专题 11 锐角三角函数重难点模型（五大模型）
【题型1：背靠背模型】
【题型2：母子型】
【题型3：三角形—+矩形型】
【题型4：拥抱型】
【题型5：锐角三角函数的新定义综合】
【题型1：背靠背模型】
【方法技巧】
通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和
Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下：
特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高
【典例1】图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如
图②所示的示意图．在其附近高为4m的高台CD上的D处测得塔顶A处的仰角为45°，塔底部B处的俯
角为22°．求亚帆灯塔的高AB．（结果精确到1m）【参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，
tan22°≈0.40】【答案】14米
【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD、AD，证
明四边形BCDE为矩形，得出DC=BE=4，在Rt△DEB中，在Rt△DEA中，分别解直角三角形得出
AE、DE的长，最后再由AB=AE+EB计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角
形．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD、AD，
∴∠DEB=90°=∠DEA，
由题意知：CD=4，∠ADE=45°，∠EDB=22°，CD⊥BC，AB⊥BC，
∴∠DEB=90°=∠DCB=∠ABC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BE=CD=4，
BE BE 4
在Rt△DEB中，DE= = ≈ =10，
tan∠EDB tan22° 0.4
在Rt△DEA中，AE=DE⋅tan∠EDA=DE⋅tan45°=DE×1=DE，
∴AE=DE≈10，
∴AB=AE+EB≈10+4=14（米）．
答：亚帆灯塔的高AB的值为14米．
【变式1-1】如图是某市体育中心运动场主席台侧面．若顶棚顶端D与看台底端A连线和地面垂直．测
得看台AC的长为13.5米，∠BAC=30°，∠ACD=45°．(1)求看台高BC的长；
(2)求顶棚顶端D到地面的距离AD的长．（结果精确到1m，取❑√3≈1.7，tan15°≈0.3）
【答案】(1)看台高BC的长为6.75米；
(2)顶棚顶端D到地面的距离AD的长约为10米．
【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）在Rt△ABC中，根据含30°角的直角三角形的性质即可得解；
（2）过点C作CE⊥AD，垂足为E．则四边形BCEA是矩形，得到BC=AE=6.75米，
AB=CE=11.475米．解直角三角形得出DE的长即可得解．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∵AC=13.5米，∠BAC=30°，
1 ❑√3
∴BC= AC=6.75（米)，AB=AC×cos30°=13.5× ≈11.475（米)．
2 2
答：看台高BC的长为6.75米．
（2）解：过点C作CE⊥AD，垂足为E．
∵∠B=90° ∠BCE=90° ∠CEA=90°
， ， ，
∴四边形BCEA是矩形．
∴BC=AE=6.75米，AB=CE=11.475米．
∵∠BAC=30°，∠ACD=45°，
∴∠BCA=60°，
∴∠DCE=60°+45°−90°=15°．
DE
在Rt△EDC中，∵tan∠DCE= ，
CE
∴DE=tan15°×11.475≈0.3×11.475=3.4425≈3.44（米），
∴AD=AE+DE=6.75+3.44=10.19≈10（米）
答：顶棚顶端D到地面的距离AD的长约为10米．
【变式1-2】如图，为了测量某建筑物BC的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在
同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后
至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、
E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1：2.4．根据测量员的测量数据，(1)求坡顶D到AB的距离.
(2)求建筑物BC的高度．（参考数据：❑√3≈1.732）
【答案】(1)50米
(2)136.6米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF=DH，在
Rt△ADH中求出DH；
（2）解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF=DH，在Rt△ADH中，AD=130米，DH:AH=1:2.4，
∴AH2+DH2=AD2，即DH2+(2.4DH) 2=1302，
∴DH=50米)，
答：坡顶D到地面AB的距离为25米；
（2）由（1）知，DH=50米，
∴BF=DH=50米)，
在Rt△EFB中，∠BEF=45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF=BF=50米)，
CF
在Rt△EFC中，∠CEF=60°，tan∠CEF=tan60°= =❑√3，
EF
∴CF=❑√3EF≈50×1.732=86.6（米)，∴BC=BF+CF=50+86.6=136.6（米)．
即建筑物BC的高度约为136.6米．
【变式1-3】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从
点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i =1: 2.4，在D
处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为多少米？（精确到0.1米，参考数据：
sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【答案】建筑物AB的高度约为29.1米．
【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．根据坡度，
勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，
根据正切的含义，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE=x，CE=2.4x，
则AB=EF，AF=BE，∠DEC=90°，
由勾股定理，得x2+(2.4x) 2 =1952，
解得x=75，
∴DE=75，CE=2.4x=180，
∴EB=BC−CE=306−180=126，
∵AF∥ DG，
∴∠1=∠ADG=20°，
DF
∵tan∠1=tan∠ADG=tan20°≈0.364，AF=EB=126m，tan∠1= ，
AF
∴DF=0.364AF=0.364×126=45.9，
∴AB=FE=DE−DF=75−45.9≈29.1，
∴建筑物AB的高度约为29.1米．【题型2：母子型】
【方法技巧】
通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和
Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：
特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高
【典例2】如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测
量黄龙塔的高度AB的过程中，绘制了如图②的示意图．在C处用高为1.2m的测角仪CD测得塔顶端A
的仰角为45°，再向黄龙塔方向前进到达距C处22m的E处，又测得塔顶端A的仰角为64°．求黄龙塔
的高度AB（结果精确到1m）．【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05】【答案】44m
【分析】本题主要查了解直角三角形．延长CE交AB于点F，根据题意得：CF⊥AB，
BF=CD=1.2m,CE=22m，∠ACF=45°,∠AEF=64°，在Rt△ACF中，可设AF=CF=xm，则
EF=(22−x)m，然后在Rt△AEF中，解直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，延长CE交AB于点F，
根据题意得：CF⊥AB，BF=CD=1.2m,CE=22m，∠ACF=45°,∠AEF=64°，
AF
在Rt△ACF中，tan45°= =1，
CF
∴可设AF=CF=xm，则EF=(x−22)m，
AF
在Rt△AEF中，tan64°= ≈2.05，
EF
x
∴ ≈2.05，解得：x=42.95，
x−22
∴AB=AF+BF=42.95+1.2≈44m．
即黄龙塔的高度AB为44m．
【变式2-1】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰
角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1:❑√3，沿着斜
坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1:❑√3是指坡面的铅直高度FE与水平宽
度DE的比）．(1)求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？
(2)求建筑物BC的高度为多少米？
(3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为2(❑√3+3)m/s，同
时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速
的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？
【答案】(1)斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离为20米，斜坡的水平宽度DE为20❑√3米
(2)(30+10❑√3)米
(3)小明上坡时的车速为5m/s
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形
结合思想与方程思想的应用．
（1）由i=1:❑√3可得∠EDF=30°，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可；
BC
（2）由∠CFG=45°可证GC=GF，设CG=GF=x米，根据tan∠BAC= 得AB=❑√3BC，即
AB
20+20❑√3+x=❑√3(x+20)，再求解即可；
（3）设小明上坡时的车速为ym/s，小明在平地上的车速为2ym/s，根据题意可列方程
30+10❑√3 1 20 40
= ( + )，再求解即可．
2(❑√3+3) 2 2y y
【详解】（1）解： ∵i=1:❑√3，
❑√3
∴tan∠EDF= ，
3
∴∠EDF=30°，
1 EF 20
∴EF= DF=20(m),DE= = =20❑√3
2 tan∠EDF ❑√3 米，
3
∴斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离为20m，斜坡的水平宽度DE为20❑√3米．（2）解：由题意知： ∠BAC=30°，
在Rt△CGF中，∵∠CFG=45°，
∴∠CFG=∠FCG=45°，
∴GC=GF，
设CG=GF=x米，
BC
在Rt△ABC中，tan∠BAC= ，
AB
BC
∴AB= =❑√3BC，
tan30°
∴20+20❑√3+x=❑√3(x+20)，
解得：x=10+10❑√3，
∴BC=CG+BG=(30+10❑√3)米，
答：建筑物BC的高度为(30+10❑√3)米；
（3）解：设小明上坡时的车速为ym/s，小明在平地上的车速为2ym/s，
30+10❑√3 1 20 40
由题意得， = ( + )，
2(❑√3+3) 2 2y y
解得y=5，
经检验，y=5是方程的解，且符合题意，
∴小明上坡时的车速为5m/s．
【变式2-2】高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为30
米，斜坡CD的坡度（坡比）i＝1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝10米，在点D处测得高楼楼
顶点A的仰角为50°，求楼的高度AB（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.766，
cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【答案】高楼的高度AB为17.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根
据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得DE=BF=10米，DF=BE，先利用斜坡CD的坡度，
求出CE的长，从而求出BE，DF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，
进而即可解答．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AB，
∵∠DFB=∠FBE=∠BED=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DE＝BF＝10米，DF＝BE，
DE 1
由题意，得 = ，
CE 2.4
∴CE＝2.4DE＝2.4×10＝24米，
∵BC＝30米，
∴DF＝BE＝30−24＝6米，
AF
在Rt△ADF中，tan∠ADF=tan50°= ，
DF
∴AF＝DF⋅tan50°≈6×1.192＝7.152米，
∴AB＝10+7.152≈17.2米．
答：高楼的高度AB为17.2米．
【变式2-3】如图，有一塑像DE在高13.4m的假山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿
AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求塑像DE的高度．（精确到1m．参考数
据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，❑√3≈1.73）
【答案】塑像DE的高度约为4m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．
在Rt△ACE中，利用正切函数的定义求得AC的长，继而求得BC的长，在Rt△BCD中，同样利用正
切函数的定义求得CD的长，从而求得结果．
【详解】在Rt△ACE中，
∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=13.4m，
CE
∴tan∠CAE= ，
AC
CE 13.4
∴AC= = =20m
tan34° 0.67
∵AB=10m
∴BC=AC−AB=20−10=10m
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=90°，∠DBC=60°，BC=10m，
CD
tan∠DBC=
BC
CD
∴tan60°= =❑√3，
BC
∴CD=❑√3BC=1.73×10=17.3m
∴DE=CD−EC=17.3−13.4=3.9≈4m
答：塑像DE的高度约为4m
【题型3：三角形—+矩形型】
【典例3】如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方
一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得
树顶端D的仰角为60°．已知点A的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1:❑√3，且B，C，E三点在同一
条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计）
【答案】6米【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角
构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．
由于AF⊥DE，则四边形ABDF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE=
DE DE ❑√3 AB 1
= = x，在Rt△ABC中，得到 = ，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，
tan∠DCE tan60° 3 BC ❑√3
由AF=BC+CE即可求出x的长．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥AB交DE于点F，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2，
DE DE ❑√3
设DE=x，在Rt△CDE中，CE= = = x，
tan∠DCE tan60° 3
在Rt△ABC中，
AB 1
∵ = ，AB=2，
BC ❑√3
∴BC=2 ❑√3，
在Rt△AFD中，DF=DE−EF=x−2，
DF x−2
∴AF= = =❑√3(x−2)，
tan∠DAF tan30°
∵AF=BE=BC+CE．
❑√3
∴❑√3(x−2) =2 ❑√3+ x，
3
解得x=6．
答：树DE的高度为6米．
【变式3-1】如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1：2的山坡CF，点C与点B在
同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶
A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20❑√5米（即CD=20❑√5米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为26.7°．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.5）
(1)求点C到点D的水平距离CE的长；
(2)求楼AB的高度．
【答案】(1)40米
(2)楼AB的高度约为80米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的
关键．
（1）根据题意可得DE⊥CE，设DE=x米，则CE=2x米，然后利用勾股定理可求出x=20．据此即
可求得CE的长；
（2）过点D作DG⊥AB，垂足为G，则DE=GB=20米，DG=EE，然后设AB=y米，在
Rt△ABC中，利用锐角是三角函数的定义求出BC的长，从而求出BE的长，再在Rt△ADG中，利用
锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：DE⊥CE，
∵山坡CF的坡度i=1：2，
DE 1
∴ = ，
CE 2
设DE=x米，则CE=2x米，
∴CD=❑√DE2+CE2=❑√x2+(2x) 2 =❑√5x（米），
∵CD=20❑√5米，
∴❑√5x=20❑√5，
∴x=20，
∴DE=20米，CE=2x=40（米）；
（2）解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，则四边形DEBG是矩形，∴DE=GB=20米，DG=EB，
设AB=y米，
∴AG=AB−BG=(y−20)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
AB
∴BC= =y（米），
tan45°
∴DG=EB=EC+BC=(y+40)米，
在Rt△ADG中，∠ADG=26.7°，
AG y−20
∴tan26.7°= = ≈0.5，
DG y+40
解得：y=80，
经检验：y=80是原方程的根，
∴AB=80米，
∴楼AB的高度约为80米．
【变式3-2】贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索
道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到
达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水
平线的夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在
同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）
(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；
(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，❑√2≈1.41）
【答案】(1)索道AB的长约为594m．
(2)水平距离AF的长约为1045m
【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
（1）根据∠BAE的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据AB、CD两段长度相等及CD与水平线夹角为45°求出C到DF的距离即可得到答案；
【详解】（1）解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠A=15°，AE=576m，
AE 576
∴AB= = ≈594(m)．
cosA cos15°
答：索道AB的长约为594m．
（2）延长BC交DF于点G，
∵BC∥AF，DF⊥AF，
∴DG⊥CG．
∴四边形BEFG为矩形．
∴EF=BG．
∵CD=AB≈594m，∠DCG=45°，
∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297❑√2(m)．
∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297❑√2≈1045(m)．
答：水平距离AF的长约为1045m
【变式3-3】如图，为测量公园内宝塔AB的高度，在距离宝塔中心20m处（AC=20m）的一个斜坡
CD上进行测量．已知斜坡CD与地面AF的夹角为30°，斜坡CD长10m，DF垂直于地面，在点D处竖
直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A，B，C，D，E，
F在同一平面内．求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据；sin37°=0.60，cos37°=0.80，
tan37°=0.75，❑√3≈1.73）【答案】宝塔AB的高度约为28.0m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点E作EP垂直AB于点P，则
∠EPA=∠FAP=∠EFA=90°，则四边形EFAP是矩形，解Rt△CDF，Rt△BEP，求得BP，进而根
据AB=AP+BP=DE+DF+BP，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点E作EP垂直AB于点P，则∠EPA=∠FAP=∠EFA=90°
∴四边形EFAP是矩形，
∴EP=FA
在Rt△CDF中，∠DCF=30∘，CD=10
CF ❑√3
∴DF=5，cos30°= ，CF=CD⋅cos30°=10× =5❑√3
CD 2
∴EP=FA=CA+CF=20+5❑√3
BP
在Rt△BEP中，tan∠BEP= ，∠BEP=37∘
PE
3 15❑√3
∴BP=EP⋅tan37°=(20+5❑√3)× =15+
4 4
15❑√3
∴AB=AP+BP=DE+DF+BP=1.5+5+15+ ≈27.99≈28.0(m)
4
答：宝塔AB的高度约为28.0m
【变式3-3】为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i=1:❑√3，坡长
CD=20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米)（参考数据： sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，
tan50°≈1.19，❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）
【答案】约21米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作CE⊥BD，垂足为E，根据题意得：CF∥ EB，根据山坡
CD的坡度i=1:❑√3，可得∠CDE=30°，从而利用平行线的性质，以及平角定义可得∠ADC=90°，
∠ACD=50°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，最后在Rt△ADB中，
利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
【详解】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
由题意得：CF∥ EB，
∵山坡CD的坡度i=1:❑√3，
CE 1 ❑√3
∴ = = ，
DE ❑√3 3
CE ❑√3
在Rt△CDE中，tan∠CDE= = ，
DE 3
∴∠CDE=30°，
∵CF∥ EB，
∴∠CDE=∠DCF=30°，
∵∠ADB=60°，
∴∠ADC=180°−∠CDE−∠ADB=90°，∵∠ACF=20°，
∴∠ACD=∠ACF+∠DCF=50°，
在Rt△ACD中，CD=20米，
∴AD=CD⋅tan50°≈20×1.19=23.8（米），
❑√3
在Rt△ADB中，AB=AD⋅sin60°=23.8× ≈21（米)，
2
答：建筑物AB的高度约为21米．
【题型4：拥抱型】
【方法技巧】
分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对
应的数量关系如下：分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下：
【典例4】如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的
俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG=1米，已知楼AB高25米，
求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）
【答案】18米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：CD=BF，CF=BD，AB⊥BD，AE∥ BD，从而
可得∠EAD=∠ADB=45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD长，从而在Rt△CFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得：CD=BF，CF=BD，AB⊥BD，AE∥ BD，
∴∠ADB=∠EAD=45°，
∵在Rt△ABD中，AB=25米，
AB 25
∴BD= = =25（米），
tan∠ADB tan45°
∴CF=BD=25米，
∴在Rt△CFG中，FG=CF⋅tan∠FCG=25⋅tan33.5°≈25×0.66=16.5（米），
∵BG=1米，
∴CD=BF=BG+FG=1+16.5≈18（米），
∴楼CD的高度约为18米．
【变式4】在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树AB的高
度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树AB适
当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架EF上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，
这时恰好在镜子里看到树的顶端A，即∠CEM=∠AEN，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A
处的仰角为26.6度；小溪用皮尺分别测量DF、EF及小林目高CD的长．已知CD⊥BD于点
D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，MN∥BD，DF=2.0米，EF=0.3米，CD=1.8米，请
你利用测得的数据求出这棵树AB的高度（结果保留整数．参考数据：
sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）【答案】8米
【分析】题目主要考查解三角形的应用，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD,BH=CD=1.8米，
4
利用相似三角形的判定和性质得出EN= AN，再由正切函数建立方程解得AN=7.5，结合图形即可
3
求解，理解题意，熟练掌握解三角形的应用是解题关键．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD,BH=CD=1.8米，
由题意得：EM=DF=2米，EN=BF,CM=CD−DM=CD−EF=1.8−0.3=1.5（米），
∵∠CME=∠ANE=90°，∠CEM=∠AEN
∴△CEM∽△AEN
CM EM 1.5 2
∴ = 即 = ，
AN EN AN EN
4
∴EN= AN，
3
4
∴CH=2+EN=2+ AN，
3
∵∠ACH=26.6°，
AH AN−1.5
tan26.6°= = ≈0.5
∴ CH 4 ，
2+ AN
3
解得：AN=7.5，∴AB=AN+BN=7.5+0.3≈8（米）．
【题型5：锐角三角函数的新定义综合】
【典例5】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，
底边 BC
AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA= = ．容易知道一个角的大小与这个角的正
腰 AB
对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad90°=________．
(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．
3
(3)如图②，已知sin A= ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
5
【答案】(1)❑√2
(2)0<sadA<2
❑√10
(3)
5
AB ❑√2 BC
【分析】（1）如图，∠BAC=90°,AB=AC,cos45°= = ，所以sad90°= =❑√2.
BC 2 AB
1
（2）如图，当点A向BC靠近时，∠A增大，逐渐接近180°，腰长AB接近 BC， 相应的
2
BC
sadA= <2；当点A远离BC时，∠A减小，逐渐接近0°，腰长AB逐渐增大，相应的
AB
BC
sadA= >0；于是0<sadA<2．
AB
（3）如图，在AB上截取AH=AC，过H作HD⊥AC于D，设HD=3x,AH=AC=5x，则
CH ❑√10
AD=4x,DC=AC−AD=x．解Rt△HDC，HC=❑√10x，sadA= = ．
AH 5
【详解】（1）解：如图，∠BAC=90°,AB=AC,BC
sad90°= ,
AB
AB ❑√2
∵cos45°= = ,
BC 2
BC
∴sad90°= =❑√2.
AB
（2）解：如图，点A在BC的中垂线上，当点A向BC靠近时，∠A增大，逐渐接近180°，腰长AB接
1 1 BC
近 BC，AB> BC 相应的sadA= <2；
2 2 AB
BC
当点A远离BC时，∠A减小，逐渐接近0°，腰长AB逐渐增大，相应的sadA= 逐渐接近0，
AB
BC
sadA= >0；
AB
∴0<sadA<2
（3）解：如图，在AB上截取AH=AC，过H作HD⊥AC于D，
3 DH
sin A= = ，
5 AH
设HD=3x,AH=AC=5x，则，AD=❑√AH2−H D2=4x,
∴DC=AC−AD=5x−4x=x．
Rt△HDC中，HC=❑√CD2+H D2=❑√10x，
CH ❑√10x ❑√10
∴sadA= = = ．
AH 5x 5【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角
形是解题的关键．
【变式5-1】综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
[问题情景]
如图1：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm．将边AB绕点A逆时针旋转α度(α≠180°)，得到线
段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F．
[初步感知]
（1）当α=90°时．四边形ABFE的形状为________．周长为________cm（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形
ABFE是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形ABFE的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接CE，当△FEC是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此
时BF的长度．
1
【答案】（1）正方形，24；（2）是，理由见解析，12+12tan α°；（3）3或12
2
【分析】本题主要考查正方形的判定，直角三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以
及勾股定理的应用：
（1）先证明四边形ABFE是矩形，再由旋转得AB=AE，从而可判断四边形ABFE是正方形；
（2）连接AF，根据HL证明Rt△ABF≌Rt△AEF可得EF=BF，从而得出结论；
（3）分两种情况，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
将边AB绕点A逆时针旋转α度(α≠180°)，得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F
∴AE=AB，∠EAB=90°，∠AEF=90°
∴∠B=∠EAB=∠AEF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴四边形ABFE是正方形，
∵AB=6
∴正方形ABFE的周长为4AB=4×6=24
故答案为：正方形；24；
（2）四边形ABFE是筝形，理由如下：
连接AF，如图，
由旋转得AE=AB,∠AEF=∠ABF=90°
又AF=AF
∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)
∴BF=EF,∠BAF=∠EAF
又AE=AB
∴四边形ABFE是筝形，
∵旋转角度数为α度，
1
∴∠BAF=∠EAF= α°
2FB
又tan∠BAF=
AB
1
∴FB=ABtan∠BAF=6tan α°=EF
2
1 1 1
∴四边形ABFE的周长为AB+BF+FE+AE=6+6tan α°+6tan α°+6=12+12tan α°
2 2 2
（3）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8,∠B=90°
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10
设BF=x，则EF=BF=x,CF=BC−BF=8−x
∵AE=AB=6
∴CE=AC−AE=10−6=4
在Rt△CEF中，EF2+CE2=CF2
∴x2+42=(8−x) 2，
解得，x=3，
∴BF=3；
如图，EC=AE+AC=6+10=16
∵∠E=∠ABC=90°,∠ACB=∠FCE
∴△ACB∽ △FCE
AC BC 10 8
∴ = ，即 =
FC CE BF+8 16
解得，BF=12，综上，BF的值为：3或12
【变式5-2】【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，
直线x=1与y轴的距离为1
【应用】根据定义回答下列问题：
（1）如图1：直线y=−x+3与直线y=−x−2的距离是 ；
1
（2）如图2： 已知点A(1,0)，圆A的半径为1，将直线y=− x+4向下平移m个单位后与圆A相切，
2
求m的值；
【拓展】
（3）如图3，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部
1
分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为y= x2(−6≤x≤6)（单位长度为百
8
3
米），地铁线所在的直线为y=− x−3，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离
4
最近，请求出这个最短距离并确定点P的位置（即求出点P的坐标）
5 7 ❑√5 7 ❑√5 ( 39 3 )
【答案】（1） ❑√2 ；（2）m= − 或 + ；（3）P − ,−
2 2 2 2 2 10 40
【分析】（1）设y=−x−2与y轴交于点A，y=−x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，可得：
OA=2，OC=3，OD=3，△COD为等腰直角三角形，则∠ACB=45°，作AB⊥CD交CD于B，解直角三角形即可求解；
1
（2）过A作AB⊥CD于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线y=− x+4的平行线l ，l ，则
2 1 2
1
AE⊥l ，AE⊥l ，则l ，l 为圆A的切线，由y=− x+4得C(0,4)，D(8,0)，则OC=4，OD=8，
1 1 1 2 2
AB OC 4
可知CD=4❑√5，AD=7，Rt△ABD和Rt△COD中，sin∠BDA= = = ，求得
AD CD 4❑√5
7❑√5 7❑√5 7❑√5
AB= ，可得BE= −1，BF= +1，过点B作BH⊥x轴，交l ，l 于G，H可知
5 5 5 1 2
BE OD 8
∠EBG=∠CDO，Rt△BEG和Rt△COD中，cos∠EBG=cos∠CDO= = = ，求得
BG CD 4❑√5
7 ❑√5 7 ❑√5
BG= − ，同理，BH= + ，即可求解；
2 2 2 2
3
（3）设y=− x−3与x轴、y轴分别交于点A、B，可知A(−4,0)，B(0,−3)，过P作PQ⊥AB交抛
4
4
物线于点Q，过Q作QG∥y轴交直线AB于点G，则∠QGP=∠ABO，解直角三角形得PQ= QG，
5
3
设G ( m,− 3 m−3 ) ，则Q ( m, 1 m2) ，则PQ= 4 QG= 1 m2+ 3 m+ 12 ，可知当m=− 4 =−3
4 8 5 10 5 5 1
2×
10
3 6 9
时，PQ = ，此时，x =−3，作PH⊥QG于H，求得QH= ，PH= ，求得可得
min 2 Q 5 10
( 39 3 )
P − ,− ．
10 40
【详解】解：（1）设y=−x−2与y轴交于点A，y=−x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，对于y=−x−2，当x=0时，y=−2，则A(0,−2)，即：OA=2，
对于y=−x+3，当x=0时，y=3，则C(0,3)，即：OC=3，
当y=0时，x=3，则D(3,0)，即：OD=3，
∴△COD为等腰直角三角形，则∠ACB=45°，
作AB⊥CD交CD于B，AC=OA+OC=5，
AC 5
∴AB= = ❑√2，
cos45° 2
5
故答案为： ❑√2；
2
1
（2）过A作AB⊥CD于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线y=− x+4的平行线l ，l ，则
2 1 2
AE⊥l ，AE⊥l ，
1 1
∴l ，l 为圆A的切线，
1 2
1
由y=− x+4得C(0,4)，D(8,0)，则OC=4，OD=8，
2
∴CD=❑√OC2+OD2=4❑√5，AD=7，
AB OC 4
Rt△ABD和Rt△COD中，sin∠BDA= = = ，
AD CD 4❑√5
7❑√5
∴AB= ，
5
7❑√5 7❑√5
∴BE= −1，BF= +1，
5 5过点B作BH⊥x轴，交l ，l 于G，H
1 2
∵∠EBG+∠DBG=∠DBG+∠CDO=90°，
∴∠EBG=∠CDO，
BE OD 8
Rt△BEG和Rt△COD中，cos∠EBG=cos∠CDO= = = ，
BG CD 4❑√5
7 ❑√5
∴BG= − ，
2 2
7 ❑√5
同理，BH= +
2 2
7 ❑√5 7 ❑√5
综上，m= − 或 + ；
2 2 2 2
3
（3）设y=− x−3与x轴、y轴分别交于点A、B，
4
当x=0时，y=−3，当y=0时，x=−4，则D(3,0)，
则A(−4,0)，B(0,−3)，
过P作PQ⊥AB交抛物线于点Q，过Q作QG∥y轴交直线AB于点G，则∠QGP=∠ABO
PQ AO 4
Rt△QPG Rt△AOB sin∠QGP=sin∠ABO= = =
QG AB 5
和 中，
4
∴PQ= QG，
5
设G
(
m,−
3
m−3
)
，则Q
(
m,
1 m2)
，
4 8
4 1 3 12
则PQ= QG= m2+ m+
5 10 5 5
3
4 3
当m=− =−3时，PQ = ，
1 min 2
2×
10
此时，x =−3，
Q
作PH⊥QG于H，3 4 6
则QH=PQ⋅cos∠QPH=PQ⋅cos∠ABO= × = ，
2 5 5
9
由勾股定理可得PH=❑√PQ2−OH2=
，
10
9 39 3 3
则x =−3− =− ，y =− x −3=− ，
P 10 10 P 4 P 40
( 39 3 )
∴P − ,− ．
10 40
【点睛】本题考查圆的切线，二次函数与一次函数综合，勾股定理，解直角三角形等知识，理由数形
结合的思想是解决问题的关键．
【变式5-3】[建立模型]为了求得15°角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型：
如图1，
先画一个含30°角的Rt△ABC，使得AC=1，∠C=90°，∠ABC=30°．则AB=2，BC=❑√3．延
长CB到D，使得BD=AB=2，连接AD，则∠D=15°．根据正切的定义，则有：
1
tan15°= =2−❑√3．
2+❑√3
[模型运用]河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达388米(地面至桅杆顶端)，整
个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分．为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分MN的高度，李
老师带领同学们在距离地面18米的A建筑物上测得塔楼101层C处的仰角为60°．往前移动77.4米，在
距离地面18米的B建筑物上测得塔楼101层C处的仰角为75°．
请您运用所学知识，求出桅杆天线MN的高度．(精确到0.01米．可能用到的数据：❑√2≈1.414，
❑√3≈1.732)【答案】桅杆天线MN的高度约为119.84米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
过点C作CF⊥AB，垂足为F，延长CF交DG于点E，根据题意可得：AD=FE=18米，AB=77.4米，
然后设CF=x米，在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，再在
RtΔACF中，利用锐角三角函数的定义可得CF=❑√3AF，从而可得x=❑√3[77.4+(2−❑√3)x]，最后
进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F，延长CF交DG于点E，
由题意得：AD=FE=18米，AB=77.4米，
设CF=x米，
在Rt△CBF中，∠BCF=90°−∠CBF=15°，
∴BF=CF⋅tan15°=(2−❑√3)x米，
∴AF=AB+BF=[77.4+(2−❑√3)x)米，
在Rt△ACF中，∠CAF=60°，
∴CF=AF⋅tan60°=❑√3AF，∴x=❑√3[77.4+(2−❑√3)x)，
解得：x≈250.157，
∴CE=CF+EF=250.157+18=268.157(米)，
∵塔高达388米，
∴MN=388−268.157≈119.84(米)，
∴桅杆天线MN的高度约为119.84米．
