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4.7 正弦定理、余弦定理
5 大考点汇总
考点01 正余弦定理解三角形
考点02 利用正余弦定理边角互化
考点03 三角形的面积问题
考点04 判断三角函数解的个数
考点05 判断三角形的形状
考点06 正、余弦定理的实际应用
题型专练
考点01 正余弦定理解三角形
1．在△ABC中，BC = 4，
，
，则
__________．
2．已知
，
，分别为△ABC三个内角
，
，
所对的边，若
，
，c = ❑√2，则
（ ）
A．45°
B．30°
C．45°或
D．
3．在△ABC中，已知
，
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．❑√2
D．❑√3
4．△ABC中，
，则c =__，△ABC外接圆半径为__．
5．在
中，
分别为角
所对的边，若
，
，
，则cos A =____________．
6．如图，在四边形
中，已知
，AD =10，AB =14，
，∠BCD =135°，则
的长（ ）
A．
B．14 ❑√2
C．8 ❑√3
D．
考点02 利用正余弦定理边角互化
7．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c−2bcos(B+C )=0．证明：
sin
2 A =sin
2B+2sin
2C.
8．已知△ABC的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且满足ccosB+bcosC =2acosC，则△ABC
中角
的大小为____________．
9．记△ABC的内角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．2❑√3
C．❑√13
D．❑√15
10．△ABC的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若a=10，
且
，则c =（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17
11．在△ABC中，角
所对边分别为
，
，则
__________．
12．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知
．若
，则
____________；若
，则
____________．
考点03 三角形的面积问题
13．在△ABC中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，面积为S，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
14．在△ABC中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．9
40
B．
C．
D．
15．在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
的面积为5 ❑√3，则
的周
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．在△ABC中，
，外接圆半径为2❑√3
3
，且
，则△ABC的面积是________
17．在△ABC中，角
、
、
的对边分别为
、
、，△ABC的面积记为S，且
，
则
=（ ）
A．π
6
B．
C．
D．
18．已知
分别为△ABC三个内角
的对边，且
(1)求
；
(2)若a=2，且△ABC 的面积为
，求
.
考点04 判断三角函数解的个数
19．在△ABC中，角
，
，
的对边分别为
，
，，其内切圆半径为r，半周长为．已知
，
b+c =6，r =
❑√3
2 ．
(1)求
；
(2)求
和△ABC的面积．
20．在△ABC中，角
，
，
的对边分别为
，
，，S为△ABC的面积，若
，
则A =（ ）
A．π
6
B．
C．π
2
D．
21．（多选）在△ABC中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，不解三角形，确定下列判断错误的
是（ ）
A．
，c = 4，b=5，有两解
B．
，c = 4，
，有一解
C．
，c = 4，
，有一解
D．
，c = 4，
，无解
22．在△ABC中，角
，
，
的对边分别为
，
，，a=15，b=18，
，则此三角形解的个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
23．在
中，
，
，若满足上述条件的
恰有一解，则边长
的取值范围为______．
24．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足a=9，
的△ABC有两解，则b 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点05 判断三角形的形状
25．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则△ABC解的个数为
________．
26．在△ABC中，内角
所对的边为
，下列结论中错误的是（ ）
A．若
，则
B．
，则△ABC为等腰三角形
C．若
，
，
，则符合条件的三角形有两个
D．若△ABC的面积为
，则A =π
3
27．在△ABC中，角A ，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
28．已知△ABC的内角
，
，
的对边分别为
，
，且
，
，则
△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
29．在△ABC中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
30．（多选）（多选题）在△ABC中，已知
，则△ABC的形状可能是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
31．在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，若
，则△ABC的形状是
（ ）
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
32．（多选）在△ABC中，下列命题正确的（ ）
A．若
，则△ABC是等腰三角形
B．若A >B，则
C．若
，则△ABC为钝角三角形
D．若
，则△ABC为等腰三角形
考点06 正、余弦定理的实际应用
33．为了测量河对岸一座塔的高度
，测量员在河岸这边选取了两个观测点
和
，已知
，
两点的距
离为
米，且点
，
，
在同一水平面上，在点
处测得塔顶
的仰角为30°，
，
，则塔的高度
为（ ）
A．
米
B．50(❑√2+1)米
C．100(❑√3−1)米
D．100(❑√6−❑√2)米
34．位于某小岛
的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于
小岛
北偏东
且与该小岛相距10 海里的
处，并正以20 海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设
该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇．
(1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？
(2)若经过1 小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？
(3)假设快艇的最高航行速度只能达到10 ❑√3海里／时，试问快艇能否在1 个小时内（包括一个小时）完成送
货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小．
35．如图，
，
是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于
点北偏东
、
点北
偏西
的
点有一艘船发出求救信号，位于
点南偏西
且与
点相距4 ❑√3海里的
点的救援船立即前
往营救，其航行速度为30 海里/小时，则该救援船到达
点最快所需时间为（ ）
A．
小时
B．
小时
C．0.5小时
D．1 小时
36．位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角
高程测量法的示意图，现有A，B，C 三点，且A，B，C 在同一水平面的投影A1，
，C1满足
，
，在点C 处测得点B 的仰角为15°，B B1与C C1的高度差为30m，在点B 处测得点A 的仰角为
45°，则A，B 两点到水平面
的高度差
约为（ ）（❑√3≈1.732）
A．69m
B．72m
C．79m
D．82m
37．如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(❑√3−1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°
方向，距A 处2 海里的C 处的我方缉私船奉命以10 ❑√3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10 海
里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所
需时间．
38．小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2 米的垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为
、
，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其
中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45 米.则斜面的底
角
________.（结果用角度制表示，精确到0.01°）
