文档内容
专题 04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称
性解决函数性质问题
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................6
............................................................................................................................................11
考点一：函数单调性的综合应用...........................................................................................................................11
考点二：函数的奇偶性的综合应用.......................................................................................................................13
考点三：已知f(x)=奇函数+M...............................................................................................................................17
考点四：利用轴对称解决函数问题.......................................................................................................................20
考点五：利用中心对称解决函数问题...................................................................................................................22
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题........................................................................................................25
考点七：类周期函数..............................................................................................................................................29
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性.....................................................................................32
考点九：函数性质的综合......................................................................................................................................36
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求 考题统计 考情分析【命题预测】
预测2024年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其
2023年新高考II卷第4题，5分
渗透在解答题的表达之中，
2023年新高考I卷第4题，5分
相对独立．具体估计为：
2022年乙卷第12题，5分
函数的性质 （1）以选择题或填空题形式
2022年新高考II卷第8题，5分
出现，考查学生的综合推理
2021年甲卷第12题，5分
能力．
2021年新高考II卷第8题，5分
（2）热点是单调性、奇偶
性、对称性结合在一起．1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 ．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记 ， ，则 ．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如 ．对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶．
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 ．
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原
点对称．
1．（2023•新高考Ⅱ）若 为偶函数，则A． B．0 C． D．1
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023•乙卷）已知 是偶函数，则
A． B． C．1 D．2
4．（2022•乙卷）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ．若
的图像关于直线 对称， （2） ，则
A． B． C． D．
5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． C．0 D．1
6．（2021•甲卷）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 ， 时，
．若 （3） ，则
A． B． C． D．
7．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 不恒为 ， 为偶函数， 为奇函
数，则
A． B． C． （2） D． （4）
8．（2020•新课标Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
9．（2023•甲卷）若 为偶函数，则 ．
10．（2023•全国） 为 上奇函数， ， （1） （2） （3） （4） （5）
， ．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 是偶函数，则 ．考点一：函数单调性的综合应用
例1．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在 上的函数 满足 ，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若
，都有 成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知 是偶函数， ，且当 时， 单
调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知 ， ， ，
.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）若 ，
则（ ）
A． B．
C． D．考点二：函数的奇偶性的综合应用
例6．（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数 满足：对任意的 ， ，
，且 是 上的偶函数，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）定义在 上的偶函数 满足：对任意 ，有
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2023·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知函数 ，若对任意 ，
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知函数 ，若实数 满足
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．考点三：已知f(x)=奇函数+M
例11．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）函数 的最大值为M，最小值为N，则
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．与m值有关
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的最大值为
，最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例13．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知 ，若 ，则
等于（ ）
A． B． C．0 D．1
例14．（2023·广西桂林·统考一模） 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
（ ）
A．－1 B． C． D．1
例15．（2023春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于 的函数
在 上的最大值为M，最小值N，且 ，则实数t的
值是（ ）
A．674 B．1011 C．2022 D．4044
考点四：利用轴对称解决函数问题
例16．（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
例17．（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）函数 满足：对 ，都有
，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例18．（2023·全国·高三竞赛）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，其
中 （ ）
A．3 B． C． D．
例19．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A．(0，2] B．
C．[2，＋∞) D． ∪[2，＋∞)
例20．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数 ，
则 的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五：利用中心对称解决函数问题
例21．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数 满足 ，若函数
与 的图象的交点为 ， ，…， ，则 等于（ ）A．0 B．m C． D．
例22．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数 满足 为奇函数，
若函数 与 的图象的交点为 ， ，…， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例23．（2023·北京通州·高一统考期中）我们知道函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数 的图像关于点 成中心
对称图形的充要条件是函数 为奇函数，则函数 的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）设函数 的定义域为D， ，
，当 时，恒有 ，则称点 为函数 图象的对称中心．利用对称中
心的上述定义，研究函数 ，可得到
（ ）
A．0 B．2023 C．4046 D．4047
例25．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数 ，则
满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
例26．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶
函数，当 时， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
例27．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足对任意实数 有 ，若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
例28．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义域为 的非常数函数， 为偶
函数， ，则（ ）
A．函数 为偶函数 B． 关于点 中心对称
C． D． 的最小正周期为4
例29．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为
奇函数， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例30．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，
为奇函数， ， ，则正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
考点七：类周期函数
例31．（2023·四川·高三阶段练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
例32．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， .若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，当 时，
，设 在 上的最大值为 则数列 的前n项和 的值为
（ ）
A． B． C． D．
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
例35．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数 对 都有
，且函数 的图像关于点 对称，当 时， ，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B． 在区间 上单调递减
C． 是 上的偶函数
D．函数 有6个零点
例36．（多选题）（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
且 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为偶函数 B． 的图象关于直线 对称C． D．
例37．（多选题）（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
，则（ ）
A． B． C． D．
例38．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域
均为 ，且 为非常数函数， ， 为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例39．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期中）设函数 的定义域为 ，且满足
， ，当 时， ，则（ ）
A． 是奇函数
B．
C． 的值域是
D．方程 在区间 内恰有1518个实数解
考点九：函数性质的综合
例40．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数 是R上的奇函数，且
， ，若 ，则不等式 的解集是 .
例41．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知函数 ，若
，则实数 的解集为 .
例42．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，若 为奇函数， ，则 ．
例43．（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在 上的函数 ，下述结论正确
的是 ．①若 ，则 的图象关于直线 对称；
②若 是奇函数，则 的图象关于点 对称；
③若函数 满足 ，则 ；
④若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．
例44．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）设定义在 上的函数 与 的导
函数分别为 和 ， 若 ， ， 且 为奇函数， 则下列说法中
一定正确的是 .
（1）函数 的图象关于 对称；
（2） ；
（3） ；
（4）
