文档内容
第 07 讲 解直角三角形及其应用 （5 个知识点+7 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
知识点2．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边
的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得
到实际问题的答案．
知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
（3）在解决坡度的有关问题α中，一般通过作高构成直角α三角形，坡角即是一锐角，α坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
题型强化
题型一、解直角三角形的相关计算
1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在 中， ， 是斜边 上的中线，过点A
作 ，分别与 ， 相交于点E，F，如果 ，那么 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌
握锐角三角函数的定义是解题的关键．
先求出 ，再根据同角的余角相等推出 ，然后利用锐角三角函数的定
义即可求解．
【详解】解：∵ ， 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，故选：C．
2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知 中， ， ，求
时， 的长度为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
根据角 正切值可求得 ， ，结合 ，列方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一次函数 与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次
函数 图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线(1)求该二次函数表达式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在， 或
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、
相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等
知识，分类讨论是本题求解的关键．
（1）分别求出点 ，点 的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）以点 、 、 为顶点的三角形与 相似， ，则 或
，根据正切值求解即可．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，即点 ，
令 ，则 ，即点 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，则点 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
设二次函数表达式为： ，
∵抛物线过点 ，
则 ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）解：存在，理由：
在 中， ， ，则 ，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与 相似， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
即 或 ，
解得： 或2，
∵点 在 轴的负半轴上，
即点M的坐标为 或 ．
题型二、解非直角三角形
4．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解非直角三角形
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据 ，得出 ,进而求得 ，由已知条件得出
，进而得出 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，
∴ ,
∴
\
∴ ，
在 中，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
5．（2024·四川资阳·中考真题）在 中， ， ．若 是锐角三角形，则边 长的
取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解非直角三角形
【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作 的高 ， ，根据题意可
得 ， ，在 中，根据三角函数可得 ，即 ，再根据
，即可求解．
【详解】解：如图，作 的高 ， ，
是锐角三角形，
， 在的内部，
， ，在 中， ， ，
，
，
又 ，
，
故答案为： ．
6．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 ABC中， ， ，求BC长．
【答案】
【知识点】解非直角三角形
【分析】过点 作 于点 ，根据题意，分别解 即可求解．
【详解】如图，过点 作 于点 ，
，
，
，
，，
设 ，在 中， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
7．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在 中， 是斜边 上的高，将得到的两个 和
按图 、图 、图 三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为 ， ， ，若 ，
则 与 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
【分析】分析题意，过点 作 ，交 于点 ，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等
量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出 与 得关系，即可解决问题．
【详解】解：如图 所示，过点 作 ，交 于点 ，=
，
，
，
，
由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知：
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等
量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出 与 得关系．
8．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，则 的长为
， 的面积为 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、解非直角三角形
【分析】过 作 ，如图所示，在 中， ， ，得到 ， ；在
中， ，得到 ，由勾股定理得 ；再由三角形面积公式代值求解即可得
到 ．
【详解】解：过 作 ，如图所示：
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，即 ，
，
由勾股定理得 ；
，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公
式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．
9．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如
图所示，把一张长方形卡片 放在每格宽度为 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知
，求长方形卡片的周长．”作 于点 ， 于点 ．请你帮小强解答这道题．（结果精确
到 ）
【答案】200mm
【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
【分析】本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转
化到这个直角三角形中解决．
求 的周长就是求 和 的长，可分别过 、 作垂线垂直于 ，通过构造直角三角形根据
和 的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽 等条件来求出 、 的长．
【详解】解： ， ，
．
根据题意，得 ， ．
在 中， ，
．
在 中， ，
．
矩形 的周长 ．
题型四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
10．（23-24九年级下·全国·期中）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端
D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离 ，则此大桥主架顶端离水面的高 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出 和 是解题的关键．
在 和 中，由三角函数得出 ， ，根据 即可求解．
【详解】在 和 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选C．
11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，甲、乙两楼的楼间距 为 ，某人在甲楼楼底 处测得
乙楼的楼顶 的仰角为 ，在乙楼的楼底 处测得甲楼的楼顶 的仰角为 ，则甲楼比乙楼矮
m（结果精确到 ）．【答案】
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在 和 中，利用三角函数的定义分别求得
和 的长，据此计算即可求解．
【详解】解：在 中，
有 ．
在 中，有 ，
．
故答案为： ．
12．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在一次数学课外实践活动中，小刚想测量教学楼顶端上
避雷针 的长度，在 处测得点 的仰角为 ，点 的仰角为 ， 到楼底 处的距离 ，
求避雷针 的长度（结果精确到 ）．（参考数据： ， ， ，
， ， ）
【答案】
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，先求出 和 的值，根据
即可求解．【详解】解：在 中， ，
∵ ， ， ，
故 ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ， ， ，
故 ，
∴ ；
∴ ．
即避雷针 的长度为 ．
题型五、方位角问题(解直角三角形的应用)
13．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大
工程．如图是某港口的平面示意图，码头 在观测站 的正东方向，码头 的北偏西 方向上有一小岛
，小岛 在观测站 的北偏西 方向上，码头 到小岛 的距离 为 海里．观测站 到 的
距离 是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得 的度数，求得 ，则 ，设，则 ，根据 ，计算求解 的值即可．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴ ，
过B作 ，垂足为P，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴观测站 到 的距离 是1．
故选：B．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向
80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B
处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数
据： ， ， ）
【答案】58【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得： 海里， 然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三
角函数的定义求出 的长，从而求 的长．
【详解】解：由题意得： （海里），
在 中， 海里，
∴ （海里）
（海里），
在 中， ，
∴ （海里），
（海里），
即乙船向正东方向航行了58海里，
故答案为：58
15．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域 处巡逻， 岛上的海军发现点 在点 的正西方
向， 岛上的海军发现点 在点 的南偏东 的方向上，已知点 在点 的北偏西 方向上，且 、
两地相距120海里，如图所示．
(1)求此时点 到 岛的距离；
(2) 上的 处有一只渔船发出求救信号，希望 处的巡航船沿 方向在 个小时赶到 处进行救援，
若巡航船以每小时 海里／小时的速度能提前到达吗？已知在 岛测得点 在 的南偏东 的方向上．
（不计水流速度，结果保留根号）
【答案】(1)点 到 岛的距离为 海里
(2)能
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键时添加辅助线，构造直角三角形：（1）过点 作 ，分别解 ，求出 的长即可；
（2）过点 作 ，设 ，分别解 ，求出 的值，比较巡航船2小
时行驶的路程与 的大小，即可得出结论．
【详解】（1）解：过点 作 ，则： ，
由题意，得： ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴点 到 岛的距离为 海里；
（2）过点 作 ，设 ，则： ，
由题意，得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴巡航船以每小时 海里／小时的速度能提前到达．
题型六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
16．（2024·吉林长春·模拟预测）小明沿着坡度为 的山坡向上走了 ，则他竖直上升了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．
根据题意，画出图形，如下，根据坡比为 ，可设 ，则 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下：
由题意可得， ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，即
解得 ，
即 ，他升高了 ，故选：C．
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动
扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为 ，坡角 为 ，改造后的斜坡
式自动扶梯的坡角 ，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到
，参考数据： ， ， ）
【答案】 m/10.3米
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根
据含 角的直角三角形的性质求出AB，BD，根据正切的定义求出CD，再计算即可．
【详解】解：在 中， ， ，
，
，
在 中， ， ，
，
则 ，
答：改造后的自动扶梯增加的占地长度 的长约为
18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡
下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是 ，山坡的坡角 ，由于受大气压的
影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过 ，否则无法抽取水池中的水，试问水泵站能否建在
处？（吸水扬程是指抽水泵将水从低处送到高处的垂直高度，参考数据： ）【答案】水泵站不能建在A处．理由见解析
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
本题问泵站是否能建在A处，其实是问 的高度，如果 就能，反之不能，那么直角三角形 中，已知了
的度数和 的长，即可求出．
【详解】解： ， ， ，
．
，
水泵站不能建在A处．
题型七、其他问题（解直角三角形的应用）
19．（22-23九年级下·四川凉山·阶段练习）如图是某超市里电梯的截面图，已知 米， ，
则高 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接根据 的正弦定义即可得到结论．
【详解】解：在 中， ，
米，
米，
故选：A．
20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，要将一段坡角为 的路面削为坡角为 的斜坡，已知原来
的坡长为 ，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据： ， ，
结果精确到 ）【答案】7.4
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由直角三角形的特征及余弦函数得 ，
，由正切函数得 ，由 即可求解；掌握直角三角形的解
法是解题的关键．
【详解】解：如图，
根据题意， ， ， ，
设 ，
，
，
则
，
，自坡顶挖下的铅直高度x约为 ，
故答案为： ．
21．（2023·江西吉安·三模）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图 ），我们把 称为折射率
（其中 代表入射角， 代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图 所示的实验，即通过细管 可以看见水底的物块 ，但不在细管
所在直线上，图 是实验的示意图，四边形 为矩形，点 ， ， 在同一直线上，测得
， ．
(1)求入射角 的度数．
(2)若 ，求光线从空气射入水中的折射率 ．（参考数据： ， ，
）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】（ ）设法线为 ，根据平行线的性质得到 ，根据正切的定义求出
，据此即可求解；
（ ）根据直角三角形的边角关系求出 ，再根据锐角三角函数的定义求出 即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，设法线为 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴入射角约为 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴光线从空气射入水中的折射率 ，
答：光线从空气射入水中的折射率 ．
分层练习
一、单选题
1．如图，正五边形 的半径为 ，则这个正五边形的边长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合
【分析】过点 作 ，根据正五边形的性质得出 ，解 ，即可求解．
【详解】如图所示，设正五边形的中心为点O，过点 作 ．
∵ ，正五边形 的半径为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键．
2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度 ，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那
么该物体所经过的路程是（ ）
A．10米 B．24米 C．25米 D．26米
【答案】D
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，
∵ ，
∴BE=24米，
∴在Rt ABE中， （米）．
△
故选：D．
【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
3．如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点，若 ， ，则 的长为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理
【分析】由题意易得 ，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
4．在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为 ． 如图，若在坡比为 的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A． B．4 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】根据坡比 垂直距离 水平距离，求出相邻两树的垂直高度，再根据勾股定理即可求解．
【详解】 相邻两树间的水平距离为 ，坡比为 ，
相邻两树的垂直高度为 ，
相邻两树间的坡面距离为 ，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数的应用，正确理解坡比的含义（坡比 垂直距离 水平距离）是解决本题的关键．
5．已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=4，D、F分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC
于F，DG⊥BC于G，那么FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接CD，利用90°圆周角所对的弦是直径可得点D，G，C，F四点共圆，且CD是圆的直径，当
FG⊥CD时，FG最小，利用垂径定理可得CD平分∠ACB，然后设DG=BG=x，则CG=4-x，然后利用三角函数
求得x的值，从而求得GF的长度．
【详解】解：如图，连接CD．
由题意可知：∠DGC=∠DFC=90°
∴点D，G，C，F四点共圆，且CD是圆的直径，
当FG⊥CD时，FG最小，∵FG⊥CD
∴直径CD垂直平分FG
又∵∠ACB=60°
△ABC为等边三角形
∴GF=CG
∵∠B=45°，∠DGC =90°
∴设DG=BG=x，则CG=4-x，
在Rt△DCG中，∠GCD=30°
∴ ，即
解得：
∴GF=GC=4-x=
故选：C．
【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，垂线段最短的性质及利用垂径定理求值，判断出CD⊥GF
时，线段GF的值最小是解题的关键．
6．如图，线段 和 分别表示甲、乙两幢楼的高， 于点 ， 于点 ，从甲楼 处测
得乙楼顶部 的仰角 ，测得乙楼底部点 的俯角 ，且 米，则 为（ ）米．A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】首先由AB⊥BD，CD⊥BD，可得四边形ABDE是矩形，则可求得DE的长，然后由三角函数的性
质，求得CE的长，即可求得答案．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=24m，
∵在Rt△AED中， (m)，
∴在Rt△ACE中， (m)，
∴CD=DE+CE=24+8=32（m）．
故选：C．
【点睛】此题考查了仰角与俯角的知识．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则
tan∠CFB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】作CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD，设EC＝x，运用平行所得比例关系分别求解出CD和DF的用x
表示的表达式即可求解.
【详解】解：如图，作CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD，
∴设EC＝x，则AE＝3x，sinA＝sin30°＝EF：AE＝1：2，
3
∴EF＝ x，
2
∵cosA＝cos30°＝AF：AE＝ ，
∴AF＝ x．
∵EF∥CD，
∴ ，
4
∴FD＝ ＝ x，CD＝ EF＝2x，
3
∴tan∠CFB＝ ＝ .
故选C．
【点睛】构造相似三角形并理解三角函数的意义是解题关键.
8．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动，
动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿BC方向运动至C点停止，同时P点也停止运动若点P，Q同时出发
运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求面积、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c
化成顶点式
【分析】根据题意，先用t表示出AP、BP、BQ的长度，然后利用面积法进行求解，即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，AP＝t，BP＝4﹣t，BQ＝2t，
∵BC＝4，
∴0≤t≤2，
在△BPQ中，∠B＝60°，
∴BQ边上的高＝BP×sin60°＝ （4﹣t），
∴S＝ ×2t× （4﹣t）＝ （﹣t2+4t）＝ （0≤t≤2）；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握三角形面积的求法，能通过函数解析式确定函数图象
是解题的关键．
9．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 ．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为
1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（ ）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
【答案】C
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得
CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．
【详解】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中， = ，
∴设BF=k，则CF= k，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF= ，
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+ ，
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH= ，
∴AH=tan37°×（40+ ）≈37.785（米），
∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5．∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利
用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
10．如图，在矩形 中， ， ，P是 上一个动点，过点P作 ，垂足为
G，连接 ，取 中点E，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、
y=ax²+bx+c的最值
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出 ，分别求
得 ，进而求得 ，在 中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取 的中点F，连接 ，作 于H，作 于T，设 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，在 中，
∴当 时， 取得最小值 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= ，AB=2❑√6，则∠B= .
【答案】30°
【知识点】解直角三角形的相关计算
【详解】 ，则
12． 中， 都是锐角，且 ，则 是 三角形．
【答案】钝角
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】此题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用
特殊角的三角函数值得出 的度数，进而得出答案．
【详解】解：∵在 中， 都是锐角，且 ，
∴ ，
∴
∴ 是钝角三角形，
故答案为：钝角．
13．如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 ，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物
体所经过的路程为 米．【答案】
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了坡度坡角问题．注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，由题意得：斜坡 的坡度： ， 米， ，
，
（米），
∴在 中， （米）
故答案为： ．
14．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2 ，∠BCD=30°，则⊙O的半
径为 ．
【答案】 ．
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用垂径定理求值、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．
【详解】解： 连接OB， ∵OC=OB，∠BCD=30°，∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=
∴BE= AB= ，∠OEB=90°，
∴OB=
即⊙O的半径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径
定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键．
15．△ABC之中, ∠BAC=90°，点D在直线AB上,连接DC，若tanB= ,AB=3，AD=2，则△DBC的面积为
.
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算
【详解】【分析】如图1、图2，分点D在线段AB上和点D在BA的延长线上两种情况画出图形进行讨论
即可求得答案.
【详解】 ABC之中, ∠BAC=90°，tanB= ，AB=3，
△3
∴AC= ，
2
如图1，当点D在AB上时，BD=AB-AD=3-2=1，
∴S = BD•AC= ；
BCD
△
如图2，当点D在BA延长线上时，BD=AB+AD=3+2=5，
∴S = BD•AC= ；
BCD
△
综上， DBC的面积为 或 ，
△
故答案为 或 .
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确画出图形、运用分类讨论思想进行解答是解题的关键.
16．如图，在菱形 中， ，E为 的中点，P为 上一点且 的周长最小，
则 的周长最小值为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质
【分析】连接 交 于点 ，连接 ， ．由 的长为定值，即得出 的长度最小时
的周长最小，再根据菱形的性质可推出 的最小长度为 的长，此时点P与点 重合，结
合题意易证 是等边三角形，进而可求出 ，最后由三角形周长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 交 于点 ，连接 ， ，的长度固定，
要使 的周长最小，只需要 的长度最小即可，
四边形 是菱形，
与 互相垂直平分，
，
的最小长度为 的长，此时点P与点 重合，
菱形 的边长为 ， 为 的中点， ，
，
，
是等边三角形，
， ， ，
，
的最小周长 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解
的最小长度为 的长，此时点P与点 重合是解题关键．
17．如图，为响应人民政府“形象重于生命”的号召，规划部门在甲建筑物的顶部 点测得条幅顶端 的
仰角为 ，测得条幅底端的俯角为 ，已知条幅长 ，则底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的
水平距离 的长为 ．（答案可带根号）
【答案】【分析】在图中两个直角三角形中，利用30°、45°角的正切值进行求解，得到关于DF的方程，解答即可．
【详解】作DF⊥AB于点F，则∠ADF=45°，∠EDF=30°．
设DF=x，在Rt ADF中，∵∠ADF=45°，∠A=45°，
∴AF=DF=x， △
在Rt FDE中，∵tan∠EDF= ，
△
∴EF=DF•tan30°= x，
∴AE=AF+EF=x+ x，
∴x+ x=30，
解得x=45-15 ，
∴BC=DF=（45-15 ）m．
【点睛】本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18．如图， 为菱形 对角线的交点，点 和点 分别在边 和边 上，且满足
，连接 ，若菱形 的边长为10， ，则 长度的最小值为 ．【答案】
【知识点】其他问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解
三角形
【分析】连接 、 ，过点E作 交于点H，设 ， ，则 ，再表示出
，根据 ，列出关于 的二次函数即可求得最小值．
【详解】解：连接 、 ，过点E作 交于点H，
，
又 ，
，
，
四边形 为菱形，
，即 为 的角平分线，
O到 、 的距离相等，
、 的高相同，
，
四边形 为菱形，
，
，
，
设 ， ，则 ，
， ，
,
，，开口向上，
当 时， 取得最小值为80，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、二次函数的应用，解题的关键是作出辅助线，
利用二次函数求得最小值．
三、解答题
19．2022年北京冬季奥运会，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲
线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台 、中部的
大跳台腾空起点 、赛道 、底部的看台区组成． 赛道可近似视作坡度为 的一段坡面，通过北
斗高程测量仪测得 点、 点的海拔高度差（即 ）是160米，从顶峰平台 点俯视 处， 俯角约为
，由 处释放的遥控无人机竖直上升到与平台 水平位置 后，遥感测得 之间距离为152米，若
图中各点均在同一平面，求赛道 的长度．（参考数据： ， ， ）
【答案】92m
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够正确的构建出直角三角形，将实际问题化归
为解直角三角形的问题是解答此题的关键．根据题意可得四边形是矩形，再利用 的正切可得 的长度，
再根据 可得 的度数，即可解答．
【详解】解：如图，由题意得：四边形 是矩形，
∴ 米，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
20．“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深海的利器，如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科
研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为 ；当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察
点A测得点C的俯角为 ，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米，参考 ，
）
【答案】3.5千米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了直角三角形的应用中的仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及
运用数形结合思想．延长 交 于点 ，设 （千米），则 （千米），分别在和 中运用锐角三角函数的定义即可解答．
【详解】延长 交 于点 ，
由题意得： ， ， ， （千米），
设 （千米），则 （千米），
在 中， ，
在 中， ，
联立得：
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
（千米），
答：点 到海面的深度约为3.5千米．
21．如图， 为⊙ 的直径， 为⊙O上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求：边 及 的长．【答案】（1）见详解；（2） ，
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理
【分析】（1）连接OC，由题意易得 ，则有 ，进而可得
，然后问题可求证；
（2）连接BC，由题意及（1）易得 ，则有DC=6，然后可得
，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∵AD⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：连接BC，如图所示：由（1）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为⊙ 的直径，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
22．点O为塔楼底面中心，测角仪高度 ，在B，D处分别测得塔楼顶端的仰角为27°，
45°， ，点B，D，O在同一条直线上，求塔楼的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：
）
【答案】塔楼的高度为 米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．延长 交 于点E，
解 ，进行求解即可．
【详解】解：延长 交 于点E，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
答：塔楼的高度为18.2米．
23．某校数学兴趣小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测
量示意图，点 ， ， ， ， 在同一竖直平面内， 垂直平分 ，垂足为 ， 垂直平分 ，
与 交于点 ．经测量，可知 ， ， ， ，则文化长廊的最
高点离地面的高度 约为多少米?（结果保留一位小数，参考数据： ， ，
， ）
【答案】文化长廊的最高点离地面的高度 约为
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，过点 作
于点 ，证明四边形 为矩形，得出 ， ，求出 ，
得到 ，求出 ，再解直角三角形得出 的长，再由 计算即
可得出答案．【详解】解：过点 作 于点 ，如解图所示．
由题意，得 ， ．
∵ 垂直平分 ，垂足为 ， 垂直平分 ，与 交于点 ． ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
答：文化长廊的最高点离地面的高度 约为 ．
24．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某
数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为
124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地
面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母
线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）【答案】2.3米
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．解Rt OBD，求出OB= ≈ ＝2．解Rt OAB中，
△ △
即可求出AB= ．
【详解】如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．
由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝ ∠BAC＝62°．
在Rt OBD中，∵tan∠OBE＝ ，
△
∴OB＝ ≈ ＝2．
在Rt OAB中，∵sin∠OAB＝ ，
△
∴AB＝ ≈ ≈2.3（m）．
答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
25．如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个 圆，即弧 ，已知
和遮阳棚杆子 在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈
角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知 长为 ．(1)求遮阳棚半径 的长度．
(2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈 角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点
正下方E点 的F点处有一株高为 的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
(3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮
阳棚上最高点仍为A点，且外檐点 到 的距离为 、到 的距离为 ．现需过遮阳棚上一点P
为其搭设架子，架子由线段 、线段 两部分组成，其中 与地面垂直，若要保证从遮阳
棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
【答案】(1)
(2)植物顶端不能被太阳照射，理由见解析
(3)
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、全等的性质和HL综合（HL）、切线的性质定理、其他问题
（解直角三角形的应用）
【分析】（1）解直角三角形 ，求得结果；
（2）连接 ，延长 交 于 ，可证得 ，从而得出 ，
，从而求得 的值，进而得出 ，从而得出，进一步得出结果；
（3）以 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为 ，
从而可设设 ，从而表示出 ，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
， ，
，
， ，
，
；
（2）如图2，
植物顶端不能被太阳照射，理由如下：
连接 ，延长 交 于 ，
与 相切，
，， ，
，
， ，
，
，
，
，
植物顶端不能被太阳照射；
（3）解：如图3，
以 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴建立坐标系，
， ，
设抛物线的解析式为： ，
，
，
，设 ，
，
当 时， 有最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角
形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式．
26．为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地
面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，
电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）
(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
(2)求路段AB的长；（ ≈1.7，结果保留整数）
(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个
测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？
【答案】(1)4米
(2)8米
(3)不超速，计算过程见详解
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）先求出 的度数，再利用三角函数求BQ的长；
（2）通过做辅助线构造直角三角形PAE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长；
（3）通过做辅助线，构造出 和 ，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速．
【详解】（1）解： 电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°，
，
，
，
，
即路段BQ的长为4米．
（2）如图，过点A作 ，垂足为E，
过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G，
坡AB的坡比为3：4
设 ， ,
在 中，根据勾股定理，
，
，
，
，
电子眼照射在A 处时俯角为30°，
在 中，，
，
即
解得 ，
即路段AB的长为8米．
（3）解：过点P作 ，垂足为D，
在 中，
，
在 中，
，
，
，
又 ，
，
车辆测速区间 ，
该车不超速．【点睛】本题主要考查了三角函数、勾股定理和求直角三角形等有关知识，是一道实际问题，能正确做出
辅助线并结合实际理解问题是做出本题的关键.
