文档文本内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z）+3(z-z)=4+6i，则z=( ).
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.∅ B.S
C.T D.Z
3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e
| x|≥1，则下列命题中为
真命题的是（ ）
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬q D.¬(pVq)
4.设函数f(x)=1−x
1+ x ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，P 为B1D1 的中点，则直线PB 与AD1 所成的角为
（ ）
A.π
2 B. π
3
C. π
4 D. π
6
6.将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目
进行培训，每名志愿者只分到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不
同的分配方案共有（ ）
A.60 种 B.120 种
C.240 种 D.480 种
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把
所得曲线向右平移π
3 个单位长度，得到函数y=sin(x-π
4 )的图像，则f(x)=（ ）
A.sin( x
2 −7 π
12 ) B. sin( x
2 + π
12)
C. sin(2 x−7 π
12 ) D. sin(2 x + π
12)
8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1 个数，则两数之和大于7
4的概率为
（ ）
A. 7
4 B. 23
32
C. 9
32 D. 2
9
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测
量海盗的高。如图，点E,H,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且
等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为
“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A：表高×表距
表目距的差+表高 B：表高×表距
表目距的差−表高
C：表高×表距
表目距的差+表距 D：表高×表距
表目距的差−表距
10.设a≠0，若x=a 为函数f (x)=a(x −a)
2(x −b)的极大值点，则（ ）.
A：a＜b B：a＞b
C：ab＜a2 D：ab＞a2
11.设B 是椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a＞b＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足
|PB|≤2b，则C 的离心率的取值范围是（ ）.
A：[
√2
2 ,1)
B：[
1
2 ,1)
C：(0, √2
2 ]
D：(0, 1
2]
12.设a=2ln1.01，b= ln1.02，c =√1.04−1，则（ ）.
A：a＜b＜c B：b＜c＜a
C：b＜a＜c D：c＜a＜b
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.已知双曲线C：x
2
m −y
2=1（m>0）的一条渐近线为√3 x+my=0，则C 的焦距为
.
14. 已知向量a= （1 ，3 ），b= （3 ，4 ），若（a-λb ）⊥b ，则λ=
。
15.记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，
a2+c2=3ac，则b= .
16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，
组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为
（写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60 分。
17.（12 分）
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无
提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标
数据如下：
旧设
备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设
备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.
5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分
别记为s1
2和s2
2
（1）
求x，y， s1
2，s2
2；
（2）
判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显
著提高（如果y-x≥2√
s1
2+ s2
2
2
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值
较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.(12 分)
如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M 为BC 的中点，
且PB⊥AM，
（1）
求BC；
（2）
求二面角A-PM-B 的正弦值。
19.（12 分）
记Sn为数列{an}的前n 项和，bn为数列{Sn}的前n 项和，已知2
Sn
+ 1
bn=2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
20.（12 分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0 是函数y=xf（x）的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g（x）= x + f （x ）
x f （x ），证明：g（x）＜1.
21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F 与圆M：x2+（y+4）2=1 上点的
距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P 在M 上，PA,PB 是C 的两条切线，A,B 是切点，求ΔPAB 的最大值.
（二）选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22.［选修4 一4：坐标系与参数方程］（10 分）
在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出⊙C 的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作⊙C 的两条切线, 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4 一5：不等式选讲]（10 分）
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥6 的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a 的取值范围.
