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专题3.2 导数的单调性
3.2.1 求函数的单调区间
知识点梳理
1.函数的单调性与导函数的关系
设函数f ( x)在某个区间(a，b)内有导数，则：
（1）在区间(a，b)上，如果f '( x)>0，那么函数y = f ( x)在区间(a，b)上单调递增；
（2）在区间(a，b)上，如果f '( x)<0，那么函数y = f ( x)在区间(a，b)上单调递减；
（3）在区间(a，b)上，如果f '( x)=0，那么函数y = f ( x)在区间(a，b)上为常函数.
2.函数的单调性与导函数的关系的几何意义
（1）当f '( x)>0时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线是“左下右上”
的上升式，函数f ( x)的图像也是上升的；
（2）当f '( x)<0时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线是“左上右下”
的下降式，函数f ( x)的图像也是下降的；
（3）若在某个区间内恒有f '( x)=0，则函数f ( x)的图像是与x 轴平行的线段.
3.求可导函数的单调区间的方法
（1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间）
①求定义域：确定函数f ( x)的定义域.
②求导：求f '( x).
③解不等式：令f '( x)>0，可解得函数f ( x)的单调递增区间；令f '( x)<0，可解得函
数f ( x)的单调递减区间.
（2）列表法（求较复杂的函数的单调区间）
①求定义域：确定函数f ( x)的定义域.
②求导：求f '( x).
③求零点：令f '( x)=0，求定义域范围内的f '( x)的零点.
④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断
f '( x)在各区间上的符号.
⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间.
典型例题
例1.已知函数f（x）＝kxcosx﹣sinx，若k＝1，求f（x）在（0，+∞）上的单调性.
例2.已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1，求f（x）的单调区间.
例3.已知函数f（x）＝x2﹣alnx，求函数f（x）的单调区间．
随堂演练
1.已知函数f ( x)= x
3−3
2 x
2−6 x +1，求f（x）的单调区间.
2.已知f ( x)= 1
2 x
2−x−aln( x−a)，a∈R，判断函数f（x）的单调性；
3.已知函数f ( x)=lnx +ax−1
x，讨论函数f（x）的单调性.
4.已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x，讨论f（x）的单调性.
5.已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，讨论f（x）的单调性.
6.已知函数f（x）＝alnx﹣（a+1）x+ 1
2
x2，讨论f（x）的单调性.
7.已知函数f ( x)=ae
2 x−(ax +2−a)e
x+ 1
2 x
2，讨论f（x）的单调性.
8.已知函数f ( x)= x( x−alnx −1
x )，a∈R，若0≤a≤2，试判断函数f（x）的单调性.
3.2.2 已知单调性求参数的取值范围
知识点梳理
在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条
件，有如下结论：
f '(x)>0⇒f(x)单调递增；f(x)单调递增⇒f '(x)≥0.
f '(x)<0⇒f(x)单调递减；f(x)单调递减⇒f '(x)≤0.
典型例题
例1.已知函数f ( x)= x−1
x −lo ga x是增函数，则a 不可以取的一个值是（ ）
A．2
3
B．❑√2
C．❑√e
D．2❑√10
例2.若函数f（x）＝x3+2x2+mx+1 在（﹣∞，+∞）内单调递增，则m 的取值范围是
（ ）
A．m≥4
3
B．m＞4
3
C．m≤4
3
D．m＜4
3
例3.若函数f(x)=x
2−ax+lnx在区间(1,e)上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. [3,+∞)
B. ( ∞,3]
−
C. [3,e
2+1]
D. [3,e
2
1]
−
随堂演练
1.若函数f ( x)=e
x
2−ax在区间(1,3)上单调递增, 则a的可能取值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.已知函数f ( x)=( x
2+1)
1
2 −ax在[0，+∞）单调递减，则a 的取值范围为
．
3.已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣x，a∈R，若函数f（x）在定义域上单调递增，则实数a
的取值范围
．
4.已知函数f(x)=e
|x−a|(a为常数) .若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，则a的取值范围
是
．
5.若函数f(x)=x−1
3 sin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是
．
6.设a∈(0,1)，若函数f(x)=a
x+(1+a)
x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
．
7.已知函数f(x)=x
2−ax+lnx(a∈R)的减区间为(
1
2 ,1), 则a = .
8.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(
π
6 ,π
2 )内是减函数, 则实数a的取值范围是
.
3.2.3 导数图像与函数图像
知识点梳理
函数的单调性与导函数的关系的几何意义
（1）当f '( x)>0时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线是“左下右上”
的上升式，函数f ( x)的图像也是上升的；
（2）当f '( x)<0时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线是“左上右下”
的下降式，函数f ( x)的图像也是下降的；
（3）若在某个区间内恒有f '( x)=0，则函数f ( x)的图像是与x 轴平行的线段.
典型例题
例1.函数y＝f(x)的导数y = f ′( x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ）
例2.已知函数y = f ( x)( x∈R)的图像如图所示, 则不等式x f
′( x)>0的解集为
（
）
A. (0,1
3)∪(2,+∞) B. ( ∞,
−
1
3)∪(1,2)
C. (
∞,0
−
)∪(
1
3 ,2) D. (
1,0
−
)∪(1,3)
随堂演练
1.已知y = x
2+bx +c
的图像的顶点在第四象限, 则函数f
′( x)的图像可能是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2.函数f(x)的定义域为(a,b), 导函数f
′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数
f(x)在(a,b)内极小值点的个数是
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
3.已知函数y=xf
′(x)的图像如图所示(其中f
′(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个
图像中,y=f (x)
的图像大致是( )
A．
B．
C．
D．
4.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5.函数y=f(x)的导函数y=f
′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数f（x）的导函数为y=f
′(x)，函数g（x）＝（x﹣1）f
′(x)的图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2）
B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上单调递增
C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2）
D．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上单调递减
7.如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数y=f
′(x)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f
′(x)，且函数f(x)在x=-2 处取得极大值，则函数
y=xf
′(x)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
