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2021 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分）
1．已知等差数列
的首项为3，公差为2，则
．
2．已知
，则
．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
4．不等式
的解集为 ．
5．直线
与直线
的夹角为 ．
6．若方程组
无解，则
．
7．已知
的展开式中，唯有
的系数最大，则
的系数和为 ．
8．已知函数
的最小值为5，则
．
9．在无穷等比数列
中，
，则
的取值范围是 ．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几
种运动方式组合
运动
运动
运动
运动
运动
7 点
点
8 点
点
9 点
点
10 点
点
11 点
点
30 分钟
20 分钟
40 分钟
30 分钟
30 分钟
11．已知椭圆
的左、右焦点为
、
，以
为顶点，为焦点作抛物线交
椭圆于
，且
，则抛物线的准线方程是 ．
12．已知
，存在实数
，使得对任意
，
，则
的最小值是 ．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A．
B．
C．
D．
14．已知集合
，
，
，
，则下列关系中，正确的是
A．
B．
C．
D．
15．已知函数
的定义域为
，下列是
无最大值的充分条件是
A．
为偶函数且关于点
对称
B．
为偶函数且关于直线
对称
C．
为奇函数且关于点
对称
D．
为奇函数且关于直线
对称
16．在
中，为
中点，为
中点，则以下结论：①存在
，使得
；
②存在三角形
，使得
；它们的成立情况是
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）四棱锥
，底面为正方形
，边长为4，为
中点，
平面
．
（1）若
为等边三角形，求四棱锥
的体积；
（2）若
的中点为
，
与平面
所成角为
，求
与
所成角的大小．
第1页（共11页）
18．（14 分）已知
、、为
的三个内角，、、是其三条边，
，
．
（1）若
，求
、
；
（2）若
，求
．
19．（14 分）（1）团队在
点西侧、东侧20 千米处设有
、两站点，测量距离发现一点
满足
千米，可知
在
、为焦点的双曲线上，以
点为原点，东侧为
轴正
半轴，北侧为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东
处，求双曲线标准方程和
点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15 千米处设有
、
两站点，测量距离发现
千米，
千米，求
（精确到1 米）和
点位置（精确到1 米，
20．（16 分）已知函数
．
（1）若
，求函数的定义域；
（2）若
，若
有2 个不同实数根，求
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使得函数
在定义域内具有单调性？若存在，求出
的取值范围．
21．（18 分）已知数列
满足
，对任意
，和
中存在一项使其为另一项与
的等差中项．
（1）已知
，
，
，求
的所有可能取值；
（2）已知
，
、
、
为正数，求证：
、
、
成等比数列，并求出公比
；
（3）已知数列中恰有3 项为0，即
，
，且
，
，求
的最大值．
第2页（共11页）
2021 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分）
1．已知等差数列
的首项为3，公差为2，则
21
．
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解析】：因为等差数列
的首项为3，公差为2，
则
．故答案为：21．
【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．已知
，则
．
【思路分析】由已知求得
，再由复数模的计算公式求解．
【解析】：
，
，
则
．故答案为：
．
【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为
．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解析】：圆柱的底面半径为
，高为
，
所以圆柱的侧面积为
．故答案为：
．
【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
4．不等式
的解集为
．
【思路分析】由已知进行转化
，进行可求．
【解析】：
，解得，
．故答案为：
．
【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
5．直线
与直线
的夹角为
．
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解析】：
直线
的斜率不存在，倾斜角为
，
直线
的斜率为
，倾斜角为
，
故直线
与直线
的夹角为
故答案为：
．
【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
6．若方程组
无解，则
0
．
【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．
【解析】：对于方程组
，有
，
当
时，方程组的解为
，
根据题意，方程组
无解，
第3页（共11页）
所以
，即
，故答案为：0．
【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的
解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行
列式表示法中对应的公式．
7．已知
的展开式中，唯有
的系数最大，则
的系数和为
64
．
【思路分析】由已知可得
，令
，即可求得系数和．
【解析】：由题意，
，且
，
所以
，所以令
，
的系数和为
．故答案为：64．
【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．
8．已知函数
的最小值为5，则
9
．
【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析
式变形成
，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．
【解析】：
，
所以
，经检验，
时等号成立．故答案为：9．
【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定
值，属于基础题．
9．在无穷等比数列
中，
，则
的取值范围是
，
，
．
【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比
的取值范围，再由极限的运算知
，从而
得解．
【解析】：
无穷等比数列
，
公比
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
，
，
．
【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，
属于基础题．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几
种运动方式组合
23
种
运动
运动
运动
运动
运动
7 点
点
8 点
点
9 点
点
10 点
点
11 点
点
30 分钟
20 分钟
40 分钟
30 分钟
30 分钟
【思路分析】由题意知至少要选2 种运动，并且选2 种运动的情况中，
、
、
的组合不
符合题意，由此求出结果．
【解析】：由题意知，至少要选2 种运动，并且选2 种运动的情况中，
、
、
的组合不
符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为：
（种．
故答案为：23 种．
【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础
题．
11．已知椭圆
的左、右焦点为
、
，以
为顶点，为焦点作抛物线交
椭圆于
，且
，则抛物线的准线方程是
．
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线
的方程并与
抛物线联立，求出点
的坐标，由此可得
，进而可以求出
，
的长度，再由椭
第4页（共11页）
圆的定义即可求解．
【解析】：设
，
，则抛物线
，
直线
，联立方程组
，解得
，
，
所以点
的坐标为
，所以
，又
所以
，所以
，
则
，
所以抛物线的准线方程为：
，
故答案为：
．
【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，
属于中档题．
12．已知
，存在实数
，使得对任意
，
，则
的最小值是
．
【思路分析】在单位圆中分析可得
，由
，即
，
，即可求得
的最
小值．
【解析】：在单位圆中分析，由题意可得
的终边要落在图中阴影部分区域（其中
，
所以
，
因为对任意
都成立，
所以
，即
，
，
同时
，所以
的最小值为
．
故答案为：
．
【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是
第5页（共11页）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解析】：选项
：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，
错误，
选项
：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，
错误，
选项
：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，
正确，
选项
：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，
错误，
故选：
．
【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理
解，属于基础题．
14．已知集合
，
，
，
，则下列关系中，正确的是
A．
B．
C．
D．
【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解析】：已知集合
，
，
，
，
解得
或
，
，
，
，
；
则
，
，
故选：
．
【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
15．已知函数
的定义域为
，下列是
无最大值的充分条件是
A．
为偶函数且关于点
对称
B．
为偶函数且关于直线
对称
C．
为奇函数且关于点
对称
D．
为奇函数且关于直线
对称
【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于
，举出反例可得三个选项错误，对于
，利用
反证法可得其正确．
【解析】：根据题意，依次判断选项：
对于
，
，
为偶函数，且关于点
对称，存在最大值，
错误，
对于
，
，
为偶函数且关于直线
对称，存在最大值，
错误，
对于
，假设
有最大值，设其最大值为
，其最高点的坐标为
，
为奇函数，其图象关于原点对称，则
的图象存在最低点
，
又由
的图象关于点
对称，则
关于点
对称的点为
，
与最大值为
相矛盾，则此时
无最大值，
正确，
对于
，
，
为奇函数且关于直线
对称，
错误，
故选：
．
【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．在
中，为
中点，为
中点，则以下结论：①存在
，使得
；
②存在三角形
，使得
；它们的成立情况是
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
【思路分析】设
，
，
，
，
，由向量数量的坐标运算即可判
断①；
为
中点，可得
，由
为
中点，可得
与
的交点即为重
第6页（共11页）
心
，从而可判断②
【解析】：不妨设
，
，
，
，
，
①
，
，
若
，则
，即
，
满足条件的
存在，例如
，满足上式，所以①成立；
②
为
中点，
，
与
的交点即为重心
，
因为
为
的三等分点，
为
中点，
所以
与
不共线，即②不成立．
故选：
．
【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）四棱锥
，底面为正方形
，边长为4，为
中点，
平面
．
（1）若
为等边三角形，求四棱锥
的体积；
（2）若
的中点为
，
与平面
所成角为
，求
与
所成角的大小．
【思路分析】（1）由
，代入相应数据，进行运算，即可；
（2）由
平面
，知
，进而有
，
，由
，知
或其补角即为所求，可证
平面
，从而有
，最后在
中，由
，得解．
【解析】：（1）
为等边三角形，且
为
中点，
，
，
又
平面
，
四棱锥
的体积
．
（2）
平面
，
第7页（共11页）
为
与平面
所成角为
，即
，
为等腰直角三角形，
，
分别为
，
的中点，
，
，
，
或其补角即为
与
所成角，
平面
，
，
又
，
，
、
平面
，
平面
，
，
在
中，
，
故
与
所成角的大小为
．
【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及
利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运
算能力，属于基础题．
18．（14 分）已知
、、为
的三个内角，、、是其三条边，
，
．
（1）若
，求
、
；
（2）若
，求
．
【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解
的值；利用余弦定理即可求解
的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得
，
，
的值，进而根据正弦定理可得
的值．
【解析】：（1）因为
，可得
，
又
，可得
，
由于
，可得
．
（2）因为
，
可得
，
又
，
可解得
，
，或
，
，
因为
，可得
，
，
若
，
，
可
得
，
可
得
，
可得
为钝角，这与
为钝角矛盾，舍去，
所以
，由正弦定理
，可得
．
【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关
系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
第8页（共11页）
19．（14 分）（1）团队在
点西侧、东侧20 千米处设有
、两站点，测量距离发现一点
满足
千米，可知
在
、为焦点的双曲线上，以
点为原点，东侧为
轴正
半轴，北侧为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东
处，求双曲线标准方程和
点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15 千米处设有
、
两站点，测量距离发现
千米，
千米，求
（精确到1 米）和
点位置（精确到1 米，
【思路分析】
（1）求出
，，的值即可求得双曲线方程，求出直线
的方程，与双曲线方程
联立，即可求得
点坐标；
（2）分别求出以
、为焦点，以
，为焦点的双曲线方程，联立即可求得点
的坐标，从
而求得
，及
点位置．
【解析】：（1）由题意可得
，
，所以
，
所以双曲线的标准方程为
，
直线
，联立双曲线方程，可得
，
，
即点
的坐标为
，
．
（2）①
，则
，
，所以
，
双曲线方程为
；
②
，则
，
，所以
，
所以双曲线方程为
，
两双曲线方程联立，得
，
，
所以
米，
点位置北偏东
．
【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
20．（16 分）已知函数
．
（1）若
，求函数的定义域；
（2）若
，若
有2 个不同实数根，求
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使得函数
在定义域内具有单调性？若存在，求出
的取值范围．
【思路分析】（1）把
代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0 求解绝对值的不
等式得答案；
（2）
，设
，得
，
，求得等式右边关于
的函数的值域可得
的取值范围；
（3）分
与
两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数
在定义域内具
有单调性的
的范围．
【解析】：（1）当
时，
，
由
，得
，解得
或
．
函数的定义域为
，
，
；
（2）
，
，
设
，
有两个不同实数根，整理得
，
，
，
，当且仅当
时，方程有2 个不同实数根，
第9页（共11页）
又
，
的取值范围是
；
（3）当
时，
，在
，
上单调递减，
此时需要满足
，即
，函数
在
，
上递减；
当
时，
，在
，
上递减，
，
，即当
时，函数
在
上递减．
综上，当
，
时，函数
在定义域
上连续，且单调递减．
【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的
判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
21．（18 分）已知数列
满足
，对任意
，和
中存在一项使其为另一项与
的等差中项．
（1）已知
，
，
，求
的所有可能取值；
（2）已知
，
、
、
为正数，求证：
、
、
成等比数列，并求出公比
；
（3）已知数列中恰有3 项为0，即
，
，且
，
，求
的最大值．
【思路分析】（1）根据
和
中存在一项使其为另一项与
的等差中项建立等式，然后将
，
，
的值代入即可；
（2）根据递推关系求出
、
，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出
，
，
的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．
【解析】：（1）由题意，
或
，
解得
，
解得
，经检验，
，
（2）证明：
，
，或
，经检验，
；
，或
（舍，
；
，或
（舍，
；
，或
（舍，
；
综上，
、
、
成等比数列，公比为
；
（3）由
或
，可知
或
，
由第（2）问可知，
，则
，即
，
，则
，
，
同理，
，
，同理，
，
的最大值
．
【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考
查了学生计算能力，属于难题．
第10页（共11页）
第11页（共11页）
