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5.5 “四心”与奔驰定理
知识点1 “四心”
三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1
三角形中线向量式：⃗AM = 1
2 (⃗AB+⃗AC )
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(
x A+ xB+ xC
3
, y A+ yB+ yC
3
).
3、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
①⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0 ②⃗PO = 1
3 (⃗PA +⃗PB+⃗PC)
③若⃗AP = λ(⃗AB+⃗AC)或⃗OP =⃗OA + λ(⃗AB+⃗AC)，λ∈[0,+ ∞)，则P一定经过三角形的重心
④若⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|sinB
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)或⃗OP=⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB|sinB
+⃗
AC
|⃗AC|sinC)，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角
形的重心
三角形的“垂心”
O
A
B
C
1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
1、⃗OA ∙⃗OB =⃗OB∙⃗OC =⃗OC ∙⃗OA
2、|⃗OA|
2+|⃗BC|
2=|⃗OB|
2+|⃗CA|
2=|⃗OC|
2+|⃗AB|
2
3、动点P满足⃗OP =⃗OA + λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的垂心
4、奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA :tanB:tanC，tanA ∙⃗OA +tanB∙⃗OB+tanC ∙⃗OC =⃗0.
三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）|⃗AB|⃗PC +|⃗BC|⃗PA +|⃗CA|⃗PB =⃗0（或a⃗PA +b⃗PB+c⃗PC =⃗0）其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、
AB的长，
（2）⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗AC
|⃗AC|)，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
1、|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|⟺⃗OA
2=⃗OB
2=⃗OC
2 2、(⃗OA +⃗OB)∙⃗AB =(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC =(⃗OA +⃗OC)∙⃗AC =0
3、动点P满足⃗OP=⃗OB+⃗OC
2
+ λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外
心.
4、若(⃗OA +⃗OB)∙⃗AB =(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC =(⃗OC +⃗OA)∙⃗CA =0，则O是∆ABC的外心
知识点2 奔驰定理
1．奔驰定理
奔驰定理：设
是
内一点，
,
,
的面积分别记作
,
,
则
.
奔驰定理推论：x∙⃗OA + y ∙⃗OB+ z∙⃗OC =⃗0，则
①S∆BOC:S∆COA:S△AOB=|x|:|y|:|z|
②
S∆BOC
S∆ABC
=|
x
x + y + z|，
S∆AOC
S∆ABC
=|
y
x + y + z|，
S∆AOB
S∆ABC
=|
z
x + y + z|.
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
O
A
B
C
A
S
C
S
B
S
(1)O 是△ABC 的重心：
.
(2)O 是△ABC 的垂
心
：
.
(3)O 是△ABC 的内心：
.
(4)O 是△ABC 的外心：
.
考点一 三角形的心的向量表示
考点二 根据向量关系判断三角形的心
考点三 已知心求参数
考点四 奔驰定理
考点一 三角形的心的向量表示
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，若动点P 满足
，
，则点P 的轨迹一定通过
的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
是
所在平面内的一点，
所对的边分别为
，若
，则
是
的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
3．（25-26 高三上·广东·期末）（多选）已知点
、
、
在
所在平面内，则（ ）
A．若
，则点
是
的外心
B．若
，则点
是
的重心
C．若
，则点
是
的内心
D．若
，则
是等腰三角形
4．（25-26 高三上·安徽宿州·期中）（多选）在
所在平面内有三点
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．满足
，则点
是
的外心
B．满足
，则点
是
的内心
C．满足
，则点
是
的垂心
D．满足
，且
，则
为等边三角形
5．（25-26 高三下·山西太原·阶段检测）在
中，
，
是
边上的两点，
是三角形的重心，且
．若
，则
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．（25-26 高三上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知在
中，
，
，
，点
为
所在平面内一点，则（ ）
A．若
为
的垂心，则
B．若
为
的重心，则
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
.
考点二 根据向量关系判断三角形的心
7．（2026·四川南充·三模）点
为
所在平面内一点，若
，则点
为
的（ ）
A．内心
B．重心
C．垂心
D．外心
8．（25-26 高三上·浙江温州·期中）（多选）已知
，则下列正确的是（ ）
A．若满足条件
，则
为
的重心
B．若满足条件
，则动点
经过
的内心
C．若满足条件
，则动点
经过
的外心
D．若满足条件
，则动点
经过
的垂心
9．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）设 O 为
所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若满足
，则 O 是
的垂心
B．若满足
，则 O 是
的外心
C．若满足
，则 P 的轨迹过
的内心
D．若满足
，则 P 是
的重心
10．（25-26 高三上·贵州黔南·阶段检测）（多选）已知O 为
内一点，且其中内角
的对边分别为
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则O 为
垂心
B．若
，则O 为
外心
C．若
，则O 为
内心
D．若
，则O 为
重心
11．（2026 高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有
和一点
，且满足关系式：
，则
为
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
12．（25-26 高一·全国·暑假作业）已知点
为
所在平面内一点，若
，则点
的轨迹
必通过
的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
考点三 已知心求参数
13．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在
中，
，
，P 为
内的一点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若P 为
的重心，则
B．若P 为
的内心，则
C．若P 为
的外心，则
D．若P 为
的垂心，则
14．（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
15．（25-26 高三上·安徽安庆·期中）（多选）在
中，
为
内一点，若
，则下列命题正确的是（ ）
A．若点
为
的重心，则
B．若点
为
的外心，则
C．若点
为
的垂心，则
D．若点
为
的内心，则
16．（25-26 高三上·吉林·期中）已知
为
所在平面内一点，并且满足
，过
的直线与
，
边分别交于
，
点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
17．（25-26 高一上·河北保定·期中）已知
外接圆圆心为
，
为
所在平面内一点，且
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三下·云南·阶段检测）已知O 为
的内心，角A 为锐角，
，若
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 奔驰定理
19．（25-26 高三上·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知
是
内一点，
的面积分别为
且
.若
是
的
垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·安徽芜湖·期中）（多选）点
在
所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若
，则动点
的轨迹一定通过
的重心
B．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
C．若
，则点
是
的内心
D．若点
满足
，
，
，则
21．（25-26 高三上·河南郑州·期中）（多选）
（或
）是
的一种向量表达．
同样，三角形还有其他向量表达：已知
是
内的一点，内角
的对边分别为
，则
，其中
分别是
的面积．下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
为
的外心，
，则
D．若点
是锐角
的垂心，且
，则
22．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）（多选）如图，
为
内任意一点，角
的对边分别为
．总有
优美等式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是
真命题的有（ ）
A．若
是
的重心，则有
B．若
成立，则
是
的内心
C．若
，则
D．若
是
的外心，
，则
23．（25-26 高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）如图，P 为
内任意一点，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c 总有优美等式
成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以
下正确的命题为（ ）
A．若P 是
的重心，则有
B．若
成立，则
是
的内心
C．若P 是
的外心，
，
，则
的最小值是
D．若
，则
24．（25-26 高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）三角形中的奔驰定理是指：
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．若
，则以下命
题正确的有（ ）
A．
B．
有可能是
的重心
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
为直角三角形
1．（25-26 高三上·上海·期中）O 是在
所在平面上一点，存在实数x、y、z 满足
，
，
，则点O 是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2．（25-26 高三上·山东淄博·阶段检测）已知
为
所在的平面内一点，则下列命题错误的是（ ）
A．若
为
的垂心，
，则
B．若
为平面内任意一点，
，则点
为
的重心
C．若
，
，则动点
的轨迹经过
的内心
D．若
为锐角
的外心，
且
，则
3．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期中）如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c
且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
4．（25-26 高三上·山西阳泉·期中）在
中，内角A，B，C 所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是
（ ）
A．点G 为
的重心，若
，则
B．若满足
，
，
的
有两解，则t 的取值范围为
C．若
则
是
的外心
D．若点O 为
内一点，且
，则
5．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）已知点P 是
的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·广西南宁·阶段检测）已知点
、
、
在
所在平面内，且
，
，
，则点
、
、
依次是
的（ ）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
7．（25-26 高三上·重庆渝北·期中）若点
是
所在平面上一点，且
，
是直线
上一
动点，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．8
D．9
8．（25-26 高三上·海南海口·阶段检测）已知
所在平面内的动点
满足
，且实数
，
形
成的向量
与
向量共线，则动点
的轨迹必经过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
9．（25-26 高二上·上海·期中）已知
，点
是平面
外一点，点
是点
在平面
上的射
影，直线PA，PB，PC 与平面ABC 所成的角相等，则
是
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
10．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是
所在平面内的一定点，平面内动点
满足
，则动点
的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
11．（25-26 高三上·上海青浦·期末）已知
为
所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若
，则
为
内心
②若
，则
为等腰三角形
③若
，则
为
的外心
④若
，则点
的轨迹一定经过
的重心
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（25-26 高三上·河南南阳·阶段检测）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定
理对应的图形与“奔驰”轿车（
）的
很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O
是
内一点，
的面积分别为
则
.设O 是
内的一
点，则以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则O 为
的重心
C．若
，且
，则
D．若
为
的内心，
，则
13．（25-26 高三上·浙江·期中）（多选）已知点
为
的外心，点
为
所在平面内一点，则下列结论
一定成立的有（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则点
为
的重心
D．若
，则点
为
的垂心
14．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）（多选）点
是
所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
，则点
为
的垂心
C．在
中，向量
与
满足
，且
，则
为等边三角形
D．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
15．（2026·山东济宁·二模）
是
的重心，过点
且不过
顶点的直线分别交边
，
于点
，
，记
和
的面积分别为
，
，则
的最小值是________.
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知
为
的重心，过
的直线分别与边
交于点
，则
的最
小值为_____．
17．（25-26 高三上·上海·期中）在
中，
为
内的一点．若
为
的重心，
且
，则
__________．
18．（2026 高三·全国·专题练习）已知点
在
内，且是
的垂心，若
，则
____．
19．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知点
均在
所在平面内，以下所有正确说法的序号是______．
①若动点
满足
，则点
为
的重心；
②若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的内心；
③若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的重心；
④若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的垂心．
20．（25-26 高三上·北京东城·阶段检测）在三角形
中，点
是三角形
所在平面内一点，
的三个
内角
的对边分别是
，则下列给出的命题：
①若
，则点
是三角形
的垂心；
②若向量
，则点
的轨迹通过
的重心；
③若
，则点
是三角形
的内心；
④若
，则点
是三角形
的内心．
其中正确的命题是：___________
填写正确结论的编号
