点求解
设f(x) = sinx +
3cosx(0 < x < π)，则f(x) = 2sin x+ π
3
(0 < x < π)，
显然x = π
6 时，f(x)max = 2，注意到f(A) = sinA +
3cosA = 2 = 2sin A+ π
3
，
f(x)max = f(A)，在开区间(0,π) 上取到最大值，于是x = A 必定是极值点，
即f(A) = 0 = cosA -
3sinA，即tanA =
3
3 ，
又A ∈(0,π)，故A = π
6
方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)
设a= (1, 3),b= (sinA,cosA)，由题意，a⋅b= sinA +
3cosA = 2，
根据向量的数量积公式，a⋅b= |a||b|cos a,b
= 2cos a,b
，
则2cosa,b= 2 ⇔cosa,b= 1，此时a,b= 0，即a,b同向共线，
根据向量共线条件，1 ⋅cosA =
3 ⋅sinA ⇔tanA =
3
3 ，
又A ∈(0,π)，故A = π
6
方法五：利用万能公式求解
设t = tan A
2 ，根据万能公式，sinA +
3cosA = 2 =
2t
1+t2 +
3(1-t2)
1+t2
，
整理可得，t2- 2(2 -
3)t + (2 -
3)2= 0 = (t - (2 -
3))2，
解得tan A
2 = t = 2 -
3，根据二倍角公式，tanA =
2t
1-t2 =
3
3 ，
又A ∈(0,π)，故A = π
6
(2) 由题设条件和正弦定理
2bsinC = csin2B ⇔
2sinBsinC = 2sinCsinBcosB，
又B,C ∈(0,π)，则sinBsinC ≠0，进而cosB =
2
2 ，得到B = π
4 ，
于是C = π - A - B = 7π
12 ，
sinC = sin(π - A - B) = sin(A + B) = sinAcosB + sinBcosA =
2+
6
4
，
由正弦定理可得，a
sinA =
b
sinB =
c
sinC ，即
2
sin π
6
=
b
sin π
4
=
c
sin 7π
12
，
23
解得b = 2 2,c =
6 +
2，
故△ABC 的周长为2 +
6 + 3 2
题10. (2024·天津·高考真题) 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知cosB = 9
16 ，b = 5，a
c = 2
3 ．
(1) 求a 的值；
(2) 求sinA 的值；
(3) 求cos B-2A
的值．
【答案】(1)4；(2)
7
4 ；(3) 57
64
【解析】(1) 设a = 2t,c = 3t，t > 0，则根据余弦定理得b2= a2+ c2- 2accosB，
即25 = 4t2+ 9t2- 2 × 2t × 3t × 9
16 ，解得t = 2(负舍)；
则a = 4,c = 6.
(2) 法一：因为B 为三角形内角，所以sinB =
1-cos2B =
1-
9
16
2
= 5 7
16 ，
再根据正弦定理得
a
sinA =
b
sinB ，即
4
sinA =
5
5 7
16
，解得sinA =
7
4 ，
法二：由余弦定理得cosA = b2+c2-a2
2bc
= 52+62-42
2×5×6
= 3
4 ，
因为A ∈0,π
，则sinA =
1-
3
4
2
=
7
4
(3) 法一：因为cosB = 9
16 > 0，且B ∈0,π
，所以B ∈0, π
2
，
由(2) 法一知sinB = 5 7
16 ，
因为a < b，则A < B，所以cosA =
1-
7
4
2
= 3
4 ，
则sin2A = 2sinAcosA = 2 ×
7
4
× 3
4 = 3 7
8
，cos2A = 2cos2A - 1 = 2 ×
3
4
2
- 1 = 1
8
cos B-2A
= cosBcos2A + sinBsin2A = 9
16 × 1
8 + 5 7
16
× 3 7
8
= 57
64 .
法二：sin2A = 2sinAcosA = 2 ×
7
4
× 3
4 = 3 7
8
，
则cos2A = 2cos2A - 1 = 2 ×
3
4
2
- 1 = 1
8 ，
因为B 为三角形内角，所以sinB =
1-cos2B =
1-
9
16
2
= 5 7
16 ，
所以cos B-2A
= cosBcos2A + sinBsin2A = 9
16 × 1
8 + 5 7
16
× 3 7
8
= 57
64
题11. (2024·北京·高考真题) 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，∠A 为钝角，a = 7，sin2B =
3
7 bcosB．
(1) 求∠A；
(2) 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，求△ABC 的面积．
条件①：b = 7；条件②：cosB = 13
14 ；条件③：csinA = 5
2
3．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
24
分．
【答案】(1)A = 2π
3 ；(2) 选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为15 3
4
.
【解析】(1) 由题意得2sinBcosB =
3
7 bcosB，因为A 为钝角，
则cosB ≠0，则2sinB =
3
7 b，则
b
sinB =
2
3
7
=
a
sinA =
7
sinA ，解得sinA =
3
2 ，
因为A 为钝角，则A = 2π
3 .
(2) 选择①b = 7，则sinB =
3
14 b =
3
14 × 7 =
3
2 ，因为A = 2π
3 ，则B 为锐角，则B = π
3 ，
此时A + B = π，不合题意，舍弃；
选择②cosB = 13
14 ，因为B 为三角形内角，则sinB =
1- 13
14
2
= 3 3
14 ，
则代入2sinB =
3
7 b 得2 × 3 3
14
=
3
7 b，解得b = 3，
sinC = sin A+B
= sin 2π
3 +B
= sin 2π
3 cosB + cos 2π
3 sinB
=
3
2
× 13
14 + - 1
2
× 3 3
14
= 5 3
14 ,
则S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 × 7 × 3 × 5 3
14
= 15 3
4
.
选择③csinA = 5
2
3，则有c ×
3
2
= 5
2
3，解得c = 5，
则由正弦定理得
a
sinA =
c
sinC ，即
7
3
2
=
5
sinC ，解得sinC = 5 3
14 ，
因为C 为三角形内角，则cosC =
1- 5 3
14
2
= 11
14 ，
则sinB = sin A+C
= sin 2π
3 +C
= sin 2π
3 cosC + cos 2π
3 sinC
=
3
2
× 11
14 + - 1
2
× 5 3
14
= 3 3
14 ，
则S△ABC = 1
2 acsinB = 1
2 × 7 × 5 × 3 3
14
= 15 3
4
题12. (2023·北京·高考真题) 设函数f(x) = sinωxcosφ + cosωxsinφ ω>0,|φ|< π
2
．
(1) 若f(0) =-
3
2 ，求φ 的值．
(2) 已知f(x) 在区间- π
3 , 2π
3
上单调递增，f 2π
3
= 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数f(x) 存在，求ω,φ 的值．
条件①：f
π
3
=
2；
条件②：f - π
3
=-1；
条件③：f(x) 在区间- π
2 ,- π
3
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
25
【答案】(1)φ =- π
3 ；(2) 条件①不能使函数f(x) 存在；条件②或条件③可解得ω = 1，φ =- π
6 .
【解析】(1) 因为f(x) = sinωxcosφ + cosωxsinφ,ω > 0,|φ| < π
2
所以f(0) = sin ω⋅0
cosφ + cos ω⋅0
sinφ = sinφ =-
3
2 ，
因为|φ| < π
2 ，所以φ =- π
3 .
(2) 因为f(x) = sinωxcosφ + cosωxsinφ,ω > 0,|φ| < π
2 ，
所以f(x) = sin ωx+φ
,ω > 0,|φ| < π
2 ，所以f(x) 的最大值为1，最小值为-1.
若选条件①：因为f(x) = sin ωx+φ
的最大值为1，最小值为-1，
所以f
π
3
=
2 无解，故条件①不能使函数f(x) 存在；
若选条件②：因为f(x) 在- π
3 , 2π
3
上单调递增，且f 2π
3
= 1，f - π
3
=-1
所以T
2 = 2π
3 - - π
3
= π, 所以T = 2π,ω = 2π
T = 1,
所以f(x) = sin x+φ
，
又因为f - π
3
=-1，所以sin - π
3 +φ
=-1，
所以- π
3 + φ =- π
2 + 2kπ,k ∈Z，
所以φ =- π
6 + 2kπ,k ∈Z，因为|φ| < π
2 ，所以φ =- π
6 .
所以ω = 1，φ =- π
6 ；
若选条件③：因为f(x) 在- π
3 , 2π
3
上单调递增，在- π
2 ,- π
3
上单调递减，
所以f(x) 在x =- π
3 处取得最小值-1，即f - π
3
=-1.
以下与条件②相同．
