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4.8 三角形中的中线、角平分线以及取值范围
知识点1：中线定理
在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
知识点2：角平分线定理
在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，D 在BC 上，
则AB
BD = AC
CD .进而得到
(1)AD2=AB·AC-BD·CD.
知识点3：张角定理
在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则sin β
AB +sin α
AC =sin(α + β)
AD
.
考点一 三角形中中线的问题
考点二 三角形中角平分线的问题
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
考点四 三角形面积的最值或范围
考点五 几何图形中的计算
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
考点一 三角形中中线的问题
1．（25-26 高三上·四川成都·期中）在锐角
中，设角
所对的边分别为
，已知
且
．
(1)求角
；
(2)求
周长的取值范围；
(3)求边
上的中线
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换求出
的取值范围进而得出结果；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将
的范围转化为
的范围，
再结合锐角三角形以及角
，求得角
的范围，即可得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
又由余弦定理得，
，故
．
（2）由正弦定理得
，
，
又因为
是锐角三角形，故
，解得
，
，
周长的取值范围为
．
（3）由余弦定理得，
，即
．
，两边平方得
．
由正弦定理可知，
，故
，
因此
，
又因为
是锐角三角形，故
，解得
，
故
，
，
，
即
，则
．
2．（25-26 高三上·贵州毕节·阶段检测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)证明：
；
(2)求C；
(3)若
，边
上的中线
，求边a，b 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
，
或
，
【分析】（1）由正弦定理边角互化得
，再整理即可证明；
（2）由（1）可得
，进而得到
即可求解；
（3）根据余弦定理可得
，再利用双余弦
得到
，再解方程组即
可．
【详解】（1）证明：由正弦定理得：
，
即
；
（2）解：因为
，
即
.
则
，
因为
，
所以
；
（3）解：因为
，由余弦定理知：
，
即
，
，
，
即
，
，
，
故
，
解得：
，
或
，
.
3．（25-26 高三上·河南郑州·期中）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，
(1)求角A；
(2)若
，
的面积为
，求b，c；
(3)若
，且
为锐角三角形，D 为BC 的中点，求中线AD 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；
（2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于
的二元方程组即可求解；
（3）利用中线向量公式与余弦定理将
转化为关于
的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三
角形的范围限制即可求解.
【详解】（1）
，
由正弦定理可得
，
∴
，
即
，
，
因为
，所以
，所以
，
即
，即
，
又
，∴
，则
．
（2）由（1）及题设可得
，即
，
整理得
，解得
（负值舍去），故
．
（3）因为D 为BC 的中点，所以
，
两边平方得
，
在
中，由余弦定理得
，即
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，
则
，解得
，
所以
，所以
，则
，
即
，
所以
，所以中线AD 的取值范围是
．
4．（25-26 高三上·江苏·期中）（多选）在锐角
中，角
所对的边分别为
，则
（ ）
A．
B．
的取值范围是
C．存在
，其面积为1
D．边
上的中线长的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A，由
结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合
及
锐角
可得
，
，再根据正弦定理及二倍角公式可得
，进而求解判断即可；
对于C，表示出
，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设
的中点为
，根据平面向量
的数量积可得
，结合
，
，可得
，
利用换元法求出其范围，进而求解判断即可.
【详解】对于A，由
，
根据正弦定理，得
，
则
，
即
，
则
，
即
，
在锐角
中，
，则
，
则
，即
，故A 正确；
对于B，由
，则
，
在锐角
中，
，即
，则
，
由正弦定理，得
，故B 错误；
对于C，由
，
，
，
，即
，
根据正弦定理，得
，则
，即
，
则
，
因为函数
在
上单调递减，
且
时，
，
时，
，
所以
，则
，
则存在
，其面积为1，故C 正确；
对于D，设
的中点为
，则
，
所以
，
又
，
而
，则
，
则
，
令
，则
，
令
，则
，
因为函数
在
上单调递增，且
时，
，
时，
，
则
，即
，则
，
所以
，
即边
上的中线长的取值范围是
，故D 正确.
5．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
且
.
(1)求角C 的大小；
(2)求b 的取值范围；
(3)边AB 的中点为D，求中线CD 的长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦
公式进行求解即可；
（2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可；
（3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行
求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
因为
，所以
，
则
，即
，
整理可得
，即
，
所以
，
所以
.
（2）由正弦定理得
，
因为锐角
，所以
，
所以
，所以
；
（3）由余弦定理可得
，
又
，
则
，
由正弦定理可得
，
所以
，
所以
由（2）知
，则
，
所以
，
则
，
则
，
故中线
的长度的取值范围为
.
6．（25-26 高三上·河北石家庄·阶段检测）已知
分别为
三个内角
的对边，且
．
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，
，求边
上的中线
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可
求得结果；
（2）先通过余弦定理得到
与
的关系，再用向量表示出
，结合正弦定理转化为角
的三角函数，最后
根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围.
【详解】（1）根据题意可知，
，
由正弦定理得：
，
即
，
所以
，
即
．
又
，则
，
故
，即
，所以
．
又
，所以
，
即
，故
．
（2）根据余弦定理得：
，
即
．
又因为
，两边平方得
．
根据正弦定理可知，
，故
，
，
所以
．
又由于
是锐角三角形，因此可得
，解得
．
因此
，所以
，即
，
所以
，则
．
考点二 三角形中角平分线的问题
7．（25-26 高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）
中
，
，
，则（ ）
A．
B．
的角平分线交AB 于D，则
C．
D．
在
上的投影向量是
【答案】ACD
【详解】由余弦定理
，得
，故
，A 正确；
因为
，所以
是等腰三角形，
平分
，
所以
是
的垂直平分线，所以
，所以
，所以B 不正确；
由
，
，所以
，
因为
是等腰三角形，所以
，
，所以C 正确；
向量
在
上的投影向量为
，
，故投影向量为
，所以D 正确.
8．（25-26 高三下·河北沧州·阶段检测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的角平分线
的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角
；
（2）先根据三角形面积公式求出
的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线
的长度.
【详解】（1）由正弦定理可得：
，即
，化简可得
，
由余弦定理
.
因为
，所以
.
（2）根据三角形面积公式
，可得：
，
即
，化简可得
，解得
.
因为
是角平分线，所以
.
由
得：
.
，
解得
.
9．（25-26 高二上·贵州遵义·阶段检测）在
中，设角
所对的边分别为
，已知
且
.
(1)求角
；
(2)若
，求边
上的角平分线
的长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）先利用余弦定理求出
，再利用等面积法
，即可求解；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将
的范围转化为
的范围，再
结合锐角三角形以及角
，求得角
的范围，即可得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
又由余弦定理得，
，
故
.
（2）
由余弦定理可知，
，代入
，
可得
，解得
.
设
，
，即
，
解得
，因此
.
（3）由余弦定理得，
，
即
.
，两边平方得
.
由正弦定理可知，
，故
，
因此
，
又因为
是锐角三角形，故
，解得
，
故
，
，
，
即
，则
.
10．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求
；
(2)若
的角平分线交
边于点
，
，
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得；
（2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得.
【详解】（1）由
及正弦定理，得
，
，
，
，
，
，
，
或
.
，
，
，即
.
（2）如图：
，
，
①，
又在
中，由余弦定理可得
，即
②，
将①代入②得
，
或
（舍）,
.
的周长为
.
11．（2026·四川成都·三模）已知
的面积为
，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的角平分线交
于点
，求线段
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角
.
（2）先根据同角三角函数的基本关系求出
，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段
的长.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
即
，所以
.
又
，所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
.
由正弦定理可得，
，
，
又
，
所以
，解得
.
所以线段
的长为
.
12．（25-26 高三上·安徽亳州·期中）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
CD 是
的角平分线，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【分析】在
中，由余弦定理求得
，根据
是
的平分线，得
，所以
，
在
中应用余弦定理求得b，即可求得
.
【详解】在
中，
，
即
，
，
因为
是
的平分线，所以
即
，所以
在
中
，
即
即
，解得
.
在
中，
，
所以
故选：A.
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
13．（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）在
中，角
所对的边分别为
，且
.若
，则
的最大值为______.
【答案】14
【分析】将已知等式利用正弦定理边化角，化简后求得
，由余弦定理结合基本不等式，即可求得
最大
值.
【详解】因为
，所以由正弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
由余弦定理得
，即
，
因
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
故
，当且仅当
时取等号，
则b+c 的最大值为14.
14．（2026·陕西渭南·三模）已知
的内角
所对的边分别为
,且
．
(1)求
；
(2)若
的外接圆半径为1，求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角
；
（2）首先根据正弦定理求出
，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得
，求出最值.
【详解】（1）因为
，则
，
即
，
，
，
.
（2）由
，得
，
由余弦定理得
，
化简为
，即
，
因为
，
则
，
，
当且仅当
时等号成立，故三角形周长最大值为
.
15．（25-26 高三上·四川泸州·期中）在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，
，点D 在边
上，
且
，
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求
；
(3)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D 作
的平行线交
于点H，在
中，运用余弦定理计算即可；方法三：在
中，运用余弦定理求出
，结合勾股定理
求出
；方法四：利用等面积法计算即可.
（2）方法一：根据
与
相似计算即可；方法二：在
中以及在
中，运用正弦定理计算即
可；
（3）根据向量的模公式得到
，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令
，则方程
有正根，然后分情况讨论
进而计算结果.
【详解】（1）法一：
，
则
．
法二：过点D 作
的平行线交
于点H，
在
中，
，
，
由余弦定理：
法三：在
中，由余弦定理：
又
，则
，
则
.
法四：因为
，则
平分角C，
由
，
即
.
（2）法一：因为
，则
与
相似，
则
，即
，所以
，
则
，
，则
．
法二：设
，因为
，则
在
中，由正弦定理知
①
在
中，由正弦定理知
②
，
，则有
又
，
．
（3）
，平方得
．
即
，又
令
，则
，
.
法一：
令
，则
，
，
．
的取值范围为
法二：令
，则方程
有正根．
，
①若
，方程没有正根，不符合题意；
②若
，且
，得：
或
（此时方程只有一个负根，故舍去）
③若
，且
，得：
，
ⅰ 若方程有一个根为0，此时
，方程有正根
，符合题意；
ⅱ 若方程有两个正根，则
，得
或
，
ⅲ 若方程有1 个正根，一个负根，
，得
，
综上：
，
的取值范围为
.
16．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在
中，设边a，b，c 所对的角分别为A，B，C，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角
；已知角
、边
和
，利用余
弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积；
（2）利用正弦定理将其转化为关于角
，
的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角
的三
角函数，根据角
的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围.
【详解】（1）
，
；
由正弦定理得
.
，
；
；
.
，
;
，即
；
，
.
，
，
；
由余弦定理得
，即
，解得
；
.
（2）由（1）得
，
，即
.
由正弦定理得
；
，
；
，
，即
.
17．（25-26 高三上·四川资阳·期中）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
，
的中点为M.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
得
，根据
的范围求值；
（2）由正弦定理得
，
，由
，利用向量运算结合三角恒等变换可得
，求出
的范围结合三角函数性质得解.
【详解】（1）由
，得
，
又
，所以
，
所以
，
.
（2）由
，且
可得
，
又
，
为
外接圆半径）
所以
，又
，所以
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
.
由
的中点为M，得
，
所以
.
因为
为锐角三角形，所以
，得
，
则
，所以
，
，
则
，
故
的取值范围是
.
18．（25-26 高三上·山西晋中·阶段检测）在
中，设角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若D 在
边上且
，
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理可得
，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为
，
根据正弦定理得：
，
且
，
可得
，
即
，又因为
，则
，
可得
，整理可得
，
又
，则
，可得
，解得
.
（2）由
得
，又
，
，
则由余弦定理得
，即
，
即
，
由基本不等式得
，
所以
，所以
，
当且仅当
时取等，所以
的最大值为.
考点四 三角形面积的最值或范围
19．（25-26 高三下·陕西商洛·阶段检测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．9
B．18
C．
D．6
【答案】A
【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定
是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大
值.
【详解】由题设
及正弦定理可得
，
又
，
故
，化简得
，
因为
，所以
，即
，
是直角三角形，直角在
，
由勾股定理，直角在
，故
，
的面积
，根据基本不等式
，得：
，
因此
，当且仅当
时取等号，即面积最大值为 .
20．（25-26 高三上·辽宁·期中）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求C
(2)若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC 周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）
．
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得
，从而求得
.
（2）（Ⅰ）由正弦定理将
的周长表示为
的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得
周长的取值范
围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得
的最大值，从而求得
面积的最大值．
【详解】（1）因为
，
，
所以由正弦定理得，
，
则
，由
，得
，所以
，则
．
（2）（Ⅰ）由正弦定理得，
，
所以
，
.
△ABC 的周长
，
由
，得
.
则
，
所以
的周长的取值范围为
．
（Ⅱ）由余弦定理得
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
所以
，
所以
面积的最大值为
．
21．（25-26 高三上·广东江门·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)若
，
的周长等于6，求a，b．
(2)若
为锐角三角形，且
的面积
满足
.
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）
【分析】（1）应用周长结合余弦定理及
之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式
以及余弦定理求解出
的值，由此可求
的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出
，然后利用正弦定理
表示出
，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系.
【详解】（1）因为
，且
的周长等于6，所以
，
因为
，由余弦定理得
，
将
代入上式解得
，所以
，
则
.
（2）（ⅰ）因为
，所以
，所以
，
又
是锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，又
，所以
；
（ⅱ）因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
由
，解得
，所以
，
所以
，
所以
面积的取值范围是
.
22．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，满足
．
(1)求
，
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长；
(3)若
是锐角三角形，且
，求
面积
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据
，利用正弦定理转化为
求解；
（2）由三角形的面积可得
，由余弦定理，可得
，从而可得答案；
（3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解.
【详解】（1）由
和正弦定理，可得
，
其中
，故
．∴
，即
，
因为
，所以
.
（2）因为
，所以
，
由余弦定理可得
即
，所以
，
所以
的周长为
.
（3）因为
是锐角三角形，
，
所以
，解得
，
由正弦定理，
，则
，
所以
，
，
由
得
，所以
，
所以
，
即
面积
的取值范围为
.
23．（25-26 高三上·山西·阶段检测）在
中，内角
的对边分别为
．
(1)求
．
(2)当
时．
（i）求
周长的取值范围；
（ii）求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得；
（2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得
，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定
理，基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理得
而右式为
，
故得
，因为
，故
．
故
，则
．
（2）（i）由正弦定理得
的周长
，
易得
，则
，故
，
所以
的取值范围是
；
（ii）由余弦定理得
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的面积
，
故
面积的最大值为
．
24．（2026·广东汕头·三模）已知
的内角
的对边分别为
，
为
的面积，且
，
．
(1)判断
的形状；
(2)设点
为
所在平面内一动点，
分别位于直线
的两侧，设
，若
，
，求四边形
面积的取值范围．
【答案】(1)
是等边三角形
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出
，再根据
即可得出结论；
（2）先利用余弦定理求出
，再根据四边形
的面积
结合三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及
，
得：
，
所以
，即
.
又因为
，所以
，
因为
，所以
或
，
因为
，所以
，所以舍去
，
所以有
，即
，
所以
是等边三角形；
（2）如图，在
中，由余弦定理得
，
记四边形
的面积为
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
的取值范围是
，
即四边形
的面积的取值范围是
．
考点五 几何图形中的计算
25．（25-26 高三上·湖南衡阳·期中）如图，在
中，
，
，点
在线段
上．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解
的值，进而得到
的值，再结合正弦定
理即可求解
的长度；
（2）结合已知的面积、
长度和
，求解
的长度，再根据
得到
、
的长度，进而分别在
和
中使用正弦定理，结合
与
互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得：
，
即
，
因为
，则
，故
，则
为锐角，
所以
，
因为
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，解得
．
（2）
，则
由
，得
，
.
由余弦定理可得：
.
在
中，由正弦定理可得
，
故
，
在
中，由正弦定理可得
，
故
，
因为
，
所以
．
26．（2026·河南·模拟预测）如图，在
中，
，D，E 为线段
上两点，且
平分
，
（
在
的左侧）.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解；
（2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得
的值，再根据正切的诱导公式即可求解.
【详解】（1）因为
，所以在
中，
.
又
，即
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
.
因为
平分
，所以
，
解得
，
所以
所以
.
（2）设
，
则
，
即
，
整理得
，
又
，
故
，即
，解得
.
27．（25-26 高三上·河北沧州·期中）如图，在
中，
，D 为边AC 上一点，且
，
．
(1)若
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
的面积；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)（i）
；（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）在
中，
，
，
，
由余弦定理得：
，即
，
所以
是等腰三角形，即
．
所以
，即
；
（ⅱ）
，即
是等腰三角形，所以
，
所以
；
（2）因为
，即
，即
．
设
，则
，则
，
所以
，
又因为
，因为
，
所以
，即
，
又因为
，令
，则
，
所以
，
，因为函数
在
上单调递增，
所以
．
28．（25-26 高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形
中，
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可.
【详解】对于AB，由于
，
，
，
在
中，
，即
，
在
中，
，即
，
联立两式解得
，由于
，所以
，
，故A 正确，B 错误．
对于C，
，故C 正确．
对于D，
的面积
，故D 正确．
29．（2026·河南·三模）在平面四边形
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 在
中，由余弦定理得：
，
因为
，所以
．
（2） 因为
，
，所以
，
在四边形
中，
，
设
，在
中，
，
在
中，
，
因为
，所以
。
即
整理得
，解得
在
中，
．
30．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣
之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915 年，
蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点
为边
上靠近
点的三等分点，
，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)当
时，求
的长；
(3)要使得
取最小值时，请帮设计师计算此时
的长．
【答案】(1)
(2)2
(3)
.
【分析】（1）由正弦定理求得
的长，即可得
的长，由三角形面积公式即可求得答案.
（2）利用余弦定理即可求解；
（3）设
，利用余弦定理表示出
，即可得
的表达式，结合基本不等式确定其最
小值，即可求得答案.
【详解】（1）在
中，
，
，
故
，
，
由正弦定理得
，即
，
而
，
故
，故
，
故三角形手巾的面积为
；
（2）设
，则
，
则在
中，
，
在
中，
易知
，整理可得
，
解得
或
（舍）;
所以
.
（3）设
，则
，
则在
中，
，
在
中，
，
故
，
由于
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
，
即
取到最小值时，
，
即此时
.
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
31．（25-26 高三上·河南南阳·期中）在
中，若点P 满足
，则点P 称为
的
布洛卡点，角
为
的布洛卡角．已知角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点P 是
的布洛卡点．
(1)若△ABC 为正三角形，求
；
(2)已知
①求证：
；
②若
，
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析；②
.
【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方
程得到布洛卡角；
（2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等
式；
②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，
结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值.
【详解】（1）
为等边三角形．
因为
，所以
，
所以
，
在
中，
由正弦定理得，
，
在
中，由正弦定理得，
，
因为
为等边三角形，
，所以
，
又
，所以
，故
．
（2）①证明：因为
,所以
，所以
,
，即
；
因为
,所以
，所以
在
中，
，即
．
所以
，由正弦定理得：
．
因为
，所以
，即
．
②由
可得
．在
中，由余弦定理得，
.
因为
，所以
，所以
．
由三角形的面积公式可得：
，
所以
．
令
，则
，是关于x 的方程
的两个根，
所以
且
，解得
．
因为
且
，所以
，解得
又因为
，所以
．
，
对称轴
，所以当
时，
，
所以
．故
最大值为
.
32．（25-26 高三上·浙江台州·期中）（多选）在
中，斜边
为
中点，
的角平分线交
于点
，
与
交于点
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
为定值
【答案】ABD
【分析】对A 由角平分线可得
，再结合直角三角形中的边角关系可得；对B 先在
中
解直角三角形得
，再由角平分线的性质可得；对C 分别在
和
分别使用等面积法并化简可得；
对D 由BC 选项解析可得
，进而计算可得结果.
【详解】设
，则
，
A 选项，根据
为角平分线且
可得
，
化简得
，
而在
中，
，所以
，
将
代入得
，解得
，故A 正确．
B 选项，根据角平分线的性质：三角形内角平分线分对边所得的两条线段的比等于夹这个角两边的比.
因为
为角平分线，则在
中，
为
的角平分线，则有
，
根据
得
，所以
，
根据
，解得
，故B 正确．
C 选项，在
和
分别使用等面积法可得
，且
，
化简得
，两式相除可得
，
，即
，将
代入得
，故C 错误．
D 选项，根据C 选项可得
，
根据B 选项可得
，而
，
所以
，得证，故D 正确．
33．（2026·河北保定·二模）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
(1)求
的值;
(2)证明:
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可.
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
所以由
，或
，
由
，
由
，显然不成立，
所以
；
（2）由（1）可知：
，
所以
，因为
，
所以
，
，
由
，设
，
，
设
，
则
，令
，
因为
，所以解得
，
当
时，函数
，所以函数
在
上单调递增，
当
时，函数
，所以函数
在
上单调递减，
因为
，所以函数
在
时，值域为
，
即当
时，
，
于是当
时，
.
34．（25-26 高三上·吉林长春·阶段检测）已知直角
中，
，射线AD，AC 三等分
，分别交
BC 于点D、C，且
．
(1)若
，求
的值；
(2)求证：
；
(3)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由
，结合向量数量积运算律即可求解；
（2）由正弦定理可得
，
，利用三角恒等变换化简即可证明：
（3）由（2）可知
，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解.
【详解】（1）因为
，由题意可知
，
所以
；
（2）设
，在
中，
由正弦定理可得
，即
，
在
中，
，即
，
所以等式左边
，
等式右边
因为
，
所以
，
即
成立；
（3）由（2）可知
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
35．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求
的大小；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围；
(3)若
为边
上一点（不包含端点），且满足
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可；
（2）求得
，利用正弦定理求得
，最后利用面积公式求解即可；
（3）设
，则
，
，
，在
、
中，利用正弦定理可得
出
，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
又因为
所以
，所以
，
所以
（2）因为
，
所以
，
因为
为锐角三角形，
所以
，解得
，
所以
，所以
，
，所以
.
（3）设
，则
，
，
，
所以
，
在
中，
在
中，
，
作商得
，
设
，因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
所以
.
36．（25-26 高三上·天津西青·期中）在面积为S 的
中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，
，且
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
，求
的周长；
(3)若
为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理以及面积公式即可求解
得解，
（3）根据正弦定理得
，进而根据面积公式可得
，由三角恒等变换，化简可得
，即可根据三角函数的性质求解.
【详解】（1）若
，则
,
由正弦定理可得
，故
，
因此
,
.
（2）由（1）可得
，又
,故
，
因此
，故
，
因此周长为
（3）由于
，故
，
由正弦定理
可得
，
故
，
因为
，所以
，
所以
，
故
,
由于三角形为锐角三角形，故
,解得
，
因此
，故
，则
，
因此
.
37．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量
，
，设函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及其图象的对称中心；
(2)已知a，b，c 分别为钝角三角形
的内角A，B，C 对应的三边长，A 为锐角，
，
，且
，
求三角形
的面积.
【答案】(1)函数
的单调递增区间为
，图象的对称中心为
(2)
【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得
，再由正弦函数的单调
性与对称性，即可得解；
（2）根据正弦函数取值可得
，再利用余弦定理求出b 的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，
即可得解．
【详解】（1）
，
.
所以
.
由
，得
.
即
.
由
，
得
，即
.
所以函数
的单调递增区间为
.
令
，得
，
此时
，所以函数
的图象的对称中心为
.
综上所述，函数
的单调递增区间为
，图象的对称中心为
（2）由（1）知
，由
得
，
因为
为锐角，所以
，则
，
所以
，解得
.
由余弦定理得
，即
，整理得
，解得
或
.
当
时，
，
，此时
，由正弦定理得
，
即
，解得
，所以
或
，
若
，则
，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾;
若
，则
，此时三角形为钝角三角形，符合题意，
三角形面积
.
当
时，
，
，由余弦定理得
，
所以
，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去.
综上所述，三角形
的面积为
.
38．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段检测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C 的值.
(2)设
的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若
，
，求
的周长；
（ii）求
的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）30（ii）
【分析】（1）切化弦整理可得
，结合
分析判断可得
，即可得结果；
（2）（i）根据等面积法可得
，即
，再利用正、余弦定理可得
，即可得周
长；（ii）整理可得
，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得
，进而分
析最值.
【详解】（1）因为
，即
，
整理可得
，即
，
因为
，则
，
，
则
或
或
，
即
或
（舍去）或
（舍去），
且
，解得
.
（2）（ⅰ）由题意可知：
，
则
，可得
，
又因为
，则
，
由余弦定理可知
，
整理可得
，
可得
，解得
或
（舍去），
所以
的周长
；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：
，即
，
则
，
可得
，
且
，则
，可得
，
则
，所以
的最大值为
.
39．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角C；
(2)求
的取值范围；
(3)若
点为
边上的中点，
，求线段
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得
即可得答案；
（2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得
，再结合
的范围求解即
可；
（3）根据
得
，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）解：因为
，
所以，由正弦定理可得
，整理得
，
所以，由余弦定理可得
，
又因为
，所以
．
（2）解：由正弦定理，可得
，
因为
为锐角三角形，且
，
所以
，解得
，
所以
，
，
，
所以
，
所以
的取值范围是
．
（3）解：因为
点为
边上的中点，所以
，
所以
，
因为
，
，
所以，由余弦定理得
，
所以
，即
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以
，即线段
的最大值为
．
40．（2026 高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数
，将
图象上所有的点
向右平移
个单位长度，得到函数
的图像.
(1)求
在
上的值域；
(2)若锐角三角形
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数
，由
范围，求出
范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间
上的值域；
（2）由
求得
，由正弦定理求得
，根据题意列关于
的不等式，基于
的取值范围，从而得到
的取值范围.
【详解】（1）由题意可得
.
由题意可得
.
因为
，所以
.
当
，即
时，
取得最小值，最小值为
；
当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
故
在
上的值域为
.
（2）因为
，所以
，所以
.
因为
是锐角三角形，所以
，所以
，
则
，则
.
因为
，所以
，则
，
，
所以
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，所以
，所以
，
即
的取值范围是
.
1．（25-26 高三上·江苏镇江·期中）在
中，内角
，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边
长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
，求解即可.
【详解】
如图所示，在
中，内角
，作
于
，
要使满足条件的三角形有且仅有两个，则
，其中
，
即
，因此边
长的取值范围为
，故A 正确.
2．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将目标式化简为
，结合已知
代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标
式的最大值.
【详解】由余弦定理
，将
代入得
.
进而
.
的最小值为
，因此
的最大值为
.
令
，
.
， 当
时，
，
根据对勾函数的性质可得
，
故
的最大值为
，
即
的最大值为
.
3．（25-26 高三上·广东惠州·阶段检测）在锐角
中，角
、
、
所对应的边分别为
、
、.已知
，
，则
周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理，结合已知的边a 和角A、B 的关系，用角A 表示边b 和边c 的长度,因为三角形是锐角三角
形，所以确定角A 的取值范围；将
转化为关于角A 的三角函数表达式，利用三角恒等变换化简为单一三角函
数形式，再结合角A 的取值范围求值域，即可求得答案.
【详解】由正弦定理可得
，得
，
，又
，
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
则
，其中
，
所以
，所以
的周长
.
4．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
的外接圆半径
为
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦定理求解
，由正弦定理求解边长
，再由
化简，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
则由余弦定理得
，
因为
，则
，
设
的外接圆半径为
，则
，
由正弦定理
得，
，
则
即为
，
因为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
则
，
则
面积的最大值为
.
5．（25-26 高三上·山西晋中·期中）在
中，角
所对的边分别为
，且
．若点
为边
的中点，边
上的中线
的长为
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助余弦定理计算可得
，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得
，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得
面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得
，
由点
为边
的中点，则
，
故
，
即
，即
，
则
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
即
面积的最大值为
.
6．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
为
边
的中点，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，，由正弦定理得到
，再由余弦定理，求得
，求得
，取
的中点
，连接
，得到
，设
的外接圆的半径为，求得
，设
，
得到
，化简得到
，结合
，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
整理得到
，即
，
由于余弦定理，得
，
又因为
，可得
，
如图所示，取
的中点
，连接
，可得
，所以
，
设
的外接圆的半径为，可得
，
由正弦定理可得
，
所以
且
，
设
，则
则
，
因为
，可得
，所以
，
可得
，所以
，
所以
的取值范围是
.
故选：C.
7．（25-26 高三上·广东江门·期中）如图，在四边形
中，已知
，
，
，
，
，则
的长（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先在
中利用余弦定理求解
的长度，再结合垂直关系得到
中的已知角，最后利用正弦定
理求解
的长度即可.
【详解】在
中，
，
由余弦定理得
∴
整理得
，解得
或
（边长为正，舍去）.
∵
，∴
，
∴
.
在
中，
，
，
，
由正弦定理得
∴
.
8．（2026·四川成都·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，
是边
上一点，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理，结合
建立等量关系，联立方程求解即可.
【详解】如图，设
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
又
，则
，代入化简得
①，
在
中，由余弦定理可得
，
化简整理得
②，联立①②，解得
.
9．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）在
中，角
为锐角，
的面积为4，且
，
则
周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出
是直角三角形，利用基本不等式求得
周长的最
小值.
【详解】由
，得
，即
.
而
，
所以
，即
.
由于
为锐角，所以
，
，
所以
与
异号或
，
若
，即
，
又
，
，则
，
，
所以
，即
，此不等式组无解，所以
不成立.
同理可得
不成立.
所以
，
即
，所以
，
，即
为直角三角形.
由题意知，
，即
，所以
.
所以
的周长
，
当且仅当
时，等号成立.
所以
周长的最小值为
.
10．（2026·湖南株洲·模拟预测）（多选）设
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积可以是
D．
的周长可以是3
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理，将式子中的边化为角的正弦值，根据正弦的两角和公式化简，得到角C 的值，即可判断
A，B；利用基本不等式计算面积的范围，即可判断C 选项，利用余弦定理，综合基本不等式的变式，得到边c 的
范围，即可计算周长的范围．
【详解】由正弦定理可知：
，（
为
外接圆的半径），
则
；
因为
，代入可得：
，
则
，
由两角和的正弦公式可得：
，
因为
，故
，化简可得：
，
故
，因为
，故
，故B 正确；
通过题给条件无法判断A,故A 错误；
因为
，由基本不等式可知：
，
故
；
故
，
当且仅当
时，“=”成立，故C 正确；
由余弦定理可知：
；
因为
，故
，解得
；
因此周长：
，因为
，
因此周长可以为3，故D 正确．
11．（2026·江西南昌·三模）（多选）已知
内角
所对的边分别为
.则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
为钝角三角形.
B．若
，则
为等腰三角形
C．在锐角
中，不等式
恒成立
D．若
，则
的取值范围为
【答案】AD
【分析】利用余弦定理边化角判断A；由题设
，结合三角形内角性质判断B；利用正弦函数单调
性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D.
【详解】对于A，由
及余弦定理，得
，
为钝角，故
为钝角三角形，A 正
确；
对于B，由
中
，则
，故
或
，
所以
或
，均不能说明
为等腰三角形，B 错误；
对于C，在锐角
中
，则
，
所以
，即
，C 错误；
对于D，由
，
，得
，
，
，
由正弦定理得
，D 正确.
12．（25-26 高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）在
中，角
所对的边分别为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为4
C．
面积的最大值为3
D．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
【答案】AB
【详解】A 选项，由余弦定理：
，即
，故A 正确.
B 选项，由正弦定理
，所以
.
所以
，故B 正确.
C 选项，面积
，由
，得
，当且仅当
时等号成立，所以
，故C 错误.
D 选项，锐角三角形：
，
，得
，
，故D 错误.
13．（25-26 高三上·浙江·期中）在圆的内接四边形
中，已知
，
，
，则四边形
的
面积的最大值是__________.
【答案】
【分析】应用正余弦定理求得
、
外接圆的半径
，再由四边形
的面积最大，只需
的面积最大，结合
即可求.
【详解】由题设
，即
（负数舍去），
又
外接圆的半径
，
要使四边形
的面积最大，只需
的面积最大，
由
到
的距离
，则
中
边上的最大高为
，
所以最大
.
14．（2026·山东威海·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)如图，已知
为
外一点，
，
，
，求平面四边形
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)14
【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得
的值，进而可得结果；
（2）设
，通过余弦定理用
表示
，将四边形的面积
表示为关于
的函数，求出函
数的最大值即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
所以
，
可得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
．
（2）设
，平面四边形ABCD 的面积为S，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，
当
，即
时，平面四边形ABCD 面积的最大值为14．
15．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
，
.
(1)求角B；
(2)若
的面积为
，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理把边化角求解；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求解；
（3）把三角形的面积转化为角A 表示的函数，再三角函数的值域.
【详解】（1）由正弦定理得
，
由
及
，得
，
即
，
因为
，
所以
，
所以
，因为
,
，
所以
，所以
，
因为
，所以
；
（2）由余弦定理得
，即
，所以
.
又
的面积为
，所以
.
所以
，所以
；
（3）由（1）知
，
，则
，
所以
，
，所以
由
，得
，
所以
，所以
，所以
，
所以
面积的取值范围是
.
16．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求
的值；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
(3)若
，当
的周长最小时，求的值．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解；
（2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性
进行求解；
（3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解.
【详解】（1）
，由正弦定理可得
，
因为
，
所以代入可得
，
即
，
因为
，所以
，
化简可得
，即
，
解得
，因为
，所以
，
因此
，即
.
（2）由正弦定理可得
，即
，
所以
，
，
因为
，所以
，
代入可得
，
因为
为锐角三角形，
，
所以
，即
，解得
，
所以
，即
，
所以
，
即
的面积的取值范围为
．
（3）由余弦定理可得
，
因为
，代入可得
，化简可得
，
因此
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因此当
的周长最小时，的值为
．
17．（2026·四川成都·模拟预测）已知
，
，
．
(1)求函数
的解析式及最小正周期；
(2)设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
且
，求
周长的最大值．
【答案】(1)解析式为
；最小正周期为
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到
的解析式，进而得到最小正周
期；
（2）结合（1）及题意得到
的值，再根据余弦定理，均值不等式得到
取值范围，进而得到
周长的最
大值．
【详解】（1）由
，
，
则
，
所以
的最小正周期为
．
（2）由
，即
，即
，
又B 为
的内角，则
，则
，
所以
，解得
，
又
，由余弦定理有
，得
，即
，
由均值不等式有
，则
，
即
，即
，解得
，
当且仅当
时取等号，此时
为等边三角形，
所以
周长的最大值为
．
18．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）在锐角
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
.
(1)求
的大小；
(2)设
的角平分线
交
于点
.
①求
面积的取值范围
②求线段
长的取值范围.
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）借助数量积公式可得
，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即
可得解；
（2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用
表示出
面积，利用
的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出
，再借助①中所得即可得解.
【详解】（1）
，则
，
由正弦定理将边化为角可得
，
又
，
故
，
即
，又
，则
，
故
，又
，则
；
（2）①由正弦定理
，可得
，
则
，
由
，则
，故
，
则
，故
；
②由
，则
，
即
，则
，
即
，由（2）①知
，
故
，则
，故
，
故
.
