第10 讲函数的单调性、奇偶性、周期性
（知识清单+7 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
单调性与奇偶性综合、周期性应用、函数值大小比较
单选、多选题
5 分/6 分
奇偶性判断、单调性应用、简单周期性计算
单选、填空题
5 分
基础单调性、奇偶性判断，难度偏低
单选、填空题
5 分
单调性与不等式结合、周期性与奇偶性综合，偶渗透导数应用
单选、解答题
5 分/10 分
【知识点01】函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
当x1<x2时,都有f ( x 1)<
f ( x 2),那么就称函
数f(x)在区间I 上单调递增,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时,我们就称它是增函数
当x1<x2时,都有f ( x 1)>
f ( x 2),那么就称函数f(x)
在区间I 上单调递减,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减
时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y
＝f(x)的单调区间.
【例1】用定义法证明f ( x)= x
2+2 x在[1,+ ∞)上单调递增。
【知识点02】函数的最值
前提
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≤
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≥
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 是函数y＝f(x)的最大值
M 是函数y＝f(x)的最小值
【例2】求f ( x)= x
2−2 x +3在[0,3]上的最值。
【知识点03】函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,
且f ( －
x ) ＝
f ( x ) ,那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y 轴
对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,
且f ( －
x ) ＝－
f ( x ) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
【例3】判断下列函数的奇偶性：
（1）f ( x)= x
3+2 x；（2）f ( x)= x
2−| x |+1；（3）f ( x)= x +1。
【知识点04】函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周
期.
【例4】已知函数f ( x)满足f ( x +2)=−f ( x)，且f (1)=3，求f (5)的值。
【题型一】定义法判断或证明函数的单调性
【例1】（2025·河南·一模）函数
的值域为正整数集的子集，
，对任意两个不相等的正整
数a，b，都有
成立，则
（ ）
A．54
B．66
C．81
D．89
【变式1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间
上，值域为
的函数
满足：①当
时，
；②对于定义域内任意的实数a、b 均满足：
．则（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上单调递减
D．函数
在区间
上单调递增
【变式2】（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在
上的函数
，对
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递减
C．
D．数列
的前n 项和为
，则
【变式3】（2024·山东济南·三模）已知函数
，且
.
(1)求
的值;
(2)判断函数
在
上是增函数还是减函数，并证明.
【题型二】根据函数的单调性解不等式
【例2】（2026·广西崇左·二模）已知函数
在
上单调递增，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2024·江西·一模）已知函数
，若不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】（2025·陕西汉中·一模）已知函数
，则不等式
的解集是_________．
【变式3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
.
(1)若函数
在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围；
(2)若
，且
，求实数
的取值范围.
【题型三】比较函数值的大小关系
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·广东深圳·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当
x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·河北邢台·二模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是______（请用“<”连
接）．
【题型四】函数的最值
【例4】（2026·陕西西安·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·江西鹰潭·三模）若
的最小值是4，则实数
的值为（ ）
A．6 或
B．
或18
C．6 或18
D．
或
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，且
在
上恒成立，则实数
的最小值为___________．
【变式3】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，对于任意
，满足
时，
的取值范围为__________.
【题型五】函数奇偶性的定义与判断
【例5】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【变式1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【变式2】（2026·山东济南·三模）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
的值为________．
【变式3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3 个条件的函数
______．
①
、
，且
，都有
；②
且
，使得
；③
．
【题型六】函数奇偶性的应用
【例6】（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【变式1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式3】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数
满足：当
时，
，则
________．
【题型七】函数周期性的应用
【例7】（2026·辽宁沈阳·三模）已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·湖南岳阳·三模）已知
的定义域为
，周期为4，当
时，
，则
______．
【变式3】（2026·安徽芜湖·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则
__________.
【解题大招01】单调性判断与证明
核心：定义法适用于基础函数，导数法适用于复杂函数，精准判断单调区间。
【例1】证明f ( x)= x
2−4 x +3在[2,+ ∞)上单调递增。
【解题大招02】奇偶性判断
核心：第一步判断定义域是否关于原点对称（前提），第二步求f (−x)，第三步对比f (−x)与f ( x)、−f ( x)的
关系。
【例2】判断f ( x)=
x
3
x
2+1的奇偶性。
【解题大招03】周期性求解
核心：熟记常见周期结论，复杂递推式通过变形推导周期。
【例3】已知f ( x +2)=−f ( x)，证明f ( x)的周期为4。
【解题大招04】单调性与奇偶性综合应用
核心：利用奇偶性转化变量范围，结合单调性比较大小、解不等式。
【例4】已知f ( x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，解不等式f ( x−1)>f (2)。
【解题大招05】单调性与最值综合
核心：单调函数在区间端点取最值，非单调函数结合对称轴、极值点求解。
【例5】求f ( x)=2 x +1在[1,5]上的最值。
解析：f ( x)在[1,5]上单调递增，最小值f (1)=3，最大值f (5)=11。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·安徽安庆·三模）定义在
上的偶函数
，当
时，
，则满足
的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽芜湖·二模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间
上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2023·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
5．（2024·河南郑州·模拟预测）若函数
的定义域为R，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若对
，
，则
C．若对
，
且
，
，则
是R 上的增函数
D．若对
，
，则
三、填空题
6．（2025·山东烟台·三模）已知函数
，若
，则实数t 的取值范围是__________．
7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
的图象关于
中心对称，且
在
上单调递减，若
，则实数a 的取值范围为________．
四、解答题
8．（2025·山东临沂·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，
的最小值为1，求
的值；
(2)在（1）的条件下，求满足
且
的
的取值集合；
(3)函数
在区间
和
上均单调递增，求实数
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·福建南平·二模）已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
二、多选题
3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的值域为
D．
的解集为
三、填空题
4．（2026·山东东营·二模）已知奇函数
的周期为2，且当
时，
，则
_____．
5．（2026·广东肇庆·二模）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则不等式
的
解集为__________.（结果用区间表示）
四、解答题
6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数
为定义在
上的偶函数，且
，
.
(1)若
，求函数
解析式；
(2)求函数
在
的最小值；
(3)若函数
在
有两个不同的零点，求m 的取值范围.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在
上的奇函数
满足
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．1014
D．1015
二、多选题
3．（2026·陕西西安·三模）已知定义在
上的奇函数
满足对任意实数
，都有
，且当
时，
，则（ ）
A．
是周期为4 的周期函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
的图象关于直线
对称
三、填空题
4．（2026·广东广州·一模）已知函数
为奇函数，当
时，
（
），若
在
上单
调递增，则
的取值范围是______．
四、解答题
5．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求在
上解不等式
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围.
