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三角函数与解三角形六类核心题型
目录
题型一：三角恒等变换与三角函数1
题型二：正余弦定理解三角形的边与角3
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆4
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围6
题型五：解三角形中面积的最值范围7
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线8
必刷大题9
题型一：三角恒等变换与三角函数
大题典例
例1 ：(24 - 25 高三上·河南·月考) 已知向量m= (cosx + sinx, 3sinx),n= (cosx - sinx,2cosx)，函数g(x) =
m⋅n.
(1) 求g(x) 的最小正周期;
(2) 若函数f(x) = g(x) - a 在区间0, π
2
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
2
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江苏常州·月考) 如图，已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的图象过点
A 0,1
和B x0,-2
x0>0
，且满足AB
=
13.
(1) 求f x
的解析式；
(2) 当x ∈- 1
4 ,1
时，求函数f x
值域.
【变式2】(24 - 25 高三上·北京·期中) 已知函数f x
= sin2x + 2sinxcosx - cos2x.
(1) 求f x
的最小正周期；
(2) 求不等式f x
≥-1 的解集；
(3) 从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m 的取值范围.
①f x
在0,m
有恰有两个极值点；
②f x
在0,m
单调递减；
③f x
在0,m
恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0 分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.
3
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
大题典例
例2 ：(24 - 25 高三上·福建南平·期中) 在锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知cos2 A+B
=
- 3
4
(1) 求tan2C；
(2) 当c = 2a，且b =
7
2
时，求a.
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江苏苏州·月考) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a( 2 - cosB)
= 2bcos2 A
2 .
(1) 证明：b + c =
2a；
(2) 若a = 2，tanBtanC = 3，求sinA.
4
【变式2】(24 - 25 高三上·上海·期中) 在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知a = 5．
(1) 若A = π
3 ，b = 3c，求c；
(2) 若A = π
6 ，5csinB = 3b，求△ABC 的周长．
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
大题典例
例3 ：(24 - 25 高三上·全国·专题练习)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2
ab
=
2sinB-sinA
sinA
．
(1) 求C 的大小；
(2) 若△ABC 面积为6 3，外接圆面积为49
3 π，求△ABC 周长.
5
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·海南·月考) 如图，平面四边形ABCD 内接于一个圆，且AB = 5，BD = 3 5 ，A 为钝
角，sinA = 3
5 .
(1) 求sin∠ABD；
(2) 若BC = 5，求△BCD 的面积．
【变式2】(23 - 24 高三下·浙江·模拟预测) 如图，在平面内的四个动点A，B，C，D 构成的四边形ABCD 中，
AB = 1，BC = 2，CD = 3，AD = 4.
(1) 求△ACD 面积的取值范围；
(2) 若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.
6
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
大题典例
例4 ：(24 - 25 高三上·四川绵阳·月考) 在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，b2= c2- ab.
(1) 求证：C = 2B；
(2)b = 2，求a 的取值范围.
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·山西·月考) 在△ABC 中，角A,B ,C 的对边分别是a,b,c，且b+c
cosA =
a cosB-cosC
．
(1) 证明：A = 2B．
(2) 若△ABC 是锐角三角形，求b
a 的取值范围．
【变式2】(24 - 25 高三上·贵州遵义·月考) 记△ABC 的内角A，B，C 对应的三边分别为a，b，c，且
3 sinB +
cosB = 1.
(1) 求B；
(2) 若b = 3，求△ABC 的周长的取值范围.
7
题型五：解三角形中面积的最值范围
大题典例
例5 ：(24 - 25 高三上·辽宁沈阳·月考) 已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，满足
3bsinC - ccosB
= c．
(1) 求角B．
(2) 若△ABC 为锐角三角形，且a = 2，求△ABC 面积的取值范围．
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江西·期中) 已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且cosC
b
+ ccosA
ab
=
3
4acosB .
(1) 求cosB；
(2) 若b = 4，求△ABC 面积的最大值.
【变式2】(24 - 25 高三上·河南·月考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
a+b
cosA+cosB =
c
sinC ．
(1) 求C 的值；
(2) 若△ABC 内有一点P，满足∠APB = ∠APC = ∠CPB = 2π
3 ，CP = 1，求△ABC 面积的最小值．
8
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
大题典例
例6 ：(24 - 25 高三上·江苏徐州·月考) 已知△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2c = 2bcosA - a．
(1) 求角B；
(2) 若BD 是角B 的平分线，AD = 4 7,CD = 2 7，求线段BD 的长．
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·福建福州·月考)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知c-b
c
=
sin A-B
sinC
．
(1) 求A；
(2) 若D 为BC 中点，AD =
13
2
，AC = 3，求△ABC 的周长．
【变式2】(24 - 25 高三上·广西南宁·月考) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c．已知b
c =
sin2B
2sinA+sinB ．
(1) 求角C；
(2) 若点D 在边AB 上，b = 2,CD = 1，请在下列两个条件中任选一个，求边长AB．
①CD 为△ABC 的角平分线；②CD 为△ABC 的中线．
9
必刷大题
名校模拟题
题1. (24 - 25 高三上·山东菏泽·期中) 记锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知c
b - cosC
cosB =
2cosA．
(1) 求B；
(2) 延长AC 到D，使AC = 2CD,∠CBD = 15°，求tanA．
题2. (24 - 25 高三上·上海·期中) 设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，a = btanA 且B 为钝角.
(1) 若A = π
12 ,c = 2，求△ABC 的面积；
(2) 求sinA + sinC 的取值范围.
题3. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 在△ABC 中，a，b，c 分别是内角A，B，C 的对边，且b2+ c2= 5a2.
(1) 若sinB =
6
2 sinC，求cosA；
(2) 若AB
⋅AC
= 8，求△ABC 的面积的最大值.
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题4. (24 - 25 高三上·辽宁大连·月考) 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，满足sin2A + sin2C =
sin2B + sinAsinC.
(1) 求角B 的大小；
(2) 若△ABC 的面积为
3，求a + c 的最小值．
题5. (24 - 25 高三上·江苏无锡·期中) 在△ABC 中，已知
3tanA-1
3tanB-1
= 4.
(1) 若△ABC 为锐角三角形，求角C 的值，并求sin2A - cos2B 的取值范围;
(2) 若AB =
3，线段AB 的中垂线交边AC 于点D，且CD = 1，求A 的值.
题6. (24 - 25 高三上·天津·月考) 在△ABC 中，角A,B,C 对应边分别为a,b,c，外接圆半径为1，已知
2 sin2A-sin2C
= a-b
sinB.
(1) 证明：a2+ b2- c2= ab；
(2) 求角C 和边c；
(3) 若b = 3
2 ，求sin 2A+4B+5C
.
11
高考真题
题7. (2024·上海·高考真题) 已知f(x) = sin ωx+ π
3
，ω > 0
(1) 设ω = 1，求解:y = f x
,x ∈0,π
的值域;
(2)a > π(a ∈R),f(x) 的最小正周期为π，若在x ∈π,a
上恰有3 个零点，求a 的取值范围.
题8. (2024·广东江苏·高考真题) 记△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sinC =
2cosB，a2+ b2
- c2=
2ab
(1) 求B；
(2) 若△ABC 的面积为3 +
3，求c．
题9. (2024·全国·高考真题) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA +
3cosA = 2．
(1) 求A．
(2) 若a = 2，2bsinC = csin2B，求△ABC 的周长．
12
题10. (2024·天津·高考真题) 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知cosB = 9
16 ，b = 5，a
c = 2
3 ．
(1) 求a 的值；
(2) 求sinA 的值；
(3) 求cos B-2A
的值．
题11. (2024·北京·高考真题) 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，∠A 为钝角，a = 7，sin2B =
3
7 bcosB．
(1) 求∠A；
(2) 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，求△ABC 的面积．
条件①：b = 7；条件②：cosB = 13
14 ；条件③：csinA = 5
2
3．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
13
题12. (2023·北京·高考真题) 设函数f(x) = sinωxcosφ + cosωxsinφ ω>0,|φ|< π
2
．
(1) 若f(0) =-
3
2 ，求φ 的值．
(2) 已知f(x) 在区间- π
3 , 2π
3
上单调递增，f 2π
3
= 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数f(x) 存在，求ω,φ 的值．
条件①：f
π
3
=
2；
条件②：f - π
3
=-1；
条件③：f(x) 在区间- π
2 ,- π
3
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
