文档文本内容
4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
4 大考点汇总
考点01 两角和、差公式直接应用
考点02 两角和、差公式的逆用
考点03 倍角公式
考点04 利用和、差、倍角公式化简、求值
题型专练
考点01 两角和、差公式直接应用
1．已知
是第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式得出
的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为
是第二象限角，且
，
所以
，
故
.
2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
.
3．若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的关系，可得
的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案.
【详解】由
，
，得
，
所以
.
4．已知
均为锐角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
,
而
故选：B.
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．-3
【答案】A
【详解】由
，得
，所以
，
所以
，所以
，解得
.
6．若
，则
__________.
【答案】-3
【详解】由
，
则
.
7．已知
为第二象限角，
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
为第二象限角，由
可得
，
所以
，则
.
8．已知
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出
，再代入两角差的正弦公式即可；
（2）先求出
，再代入二倍角的正切公式即可；
【详解】（1）因为
，
，所以
，所以
.
（2）由（1）得
，所以
，因此
.
考点02 两角和、差公式的逆用
9．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解.
【详解】由题意得：
.
10．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
11．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式，正弦二倍角公式化简求值即可.
【详解】原式
．
12．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断.
【详解】
，
，
由
，
则
，
故
，
显然
，即
．
13．
的值为______．
【答案】
/
【分析】利用诱导公式统一角度，再根据余弦的两角和公式进行计算．
【详解】
14．
______；
【答案】
/
【分析】借助诱导公式与两角差的余弦公式计算即可得.
【详解】
，
，
故
.
15．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】由于
，代入
，且
，
得
，解得
，故B 正确.
16．
_____.
【答案】
【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.
【详解】
，
，
，
所以
，
所以
.
考点03 倍角公式
17．已知
，则
______.
【答案】
【详解】因
，
则
.
18．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
19．已知
为钝角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】 由二倍角公式
，代入
得
，
整理得
. 已知
为钝角，则
.
因此
.
20．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正切的二倍角公式求解即可.
【详解】
21．若
，且
，则
______．
【答案】
【分析】用换元法，设
，化简方程求出
，进而得出
的正余弦值，化简
即可．
【详解】由题意，
，设
，即
，
，
，
即
，
，
，
，得
，则有
，
由
，可知
，
，
，
，
．
22．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知
．
23．
，则
__________.
【答案】
【分析】根据题意，利用诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由
，则
.
24．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
.
考点04 利用和、差、倍角公式化简、求值
25．已知角
，
，且
，
，则
_____．
【答案】
【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出
，再利用两角和差的正余弦公式可求出
，最后利用两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】角
，
，
，而
，
若
，则
，则与
矛盾，
故
，则可得
；
又
，即
，
则
，
结合
，可得
，
故
，
故
.
26．在
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据
及
求出
，同理求出
，利
用
即可求出答案.
【详解】
，
因为
，所以
，
易知
均不为
，所以
，
，
因为
，所以
，
即
，
所以
.
27．（多选）下列各式中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】A.
，所以
，A 正确.
B.
，B 错误.
C.
，C 正确.
D.
.
因为
，
所以原式
，D 错误.
28．（多选）下列代数式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数
式的值，判断是否等于
.
【详解】选项A：由二倍角余弦公式
，
得
，A 错误.
选项B：由二倍角正弦公式
，
得
，B 正确.
选项C：由同角三角函数关系
，
代入得
，C 正确.
选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：
，D 错误.
29．已知
，若
，
，则
_____．
【答案】
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
又
，
．
30．若
，
，
，则
_______.
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，结合角的范围计算即得.
【详解】由
，可得
，又
，
则
，
又由
，且
，
则
，
所以
．
31．若
，
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
，则
，
而
，
，
则
，
，
所以
.
32．已知
，
，
，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的数量积及两角差的余弦公式可得
，由
及两
角差的正弦公式，可得
，从而得
，由同角的平方关系求解即可；
（2）结合（1）可求得
，
，由两角和的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由题知
，
由
，结合已知
，
可得
，
所以
，
又
，所以有
．
所以
，
则
．
（2）由（1）知
，
所以有
，
由（1）可知
,
所以
，
所以
．
又因为
，
所以
．
所以
．
