文档文本内容
3．3 导数与函数的极值、最值
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、函数的极值........................................................................................................................3
知识点二、函数的最值........................................................................................................................3
方法总结1：极值的判断方法.............................................................................................................3
方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤.....................................................................................3
方法总结3：极值与最值关系.............................................................................................................4
方法总结4：已知极值(点)求参数.....................................................................................................4
方法总结5：利用导数研究函数最值.................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................9
题型一：结合函数图象判定极值........................................................................................................9
题型二：给定函数的极值求解..........................................................................................................10
题型三：由极值（点）条件逆向求参..............................................................................................10
题型四：无参函数的最值求解.......................................................................................................... 11
题型五：含参函数的最值讨论.......................................................................................................... 11
题型六：极值与最值综合应用问题..................................................................................................13
05 课后拓展精练................................................................................................................................15
知识点一、函数的极值
极小值：若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则把点
叫做函数
的极小值点，
叫做函数
的极小值．
极大值：若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则把点
叫做函数
的极大值点，
叫做函数
的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点（
的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值．
知识点二、函数的最值
1、函数
在区间
上有最值的条件：
如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2、一般地，求函数
在区间
上的最大值和最小值的步骤如下：
⑴求函数
在区间
上的极值；
⑵将函数
的各极值与端点处的函数值
比较，其中最大的一个是最大值，其中最小
的一个是最小值．
方法总结1：极值的判断方法
一般地，求函数
的极值的方法是：解方程
．当
时：
⑴如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值；
⑵如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极小值．
方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤
第一步：确定函数
的定义域
第二步：求
，并可适当整理；尽量将
整理成
之积商的形式
第三步：解出方程
在定义域内的所有实数根
第四步：将函数
，
随
的变化情况分段标注在数轴上
第五步：确定
的极值．
方法总结3：极值与最值关系
函数
在
有最值
在
有极值
在
有解．
方法总结4：已知极值(点)求参数
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
方法总结5：利用导数研究函数最值
求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数
的最大值为1，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是增函数
D．存在
在
处取到极小值
3．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
4．（多选题）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
5．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
6．（2026·北京·高考真题）已知
，给出下列四个结论：
①
在
上有最小值和最大值；
②
，
时，
有最大值；
③
，
有3 个解；
④
，
与
有4 个交点.
其中正确结论的序号是________．
7．（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
8．（2026·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线
方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的极值点个数；
(3)求
与
交点个数．
9．（2025·上海·高考真题）已知
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
10．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
12．（2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域是
．对于
，定义集合
．
(1)
，求
；
(2)对于集合
，若对任意
都有
，则称
是对称集．若
是对称集，证明：“函数
是偶
函数”的充要条件是“对任意
，
是对称集”；
(3)若
，
．求
的取值范围，使得对于任意
，都有
．
13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
15．（2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
17．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
题型一：结合函数图象判定极值
【典例1-1】已知函数
的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若
为
的导函数，则“
在
处取极值”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．不充分不必要
条件
【典例1-2】已知函数
（
）的导函数是
，导函数
的图像如图所示，则
在
内只有（ ）
A．1 个驻点
B．1 个极值点
C．1 个极小值点
D．1 个极大值点
【变式1-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数
的定义域为
且导函数为
，函数
的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的增区间是
B．函数
的减区间是
C．
是函数的极大值点
D．
是函数的极大值点
【变式1-2】如图，已知直线
与曲线
相切于两点，则
有（ ）．
A．1 个极大值点，2 个极小值点
B．2 个极大值点，1 个极小值点
C．3 个极大值点，无极小值点
D．2 个极小值点，无极大值点
【变式1-3】函数
的导函数
的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A．
是函数
的极大值点；
B．
是函数
的最小值点；
C．
在区间
上单调递增；
D．
在
处切线的斜率小于零．
题型二：给定函数的极值求解
【典例2-1】已知函数
在
处有极大值，则
的极小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
【典例2-2】若
是函数
的极大值点，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．4
【变式2-1】已知三次函数
的导函数为
，若
，则函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式2-3】（2026·高三·湖南株洲·阶段检测）函数
的极小值是____．
题型三：由极值（点）条件逆向求参
【典例3-1】已知函数
在
处取得极大值0，则
________.
【典例3-2】若函数
有大于1 的极值点，则
的取值范围是________．
【变式3-1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数
有2 个极值，则
的取值范围是
________.
【变式3-2】（2026·四川·模拟预测）已知函数
既有极大值又有极小值，则实数a
的取值范围为_________.
【变式3-3】已知函数
在
处取极值，且
，则
的值为____.
【变式3-4】已知函数
有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．
【变式3-5】已知
，函数
在
处取得极大值，则
的取值范围是
________．
题型四：无参函数的最值求解
【典例4-1】函数
的最小值为______．
【典例4-2】函数
在
上的最大值为__________．
【变式4-1】函数
的最小值为______.
【变式4-2】设函数
，
，若存在
，
，使得
，则
的最大值为________．
【变式4-3】函数
，
的最小值是______．
【变式4-4】（2026·宁夏银川·模拟预测）函数
的最小值为______.
题型五：含参函数的最值讨论
【典例5-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)当
时，求
在区间
上的最大值．
【典例5-2】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求函数
在区间
上的最大值．
【变式5-1】已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求
在
上的最小值．
【变式5-2】已知函数
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若方程
恰有一个实数解，求实数a 的取值范围.
(3)若函数
在区间
存在最大值，求m 的取值范围.
【变式5-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最小值为
，求
.
【变式5-4】已知函数
．
(1)当
时，判断经过点
的曲线
的切线有多少条；
(2)若
在区间
上的最小值为
，求实数a 的值．
题型六：极值与最值综合应用问题
【典例6-1】设函数
在
处取得极值.
(1)求a 的值，并求
的单调区间；
(2)若
，有
，求b 的取值范围.
【典例6-2】已知函数
，
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若曲线
在点
处的切线l 方程为
.
（i）求a，k 的值；
（ii）已知点
，
（
，
）在曲线
上，若直线AB 与l 平行，
求m.
【变式6-1】已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
是函数
的极值点，求证：
．
【变式6-2】已知函数
，（
）．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，若
存在极小值点
，证明：
；
(3)若对任意
，都有
，求
的取值范围．
【变式6-3】已知函数
、
(1)当
，
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围.
【变式6-4】（2026·广西柳州·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，记
的极小值为
，证明：
.
1．函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
有唯一极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
有两个极值点
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的最大值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．e
5．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数
，
，若
，
，有
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．如图是函数
的导函数
的图象，则在下列区间内，
一定存在最大值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．e
8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
.若关于
的方程
在区间
内恰有两个
不同实根，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
9．（多选题）已知函数
有两个极值点
，
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．当
，
时，函数
的极大值为
B．当
，
时，函数
存在零点
C．当
，不等式
恒成立，则
的取值范围为
D．若函数
与
的图象有交点，则
的取值范围为
11．（多选题）设函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
在
处取得极小值
C．方程
有且仅有一个实根D．对任意
，都有
12．函数
的所有极值点之和为_____.
13．若函数
（
，且
）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是
________．
①
②
③
④
⑤
14．若函数
没有极值点，则ab 的最大值为________．
15．若函数
在区间
存在最大值，则
的取值范围为__________.
16．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
.
(1)判断
的单调性.
(2)设
，其中
.
（i）证明：
在
上有唯一的极值点；
（ii）若
为
在
上的零点，
为
在
上的极值点，比较
与
的
大小，并说明理由.
17．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在区间
的最小值为7，求实数
的值．
18．已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的最小值；
(2)若
是
的导函数
的极大值点，求
的取值范围；
(3)证明：
．
