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2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共4 页，22 小题，满分150 分.考试用时120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上 ､ ､ .用2B 铅笔将试卷 类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑： 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要 求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一选择题：本题共 ､ 8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 6. 若 ，则 （ ） A B. C. D. 7. 若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第 一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和 是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二选择题：本题共 ､ 4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据 样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 10. 已知 为坐标原点，点 ， ， ， ， 则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ） A. 点 到直线 的距离小于 B. 点 到直线 的距离大于 C. 当 最小时， D. 当 最大时， 12. 在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ， 则（ ） A. 当 时， 的周长为定值 B. 当 时，三棱锥 的体积为定值 C. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 三填空题：本题共 ､ 4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知函数 是偶函数，则 ______. 14. 已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，为 上一点， 与 轴垂直，为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______. 15. 函数 的最小值为______. 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1 次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2 次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面 积之和 ，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ . 四解答题：本题共 ､ 6 小题，共70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ､ . 17. 已知数列 满足 ， （1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； （2）求 的前20 项和. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从 中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问 题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得0 分：B 类问 题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列； （2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 19. 记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， . （1）证明： ； （2）若 ，求 . 20. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点. （1）证明： ； （2）若 是边长为1 等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ， 求三棱锥 的体积. 21. 在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 . （1）求 的方程； （2）设点 在直线 上，过 两条直线分别交 于 、两点和 ， 两点，且 ， 求直线 的斜率与直线 的斜率之和. 22. 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
