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培优点1 三角函数中ω，φ 的范围问题
[考情分析] 三角函数中ω，φ 的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的单调性、对称性、
零点、最值(值域)等求ω，φ 的取值范围，难度中等偏上.
考点一 三角函数的单调性与ω，φ 的取值范围
例1 (2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< π
2)在区间(0，π
6)上单调，则φ 的取值范围为( )
A.(- π
2 ，π
3]
B.(- π
2 ，π
6]
C.[- π
3 ，π
3]
D.[- π
6 ，π
6]
答案 B
解析 已知 x∈(0，π
6)，
令t=2x+φ，则t∈(φ，π
3 +φ)，
因为|φ|<π
2 ，所以φ∈(- π
2 ，π
2).
故原条件等价于已知函数y=sin t 在区间(φ，π
3 +φ)上单调，而函数y=sin t 在区间(- π
2 ，π
2)上单调，所
以{
φ≥- π
2 ,
π
3 +φ≤π
2 ,
解得 -π
2 ≤φ≤π
6 ，
又因为φ∈(- π
2 ，π
2)，故φ 的取值范围为(- π
2 ，π
6].
[规律方法] 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合
的包含关系即可求解.
跟踪演练1 已知函数f(x)=√3cos(ωx + π
3)
+cos(ωx - π
6)(ω>0)在(
π
2 ，π)上单调递增，则ω 的取值范围是( )
A.[
4
3 ，5
3]
B.[
5
6 ，11
6 ]
C.[
5
3 ，11
6 ]
D.[
7
6 ，2]
答案 C
解析 方法一 f(x)=√3cos(ωx + π
3)+
cos(ωx - π
6)=√3cos(ωx + π
3)+sin(ωx + π
3)
=2cos(ωx + π
3 - π
6)=2cos(ωx + π
6)，
令π+2kπ≤ωx+π
6 ≤2π+2kπ，k∈Z，
因为ω>0，所以
5 π
6 +2k π
ω
≤x≤
11π
6
+2k π
ω
，k∈Z，
因为f(x)在(
π
2 ，π)上单调递增，
所以{
5 π
6 +2k π
ω
≤π
2 ,
11π
6
+2k π
ω
≥π ,
解得5
3+4k≤ω≤11
6 +2k.
由5
3+4k≤11
6 +2k，得k≤1
12，
又k∈Z 且ω>0，所以k=0，故5
3≤ω≤11
6 ，
故ω 的取值范围是[
5
3 ，11
6 ].
方法二 f(x)=√3cos(ωx + π
3)+
cos(ωx - π
6)=√3cos(ωx + π
3)+sin(ωx + π
3)
=2cos(ωx + π
3 - π
6)
=2cos(ωx + π
6)，
由π
2 <x<π，得ω π
2 +π
6 <ωx+π
6 <ωπ+π
6 ，
设f(x)的最小正周期为T，则由题意得π-π
2 ≤T
2 = π
ω，所以0<ω≤2，从而π
6 <ω π
2 +π
6 ≤π+π
6 ，
结合函数y=cos x 在[π，2π]上单调递增，
f(x)在(
π
2 ，π)上单调递增，
得{
ω π
2 + π
6 ≥π ,
ω π + π
6 ≤2π ,
解得5
3≤ω≤11
6 ，
故ω 的取值范围是[
5
3 ，11
6 ].
考点二 三角函数的对称性与ω，φ 的取值范围
例2 (2025·盐城模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在(0，π
3)内有且仅有两条对称轴，一个对
称中心，则实数ω 的取值范围是 .
答案 (
15
4 ，21
4 ]
解析 由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=√2sin(ωx + π
4)，
令ωx+π
4 =kπ+π
2 (k∈Z)，
解得x=k π + π
4
ω
(k∈Z)，
令k=0，1，2，得x= π
4 ω，5 π
4 ω，9 π
4 ω；
令ωx+π
4 =kπ(k∈Z)，解得x=k π - π
4
ω
(k∈Z)，
令k=1，2，得 x= 3 π
4 ω，7 π
4 ω.
根据题意，得{
5 π
4 ω < π
3 ,
9 π
4 ω ≥π
3 ,
3 π
4 ω < π
3 ,
7 π
4 ω ≥π
3 ,
解得15
4 <ω≤21
4 ，
故实数ω 的取值范围是(
15
4 ，21
4 ].
[规律方法] 三角函数相邻两条对称轴或相邻两个对称中心之间的“水平间隔”为T
2 ，相邻的对称轴和对
称中心之间的“水平间隔”为T
4 ，这就说明，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题
的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω，φ 的不等式组，进而可以研究ω，φ 的取值范围.
跟踪演练2 将函数y=cos(x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数y=f(x)
的图象.若y=f(x)的图象关于点(- 7 π
3 ，0)对称，则|φ|的最小值为( )
A.π
3
B.2π
3
C.π
6
D.5 π
6
答案 A
解析 由题意可得f(x)=cos(
1
2 x +φ)，
由于y=f(x)的图象关于点(- 7 π
3 ，0)对称，故f(- 7 π
3 )=cos(- 7 π
6 +φ)=0，
故-7 π
6 +φ=-π
2 +kπ，k∈Z，解得φ=2π
3 +kπ，k∈Z，
故取k=-1 时，|φ|=π
3 为最小值.
考点三 三角函数的零点与ω，φ 的取值范围
例3 (2025·邵阳模拟)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有4 个零点，
则ω 的取值范围是( )
A.(
15
16 ，19
16]
B.[
15
16 ，19
16)
C.(
7
8 ，5
4]
D.[
7
8 ，5
4)
答案 D
解析 f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx=cos 2ωx+1+sin 2ωx=√2sin(2ωx + π
4)+1，
令f(x)=0，得sin(2ωx + π
4)=-√2
2 ，
∵x∈[0，2π]，∴2ωx+π
4 ∈[
π
4 ，4 π ω+ π
4]，
令t=2ωx+π
4 ，由y=sin t 的图象得
4π-π
4 ≤4πω+π
4 <5π+π
4 ，
解得7
8≤ω<5
4 ，故ω 的取值范围是[
7
8 ，5
4).
[规律方法] 已知三角函数的零点求ω，φ 的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析
式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
跟踪演练3 若函数f(x)=4cos(2x+φ)-2√2(0≤φ≤π)在[0，11π
6 ]内恰有4 个零点，则φ 的取值范围是(
)
A.[0，π
4]∪[
π
2 ，7 π
12]
B.[
π
12 ，π
4]∪[
π
2 ，7 π
12]
C.[0，π
4]∪[
7 π
12 ，π]
D.[
π
12 ，π
4]∪[
7 π
12 ，π]
答案 D
解析 因为0≤x≤11π
6 ，所以φ≤2x+φ≤11π
3 +φ.令f(x)=4cos(2x+φ)-2√2=0，得cos(2x+φ)=√2
2 .所以当
0≤φ≤π
4 时，15 π
4 ≤11π
3 +φ<17 π
4
，
解得π
12≤φ≤π
4 ；
当π
4 <φ≤π 时，17 π
4
≤11π
3 +φ<23 π
4
，
解得7 π
12 ≤φ≤π.
综上，φ 的取值范围是[
π
12 ，π
4]∪[
7 π
12 ，π].
考点四 三角函数的最值(值域)与ω，φ 的取值范围
例4 (2025·武汉模拟)已知函数f(x)=sin(x+φ)，0<φ<π，若函数f(x)在[0，3 π
4 )上存在最大值，但不存在
最小值，则φ 的取值范围是( )
A.(0，π
2]
B.(
π
8 ，π
2]
C.[
π
2 ，3 π
4 ]
D.(
π
8 ，3 π
4 ]
答案 D
解析 若0≤x<3 π
4 ，
则φ≤x+φ<3 π
4 +φ，
又因为0<φ<π，函数f(x)在[0，3 π
4 )上存在最大值，但不存在最小值，
所以当3 π
4 +φ≥π，即φ≥π
4 时，
只需满足3 π
4 +φ≤3 π
2 ，此时π
4 ≤φ≤3 π
4 ，
当3 π
4 +φ<π，即φ<π
4 时，
函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则π
2 -φ<3 π
4 +φ-π
2 ，
此时π
8 <φ<π
4 ，
综上，π
8 <φ≤3 π
4 ，即φ 的取值范围是(
π
8 ，3 π
4 ].
[规律方法] 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx+φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注
意自变量的范围.
跟踪演练4 已知函数f(x)=cos ωx-sin(ωx + π
6)(ω>0)，若f(x)在[0，π]上的值域为[-1，1
2]，则ω 的取
值范围为( )
A.[
2
3 ，1]
B.[
2
3 ，4
3]
C.[
7
6 ，4
3]
D.[
2
3 ，7
6]
答案 B
解析 f(x)=cos ωx-sin(ωx + π
6)=cos ωx-sin ωxcosπ
6 -cos ωxsinπ
6 =1
2cos ωx-√3
2 sin ωx=cos(ωx + π
3)，
若0≤x≤π，则π
3 ≤ωx+π
3 ≤ωπ+π
3 ，
因为f(x)在[0，π]上的值域为[-1，1
2]，所以π≤ωπ+π
3 ≤5 π
3 ，所以2
3≤ω≤4
3 ，
即ω 的取值范围为[
2
3 ，4
3].
专题强化练
[分值：52 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< π
2)在区间[- π
6 ，π
6]上单调递增，则φ 的取值范围为( )
A.[- π
6 ，π
6]
B.[- π
4 ，0]
C.[0，π
4]
D.[
π
4 ，π
2]
答案 A
解析 令2kπ-π
2 ≤2x+φ≤2kπ+π
2 ，k∈Z，
得kπ-π
4 -φ
2 ≤x≤kπ+π
4 -φ
2 ，k∈Z，
因为f(x)在区间[- π
6 ，π
6]上单调递增，
所以{
k π + π
4 - φ
2 ≥π
6 ,
k π - π
4 - φ
2 ≤- π
6 ,
解得2kπ-π
6 ≤φ≤2kπ+π
6 ，k∈Z，
因为|φ|<π
2 ，所以-π
6 ≤φ≤π
6 .
2.(2025·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N*)，若f (- π
12)=0，f(x)≤|f(
π
6)|恒成立，则ω 的最小值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 由题意知直线x=π
6 为f(x)图象的一条对称轴，x=- π
12为f(x)的零点，所以2n+1
4
·2π
ω =π
6 -(- π
12)，
n∈N，又ω∈N*，得ω=4n+2(n∈N)，所以当n=0 时，ω 取到最小值，最小值为2.
3.(2025·兰州模拟)若函数f(x)=√3sin 2ωx-2cos2ωx+1(ω>0)在(0，π
2)上只有一个零点，则ω 的取值范围为(
)
A.(
1
6 ，7
6]
B.[
1
3 ，4
3)
C.(
1
3 ，4
3]
D.[
1
6 ，7
6)
答案 A
解析 由题意，得f(x)=√3sin 2ωx-2cos2ωx+1=√3sin 2ωx-cos 2ωx=2sin(2ωx - π
6).
因为x∈(0，π
2)，所以2ωx-π
6 ∈(- π
6 ，ω π - π
6)，
又f(x)只有一个零点，所以0<ωπ-π
6 ≤π，
解得1
6<ω≤7
6，故ω 的取值范围是(
1
6 ，7
6].
4.已知函数f(x)=√3sin ωx+cos ωx(ω>0)，若存在x1，x2∈[
π
2 ，π]，使得f(x1)f(x2)=-4，则ω 的最小值为(
)
A.1
B.2
C.7
3
D.8
3
答案 C
解析 由题意知f(x)=2sin(ωx + π
6)，
由于f(x1)f(x2)=-4，
则f(x)在[
π
2 ，π]上至少有两个相邻的对称轴，
且ωx+π
6 ∈[
π ω
2 + π
6 ，ω π + π
6]，ω>0，
令{
π
6 < π ω
2 + π
6 ≤π
2 + k π ,
ω π + π
6 ≥3 π
2 +k π ,
k∈N，
则{
0<ω≤2
3 +2k ,
ω≥4
3 + k ,
k∈N，
当k=0 时，不等式组无解，当k=1 时，解集为[
7
3 ，8
3]，因此ω 的最小值为7
3.
5.(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx - π
3)(ω> 1
2 ，x∈R)，若f(x)的图象的任意一条对称轴与x 轴交
点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω 的取值范围是( )
A.(
1
2 ，2
3]∪[
8
9 ，7
6] B.(
1
2 ，17
24]∪[
17
18 ，29
24]
C.[
5
9 ，2
3]∪[
8
9 ，11
12]D.[
11
18 ，17
24]∪[
17
18 ，23
24]
答案 D
解析 因为f(x)的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，ω>1
2，
所以1
2×2π
ω ≥4π-3π，所以1
2<ω≤1，
又当3π<x<4π 时，3ωπ-π
3 <ωx-π
3 <4ωπ-π
3 ，
所以kπ+π
2 ≤3ωπ-π
3 且kπ+π+π
2 ≥4ωπ-π
3 ，k∈Z，
解得6k +5
18
≤ω≤6k +11
24
，k∈Z，
又因为1
2<ω≤1，所以{
6 k +5
18
> 1
2 ,
6k +11
24
≥6k +5
18
,
6k +11
24
≤1,
k∈Z，
解得k=1，2，
当k=1 时，11
18≤ω≤17
24 ，当k=2 时，17
18≤ω≤23
24 ，
所以ω 的取值范围为[
11
18 ，17
24]∪[
17
18 ，23
24].
6.(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=7 π
24 ，一个对称中心为点
(
π
24 ，0)，且在(0，π
2)内仅有3 个零点，则ω 的值为( )
A.7
B.6
C.5
D.4
答案 B
解析 由题设，函数f(x)=√2cos(ωx + π
4)(ω>0)，
其对称中心到对称轴的最短距离是T
4 ，两条对称轴间的最短距离是T
2 ，
所以(2k +1)T
4
=7 π
24 - π
24 (k∈N)，
即(2k+1)·2π
ω =π(k∈N)，
所以ω=2(2k+1)(k∈N).
因为函数f(x)在(0，π
2)内仅有3 个零点，
且ωx+π
4 ∈(
π
4 ，ω π
2 + π
4)，所以5 π
2 <ω π
2 +π
4 ≤7 π
2 ，
解得9
2<ω≤13
2 ，所以ω=6.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·常州模拟)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)，则下列说法正确的有( )
A.若f(x)在[0，π]上的值域为[-1，1]，则ω 的取值范围是[
3
2 ，+∞)
B.若f(x)在(0，π
3)上恰有一条对称轴，则ω 的取值范围是(
3
2 ，3]
C.若f(x)在(- π
3 ，π
4)上单调递增，则ω 的取值范围是(0，3
2]
D.若f(x)在(0，π
2)上有且只有两个不同的零点，则ω 的取值范围是(4，6]
答案 ACD
解析 由x∈[0，π]，则ωx∈[0，ωπ]，且值域为[-1，1]，则ωπ≥3 π
2 ，得ω≥3
2，A 正确；
由x∈(0，π
3)，则ωx∈(0，ω π
3 )，则π
2 <ω π
3 ≤3 π
2 ，得ω∈(
3
2 ，9
2]，B 错误；
由x∈(- π
3 ，π
4)，则ωx∈(- ω π
3 ，ω π
4 )，又函数f(x)在(- π
3 ，π
4)上单调递增，
ω>0，则{
- ω π
3 ≥- π
2 ,
ω π
4 ≤π
2 ,
得0<ω≤3
2，C 正确；
由x∈(0，π
2)，则ωx∈(0，ω π
2 )，因为函数f(x)在(0，π
2)上有且只有两个不同的零点，
所以2π<ω π
2 ≤3π，解得4<ω≤6，D 正确.
8.已知函数f(x)=3cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象既关于点(- π
2 ，0)中心对称，也关于直线x=3 π
4 轴对称，
且f(x)在[
π
6 ，2π
3 ]上单调，则ω 的值可能是( )
A.2
5
B.6
5
C.2
D.14
5
答案 AB
解析 由题意可得{
- π ω
2 +φ =k1π + π
2 ,k1∈Z ,
3 π ω
4
+φ =k2 π ,k2∈Z ,
则ω=4
5[(k2-k1)- 1
2]，k1，k2∈Z，
即ω=4
5(k - 1
2)，k∈Z.
因为f(x)在[
π
6 ，2π
3 ]上单调，
所以T
2 ≥2π
3 -π
6 =π
2 ，所以T≥π，即2π
ω ≥π，
所以0<ω≤2，即0<4
5(k - 1
2)≤2，
解得1
2<k≤3.
因为k∈Z，所以k=1 或k=2 或k=3.
当k=1 时，ω=2
5，又0<φ<π，则φ=7 π
10 ，
此时2
5x+7 π
10 ∈[
23 π
30 ，29 π
30 ]，即f(x)在[
π
6 ，2π
3 ]上单调递减，故k=1 符合题意；
当k=2 时，ω=6
5，又0<φ<π，则φ= π
10，此时6
5x+ π
10∈[
3 π
10 ，9 π
10 ]，即f(x)在[
π
6 ，2π
3 ]上单调递减，故
k=2 符合题意；
当k=3 时，ω=2，又0<φ<π，则φ=π
2 ，
此时2x+π
2 ∈[
5 π
6 ，11π
6 ]，则f(x)在[
π
6 ，2π
3 ]上不单调，故k=3 不符合题意.
综上，ω 的值可能是2
5或6
5.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·海口质检)已知ω>0，函数f(x)=2cos(ωx - π
6)在(
π
2 ，π)上单调递减，则ω 的取值范围是 ，
若ω 为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x 与f(3x)交点的个数为 .
答案 [
1
3 ，7
6] 6
解析 由x∈(
π
2 ，π)得ωx-π
6 ∈(
π ω
2 - π
6 ，π ω- π
6)，
∵函数f(x)=2cos(ωx - π
6)在(
π
2 ，π)上单调递减，∴{
π ω
2 - π
6 ≥2k π ,
π ω- π
6 ≤π +2k π ,
k∈Z，
解得1
3+4k≤ω≤7
6+2k，k∈Z，
∵π-π
2 =π
2 ≤T
2 = π
ω，∴0<ω≤2，
∴当k=0 时，1
3≤ω≤7
6，故ω 的取值范围是[
1
3 ，7
6].
若ω 为正整数，则ω=1，f(x)=2cos(x - π
6)，
f(3x)=2cos(3 x - π
6)，
作出y=cos x 与f(3x)=2cos(3 x - π
6)在x∈[0，2π]上的大致图象，如图，
由图象可知，曲线y=cos x 与f(3x)交点的个数为6.
10.(2025·上饶模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< π
2)，T 为f(x)的最小正周期，且f (
1
3 T)=f
(
1
2 T)，若f(x)在区间(0，π)上恰有3 个极值点，则ω 的取值范围是 .
答案 (
17
6 ，23
6 ]
解析 由题意可得，f(x)的最小正周期T=2π
ω ，
又f (
1
3 T)=f (
1
2 T)，且1
2T-1
3T=1
6T<1
2T，
所以直线x=
1
2 T + 1
3 T
2
= 5
12T 为f(x)图象的一条对称轴，所以ω× 5
12T+φ=5 π
6 +φ=kπ+π
2 (k∈Z)，解得φ=kπ-π
3
(k∈Z)，
又φ∈(- π
2 ，π
2)，所以k=0，φ=-π
3 ，
故f(x)=2sin(ωx - π
3).
当x∈(0，π)，ω>0 时，则ωx-π
3 ∈(- π
3 ，ω π - π
3)，
若函数f(x)在区间(0，π)上恰有3 个极值点，
则5 π
2 <ωπ-π
3 ≤7 π
2 ，解得17
6 <ω≤23
6 ，
故ω 的取值范围是(
17
6 ，23
6 ].
