第11 讲 函数的图像 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
A
C
C
B
C
6
7
8
9
10
C
A
A
ABD
ACD
11
12
13
14
15
BCD
e
t ≤9
4
5
a>0,b=0,c<0
16
17
18
19
（1）
f ( x)=
1
- x
2+6 x -8
（2）- 1
3
4
（1）x =1和
x =k + 1
2 (k ∈Z )
（2）见解析
（1）无解
（2）{1
3 ,3}
1.（2026·栖霞联盟·一模）函数f ( x)= x
3-3 x
cos x +2的部分图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为f (- x)= (- x)
3-3(- x)
cos(- x)+2 =- x
3-3 x
cos x +2 =- f ( x)，所以f ( x)的图象关于原点中心对称，
所以 CD 错误.
当0< x<❑√3时，f ( x)<0，所以 B 错误.
【点拨】判断函数图象，通常从奇偶性、单调性、特殊点、函数值符号等方面入手.
2.（2024·山东烟台·二模）函数y = x(sin x -sin 2 x)的部分图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由y = f ( x)= x(sin x -sin 2 x)，得
f (- x)=- x[sin(- x)-sin(-2 x)]=- x(-sin x +sin 2 x)= f ( x)，所以f ( x)为偶函数，故排除 BD.
当x = π
2 时，y = f(
π
2)= π
2(sin π
2 -sin π)= π
2 >0，排除 A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，利用函数的奇偶性以及特殊点的函数值符号进行排除是常用
的方法.
3.（2025·青桐鸣·5 月联考）定义域为R的偶函数y = f ( x)满足f ( x -2)+ f ( x)+1=0，则（
）
A. f （2）=0
B. f （6）=1
C. f （9）=- 1
2
D. f （11）= 1
2
【答案】C
【解析】依题意，f ( x)是偶函数，且f ( x -2)+ f ( x)+1=0，
令x =1，得f (-1)+ f （1）+1= f (-1)+ f （1）+1=2f （1）+1=0，解得f （1）=- 1
2.
令x =0，得f (-2)+ f （0）+1= f （2）+ f （0）+1=0，令x =3，得
f （1）+ f （3）+1=- 1
2 + f （3）+1=0,f （3）=- 1
2，
以- x替换x，得f (- x -2)+ f (- x)+1= f ( x +2)+ f ( x)+1=0，
结合f ( x -2)+ f ( x)+1=0，可知f ( x +2)= f ( x -2)，
所以f ( x + 4)= f ( x)，所以f ( x)是周期为4的偶函数，
所以f （9）= f (2×4+1)= f （1）=- 1
2，C 选项正确.
f （11）= f (3×4 -1)= f (-1)= f （1）=- 1
2，D 选项错误.
构造函数f ( x)= A cos π
2 x - 1
2 ( A ∈R)，
此时f (- x)= A cos(- π
2 x)- 1
2 = A cos π
2 x - 1
2 = f ( x)，f ( x)是偶函数，
f ( x -2)+ f ( x)+1= A cos[
π
2 ( x -2)]- 1
2 + A cos π
2 x - 1
2 +1= A cos(
π
2 x - π)+ A cos π
2 x =- A cos π
2 x + A cos π
2 x
所以f ( x)= A cos π
2 x - 1
2 ( A ∈R)符合题意.
f （6）= f (4+2)= f （2）= A cos π - 1
2 =- A - 1
2，与A的值有关，AB 选项错误.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与周期性，通过赋值法求出特殊点的函数值，并利用递推关
系求出周期是解题关键.
4.（2024·贵州遵义·模拟）已知函数f ( x)在[- 4 ,4 ]上的大致图象如下所示，则f ( x)的解析
式可能为（ ）
A. f ( x)=
3| x|⋅(1+cos πx
4 )
2
B.
f ( x)=| x|⋅(16- x
2)
10
C. f ( x)=| x|⋅(4 -| x|)
D. f ( x)=| x|⋅sin πx
4
【答案】B
【解析】函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项 D 中函数满足
f (- x)=|- x|sin(
- πx
4 )=-| x|sin πx
4 =- f ( x)，为奇函数，排除 D；
又选项 C 中函数满足f （2）= 4，与图象不符，排除 C；
选项 A 中函数满足f （2）=
3×2×(1+cos 2×π
4 )
2
=3，与图象不符，排除 A，
只有 B 可选.
【点拨】根据函数图象的对称性判断奇偶性，再结合特殊点的函数值排除错误选项.
5.在同一直角坐标系中，函数y = loga(- x)，y = a-1
x
(a>0)，且a≠1的图象可能是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为函数y = loga(- x)的图象与函数y = loga x的图象关于y轴对称，
所以函数y = loga(- x)的图象恒过定点(-1,0)，故选项 A、B 错误；
当a>1时，函数y = loga x在(0,+ ∞)上单调递增，所以函数y = loga(- x)在(-∞,0)上单调递减，
又y = a-1
x
(a>1)在(-∞,0)和(0,+ ∞)上单调递减，故选项 D 错误，选项 C 正确.
【点拨】本题考查对数函数与反比例函数的图象与性质，需分类讨论底数a与1的大小关系.
6.列车从A 地出发直达500km 外的B 地，途中要经过离A 地300km 的C 地，假设列车匀
速前进，5h 后从A 地到达B 地，则列车与C 地距离y(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的
函数图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题可知列车的运行速度为500
5 =100km/h，
∴列车到达C 地的时间为300
100 =3h，
故当t =3时，y =0.
【点拨】根据实际物理情境，列车到达C 地时距离为0，且匀速运动对应一次函数图象（绝对值函
数）.
7.已知图1 对应的函数为y = f ( x)，则图2 对应的函数是（ ）
A. y = f (-| x|)
B. y = f (- x)
C. y = f (| x|)
D. y =- f (- x)
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当x ≤0时，所求函数图象与已知函数相同，
当x>0时，所求函数图象与x<0时图象关于y轴对称，
即所求函数为偶函数且x ≤0时与y = f ( x)相同，故 BD 不符合要求，
当x ≤0时，y = f (-| x|)= f ( x)，y = f (| x|)= f (- x)，故 A 正确，C 错误.
【点拨】本题考查函数图象的翻折变换，注意f (-| x|)与f (| x|)图象的生成规律.
8.（2026·湖南湘潭·二模）已知函数f ( x)=
❑√1- x
2+1
x +2
的值域是[a,b]，则b-a=（ ）
A. 1
B. 2
3
C. 8
3
D. 2
【答案】A
【解析】因为1- x
2≥0，且x +2≠0，所以函数f ( x)=
❑√1- x
2+1
x +2
的定义域为x∈[-1,1].
设A( x ,
❑√1- x
2)，B(-2,-1)，则f ( x)是直线AB的斜率.
点A是半圆x
2+ y
2=1( y ≥0)上的动点.
如图，设点P(1,0)，则k PB= 1
3.
设切线BQ的方程为y +1=k( x +2)，即kx - y +2k -1=0.
由圆心O(0,0)到切线BQ的距离d =|2k -1|
❑√k
2+1
=1，解得k =0（舍去）或k = 4
3 .
由图可知k AB∈[
1
3 , 4
3]，即f ( x)的值域为[
1
3 , 4
3]，
则b-a= 4
3 - 1
3 =1.
【点拨】将函数解析式转化为两点连线的斜率，利用数形结合思想求解值域.
9.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）函数f ( x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|< π
2)的部分图
象如图所示，则（ ）
A. ω=2
B. f ( x)的图象关于(
5
6 π ,0)中心对称
C. f ( x)在(
3
2 π ,2π)内单调递增
D. f ( x)的图象可由y =2sin2 x的图象向左平移π
6 个单位长度得到
【答案】ABD
【解析】由图可知，A =2，则f ( x)=2sin(ωx +φ)，
则f （0）=2sin φ = ❑√3，所以sin φ =
❑√3
2 ，
又|φ|< π
2 ，所以φ= π
3 ，
所以f ( x)=2sin(ωx + π
3)，
由f(- π
6)=2sin(- π
6 ω+ π
3)=0，得sin(- π
6 ω+ π
3)=0，
结合图象知，- π
6 ω+ π
3 =2kπ ,k ∈Z，所以ω=2+12k ,k ∈Z，
由图可知，T
4 >0-(- π
6)，即π
2ω > π
6 ，所以0<ω<3，
所以ω=2，所以f ( x)=2sin(2 x + π
3)，故 A 正确；
对于 B，因为f(
5 π
6 )=2sin(
5 π
3 + π
3)=0，
所以f ( x)的图象关于(
5
6 π ,0)中心对称，故 B 正确；
对于 C，x∈(
3
2 π ,2π)，所以2 x + π
3 ∈(
2π
3 + 4 π , π
3 + 4 π)，
所以f ( x)在(
3
2 π ,2π)上不单调，故 C 错误；
对于 D，将函数y =2sin 2 x的图象向左平移π
6 个单位长度得
y =2sin[2(x + π
6)]=2sin(2 x + π
3)= f ( x)，故 D 正确.
【点拨】由图象求三角函数解析式，注意利用特殊点求φ和ω，再结合三角函数性质逐项判断.
10.（2026·山东东营·一模）（多选）已知曲线C : x
2+ y
2=| x|+| y |，点P(a,b)在曲线C上，
则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C有4 条对称轴
B. |a+b+3|的最小值是❑√2
C. 曲线C围成的图形面积为π +2
D. b
a-2的最大值是1
【答案】ACD
【解析】由x
2+ y
2=| x|+| y |可得(| x|- 1
2)
2
+(| y |- 1
2)
2
= 1
2，所以曲线C的图象由四个分别在
四个象限的半圆组成.
A 选项：由于方程中x , y均带有绝对值且地位对称，所以曲线关于x轴、y轴、直线y = x、直线
y =- x对称，共有4 条对称轴，A 正确；
B 选项：|a+b+3|表示点P(a,b)到直线x + y +3=0的距离的❑√2倍，由于曲线C在第三象限的部
分是圆心为(- 1
2 ,- 1
2)，半径为
❑√2
2 的半圆，圆心到直线x + y +3=0的距离为d =|- 1
2 - 1
2 +3|
❑√2
= ❑√2，
所以点P到直线的最小距离为
❑√2-
❑√2
2 =
❑√2
2 ，所以|a+b+3|的最小值为
❑√2×
❑√2
2 =1，B 错误；
C 选项：曲线C围成的图形面积为四个半圆面积加上中间的正方形面积，即
4× 1
2 ×π ×(
❑√2
2 )
2
+(❑√2)
2= π +2，C 正确；
D 选项：b
a-2表示点P(a,b)与点(2,0)连线的斜率，由于曲线C在第一象限的部分是圆心为
(
1
2 , 1
2)，半径为
❑√2
2 的半圆，设过点(2,0)的切线方程为y =k( x -2)，即kx - y -2k =0，圆心到切
线的距离d =|
1
2 k - 1
2 -2k|
❑√k
2+1
=
❑√2
2
，解得k =1或k =- 1
7，结合图象可知最大值为1，D 正确.
【点拨】本题考查曲线方程与几何图形的对应关系，利用绝对值的对称性画出图形，结合几何意
义求解最值问题.
11.（2025·河北沧州·二模）（多选）已知函数y = f ( x)的图象与函数y =- ln(- x)的图象关
于直线y =- x对称，则（ ）
A. f ( x)-e
x≤0
B. f ( x)≥x +1
C. (1- x)f ( x)≤1
D. f ( x)- ln x>2
【答案】BCD
【解析】设( x0, y0)为函数y =- ln(- x)的图象上任意一点，则y0=- ln(- x0).
设( x0, y0)关于直线y =- x的对称点为( x , y)，则{
x0=- y
y0=- x，则- x =- ln y，所以y =e
x，即f ( x)=e
x.
易知e
x≥e x ,e
x≥x +1，即f ( x)-e x ≥0,f ( x)≥x +1，所以 A 选项不正确，B 选项正确；
则e
- x≥- x +1,e
x e
- x≥(- x +1)e
x，即(1- x)f ( x)≤1成立，所以 C 选项正确；
又e
x≥x +1，当x =0时等号成立，ln x ≤x -1，当x =1时等号成立，
则e
x - ln x ≥( x +1)-( x -1)=2（等号不能同时成立），所以e
x- ln x>2，即f ( x)- ln x>2，所以
D 选项正确.
【点拨】求出对称函数的解析式是解题的基础，再利用导数或经典不等式e
x≥x +1和ln x ≤x -1进
行放缩证明.
12.若关于x的方程e
x =a| x|恰有两个不同的实数解，则实数a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】e
【解析】显然a>0.
当x ≤0时，由单调性得，方程e
x=-ax有且仅有一解.
因此当x>0时，方程e
x =ax也恰有一解.
即y =ax为函数y =e
x的切线，
y
' =e
x，
令y
' =a得x = ln a，
故当x = ln a时，e
x=ax，
得e
ln a=aln a，即a=a ln a
从而a=e.
【点拨】将方程根的个数问题转化为函数图象的交点问题，结合切线条件求解参数.
13.定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +1)=2f ( x)，且当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|.若对
任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，则t的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】t ≤9
4
【解析】因为当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|，所以f ( x)={
2 x ,
x∈(0, 1
2]
2-2 x ,
x∈(
1
2 ,1]
，
因为f ( x +1)=2f ( x)，当x∈(1,2]时，即x -1∈(0,1]时，
由f ( x)=2f ( x -1)，所以f ( x)={
4 x - 4 ,
x∈(1, 3
2]
8- 4 x ,
x∈(
3
2 ,2]
，
同理可得f ( x)={
8 x -16,
x∈(2, 5
2]
24 -8 x ,
x∈(
5
2 ,3]
，
依此类推，作出函数f ( x)的图象，
由图象知：当2≤x ≤5
2时，令f ( x)=2，则8 x -16=2⇒x = 9
4 ，
对任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，则t ≤9
4 ，
故t的取值范围为t ≤9
4 .
【点拨】利用递推关系求出函数在各区间上的解析式，画出图象，数形结合求解不等式恒成立问
题.
14.若函数f ( x)={
2+ ln x ,
x>0
x ,
x ≤0，g( x)= f ( x)+ f (- x)，则函数g( x)的零点个数为＿＿＿＿
＿＿.
【答案】5
【解析】令g( x)=0，则有f ( x)+ f (- x)=0，
所以f ( x)=- f (- x)，
当x>0时，则有2+ ln x =-(- x)= x，
即ln x = x -2，
在同一坐标系中作出y = ln x与y = x -2的图象，
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当x>0时，g( x)有2个零点；
当x<0时，则有x =-[2+ ln(- x)]=- ln(- x)-2，
即ln(- x)=- x -2，
在同一坐标系中作出y = ln(- x)与y =- x -2的图象，
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当x<0时，g( x)有2个零点；
当x =0时，f ( x)= f (- x)=0，
此时g( x)= f ( x)+ f (- x)=0，有1个零点为x =0，
综上所述，g( x)共有5个零点.
【点拨】将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，分类讨论x的符号，结合对数函数与一
次函数的图象交点个数进行判断.
15.（13 分）已知函数f ( x)=
3+cos x
a x
2-bx +c 的图象如图所示.判断实数a,b,c的符号或值，并说
明理由.
【答案】a>0,b=0,c<0
【解析】由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，............................................2 分
所以f (- x)=
3+cos x
a x
2+bx +c
= f ( x)得：b=0；........................................................................................4 分
由图象可知f （0）= 4
c <0⇒c<0；...................................................................................................8 分
因为定义域不连续，所以a x
2-bx +c =0有两个根可得Δ=b
2- 4 ac>0，即a,c异号，...............11 分
所以a>0.................................................................................................................................................13 分
【点拨】由函数图象的对称性判断参数b，由特殊点的函数值符号判断参数c，由垂直渐近线的存
在性判断参数a.
16.（15 分）已知函数f ( x)=
2
a x
2+bx +c 的部分图象如图所示.
（1） 求函数f ( x)的解析式；
（2） 求f （5）的值.
【答案】（1）f ( x)=
1
- x
2+6 x -8 （2）- 1
3
【解析】（1） 由图象知，a x
2+bx +c =0的两根为2,4，且过点(3,1)，....................................4 分
所以{
2
9a+3b+c =1
2×4 = c
a
2+ 4 =- b
a
，...........................................................................................................................6 分
解得a=-2,b=12,c =-16，.................................................................................................................8 分
所以f ( x)=
2
-2 x
2+12 x -16
=
1
- x
2+6 x -8 ；....................................................................................10 分
（2） 所以f （5）=
1
-25+30-8 .....................................................................................................13 分
=- 1
3........................................................................................................................................................15 分
【点拨】根据函数图象的垂直渐近线确定分母的根，再结合图象经过的特殊点列出方程组求解参
数.
17.（15 分）（2026·湖南株洲·一模）已知一个正方形的四个顶点均在曲线y = x - 1
x 上，求
该正方形的面积.
【答案】4
【解析】设正方形ABCD，过点B作BM ⟂x轴交x轴于点M，过点C作CN ⟂y轴交y轴于点N，
则∠OB =∠OC ,∠BOM =∠CON，
得△BOM与△CON全等，得|BM |=|CN |，..................................................................................4 分
得点B的纵坐标与点C的横坐标相等，
设点B(a,b)，a≠b，得点C(b,-a)，
由四个顶点均在曲线y = x - 1
x 上，
得{
b=a- 1
a
-a=b- 1
b
，....................................................................................................................................... 7 分
得{
b
2=a
2+ 1
a
2 -2
a
2=b
2+ 1
b
2 -2
，
两式相减得，b
2-a
2=a
2-b
2+ 1
a
2 - 1
b
2，
得2(b
2-a
2)= b
2-a
2
a
2b
2 ，
由于a≠b，得a
2b
2= 1
2，......................................................................................................................10 分
两式相加得，b
2+a
2=a
2+b
2+ 1
a
2 + 1
b
2 - 4，
得a
2+b
2= 4 a
2b
2= 4× 1
2 =2，..............................................................................................................13 分
由点B(a,b)，点C(b,-a)，
得|OB|=|OC |=
❑√a
2+b
2，
得正方形ABCD的面积为：1
2 |OB|⋅|OC |×4 = 1
2 (a
2+b
2)×4 =2×2= 4................................15 分
【点拨】利用正方形的几何性质和曲线的中心对称性，设出顶点坐标并利用对称性得到坐标间的
关系，从而列出方程组求解.
18.（17 分）（2024·河北·模拟）已知函数f ( x)=( x -1)cos πx.
（1） 求函数f ( x)的零点；
（2） 判断函数f ( x)在区间(0,1)和(1,2)上的符号.
【答案】（1）x =1和x =k + 1
2 (k ∈Z ) （2）见解析
【解析】（1） 令f ( x)=0，即( x -1)cos πx =0，............................................................................2 分
解得x -1=0或cos πx =0.
由x -1=0得x =1.....................................................................................................................................4 分
由cos πx =0得πx =kπ + π
2 ，k ∈Z，解得x =k + 1
2，k ∈Z.
所以函数f ( x)的零点为x =1和x =k + 1
2 (k ∈Z ).................................................................................7 分
（2） 当x∈(0,1)时，x -1<0.
若x∈(0, 1
2)，则πx∈(0, π
2)，此时cos πx>0，所以f ( x)<0......................................................9 分
若x∈(
1
2 ,1)，则πx∈(
π
2 ,π)，此时cos πx<0，所以f ( x)>0....................................................12 分
当x∈(1,2)时，x -1>0.
若x∈(1, 3
2)，则πx∈(π , 3 π
2 )，此时cos πx<0，所以f ( x)<0.................................................14 分
若x∈(
3
2 ,2)，则πx∈(
3 π
2 ,2π)，此时cos πx>0，所以f ( x)>0...............................................16 分
综上所述，f ( x)在(0, 1
2)和(1, 3
2)上符号为负，在(
1
2 ,1)和(
3
2 ,2)上符号为正.........................17 分
【点拨】求解函数零点即解方程，判断函数符号需根据各因式的符号特征进行分类讨论.
19.（17 分）已知函数f ( x)=|
x +a
x -a|( x≠a).
（1） 当a=0时，解关于x的方程f (f ( x))=2；
（2） 若关于x的方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，求实数a的取值集合.
【答案】（1）无解 （2）{1
3 ,3}
【解析】（1） f ( x)=|
x +a
x -a|=|1+ 2a
x -a|( x≠a)，
当a=0时，f ( x)=1( x≠0)，.................................................................................................................2 分
此时f (f ( x))=2无解，不满足题意；...................................................................................................5 分
（2） 当a<0时，设t = f ( x)，则y = f (t )与y =2的图象大致如下，
则f (t )=2对应的2 个根为t1<a<t2<0，
此时方程f ( x)=t1,f ( x)=t2均无解，
即方程f (f ( x))=2无解，不满足题意；...............................................................................................8 分
当a>0时，设m= f ( x)，则y = f (m)与y =2的图象大致如下，
则f (m)=2对应的2 个根为0<m1<a<m2，
若方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，
则y =m1, y =m2与函数y = f ( x)的图象共有3 个不同的交点，.......................................................11 分
①当0<a<1时，y =m1与函数f ( x)的图象共有2 个交点，如图所示，
所以y =m2与函数f ( x)的图象只有1 个交点，
则m2=1，所以|
1+a
1-a|=2，解得a= 1
3；.............................................................................................13 分
②当a=1时，y =m1与函数f ( x)的图象共有2 个交点，
所以y =m2与函数f ( x)的图象只有1 个交点，
则m2=1，与m2>a矛盾，不合题意；.................................................................................................15 分
③当a>1时，y =m2与函数f ( x)的图象共有2 个交点，如图所示，
所以y =m1与函数f ( x)的图象只有1 个交点，
则m1=1，所以|
1+a
1-a|=2，解得a=3；
综上，a的取值集合为{1
3 ,3}...............................................................................................................17 分
【点拨】处理复合方程f (f ( x))=2的问题，通常采用换元法，令t = f ( x)，先求出外层方程的根，
再结合函数图象分析内层方程的根的个数，通过分类讨论参数a的取值范围来确定交点情况.
