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4.8 三角形中的中线、角平分线及其有关的范围(最值)问题
6 大考点汇总
考点01 三角形的中线问题
考点02 三角形的角平分线问题
考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围
考点04 求三角形面积的最值或范围
考点05 几何图形中的计算
考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
题型专练
考点01 三角形的中线问题
1．已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，
(1)求角A；
(2)若a=2，
的面积为❑√3，求b，c；
(3)若a= ❑√3，且
为锐角三角形，D 为BC 的中点，求中线AD 的取值范围．
2．在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
且c =2.
(1)求角C 的大小；
(2)求b 的取值范围；
(3)边AB 的中点为D，求中线CD 的长度的取值范围.
3．在
中，AB =5，
，AC =7，D 为BC 的中点，则中线
______．
4．（多选）若
的内角A，B，C对边分别是
，
，，
，且
，
则（ ）
A．
外接圆的半径为❑√3
B．
的周长的最小值为3+2❑√3
C．
的面积的最大值为
D．边
的中线
的最小值为❑√3
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
，
，，A为钝角，且
，
．
(1)证明：
．
(2)求A．
(3)若△ABC的中线
，求△ABC的面积．
6．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)证明：
；
(2)求C；
(3)若
，边
上的中线
，求边a，b 的长.
考点02 三角形的角平分线问题
7．在锐角三角形
中，角
的对边分别为
，若
，
.
(1)求角A的大小；
(2)求边
的值；
(3)角A的角平分线
与边
交于点
，求角平分线
长度的取值范围.
8．在
中，角
所对的边分别是
，且
.
(1)求角B的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围；
(3)若角B的角平分线交
于
点，求
长度的最大值.
9．在
中，角
的对边分别为
，已知c =2，
．
(1)若
为锐角三角形，求其周长的取值范围；
(2)若角C的角平分线交
于
，满足
，求
的长．
10．在
中，设角
所对的边分别为
，已知a= ❑√3且
.
(1)求角A；
(2)若
，求边
上的角平分线
的长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
11．在
中，角
的对边分别为
，且
(1)求A；
(2)若
，点
在
外，
，求四边形
面积的最大值；
(3)若A为钝角，A的角平分线交
于点
，求
面积的最小值.
12．已知
的内角
的对边为
，且
.
(1)求角A；
(2)若
的面积为4 ❑√3，
为
的中点，且
，
，求
中线
的长及内角A的角平分
线
的长.
考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围
13．
的内角A，B，C的对边分别为
，
，，已知a(sin
2 A −sin
2C)=b(sin
2B−) sin
2C)，
．
(1)求角C；
(2)若
，
的面积为
，求
的值；
(3)若
，求
周长的取值范围．
14．已知
的内角A ，B ，C 的对边分别为
，
， ，且
，sin A = 1
2 tanC
(1)求角C ；
(2)若
，求△ABC 的周长．
15．已知
分别为
三个内角
的对边，且
(1)求角C；
(2)已知
，
为锐角三角形，求
的取值范围．
16．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2csin(A +π
3 )= ❑√3b ．
(1)求C．
(2)c =2❑√3．
（ⅰ）若
的周长为4+2❑√3，角C 的平分线交
于点D，求
的长；
（ⅱ）若
为锐角三角形，⃗AE =⃗EB，求
的取值范围．
17．已知
的内角
所对的边分别为
，且
，
．
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求
的周长；
(3)求
的取值范围．
18．在
中，AB =1，D 为BC 边上一点，且
．若AD 为
的平分线，且
为锐角三
角形，则边AC 的取值范围______．
考点04 求三角形面积的最值或范围
19．已知
的内角
的对边分别为
，且a
2+b
2−ab=c
2．
(1)求C．
(2)若
，且
边上的中线长为
，求
的面积．
(3)若角C的平分线长为❑√3，求
的面积的最小值．
20．已知
，
，分别为
三个内角A，B，C的对边，满足
．
(1)求A，
(2)若a=2，且
的面积为❑√3，求
的周长；
(3)若
是锐角三角形，且a=2，求
面积
的取值范围．
21．上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图
，设想在其中规划出三个功能区：
为露营区，△PAB为垂钓区，
为活动区．已知
为直角三角形，
，
，
，P为
内一点，且
．
(1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知
，求
的大小；
(2)求露营区面积的最大值．
22．已知锐角三角形
的内角A，B，C对应的边分别为
，
，，且满足
.
(1)求角A；
(2)若c =1，求
面积的取值范围；
23．在
中，内角
的对边分别是
，若c =2，
，则
的面
积最大值为___________．
24．在
中，内角
的对边分别为
．
(1)求C．
(2)当c =6时．
（i）求
周长的取值范围；
（ii）求
面积的最大值．
考点05 几何图形中的计算
25．如图，在凸四边形
中，AB =1，
，
，AC =CD，当
变化时，对角线
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．如图，在
中，AB =2，
，点
在线段
上．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，
的面积为
，求
的值．
27．如图，在四边形
中，
，∠BAC =∠DAC，
．再从条件①，条件②这
两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求
的值；
(2)求∠ADC的大小．
①
面积
；
②
．
28．如图，在
中，
，
，D、E 为为BC 上的点．若
，则
______．
29．如图，在
中，AC =1，D，E 为线段
上两点，且
平分
，AE⊥BC（
在
的左
侧）.
(1)若
，
，求△ADE的面积；
(2)若AB =2❑√3，
，求tan B的值.
30．在平面四边形
中，已知AC =2❑√7，
，
.
(1)求∠ADC；
(2)若AD⊥AB，BC ⊥CD，求
.
考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
31．已知向量
，
，设函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及其图象的对称中心；
(2)已知a，b，c 分别为钝角三角形
的内角A，B，C 对应的三边长，A 为锐角，
，
，且
，求三角形
的面积.
32．已知函数
(1)求单调递增区间：
(2)在
中
的对边分别为
，求
的值和
的面积.
33．已知函数
，x∈R.
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)在
中，角A，B，C所对的边分别为
，
，.若
，
，
，求
的
长.
34．锐角
中，满足
分别是
的对边.
(1)若
，求边c 的长；
(2)求
的取值范围.
35．已知函数
，其中
.
(1)若
，求f ( x)图象的对称中心；
(2)记f ( x)的最小正周期为T，将f ( x)的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，若
在区间
上单调递增，求ω的取值范围；
(3)已知
为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，求
的取值范围.
36．在
中，内角A，B，C的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若
，
的面积为3 ❑√3，求
的周长；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
