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第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性
【考点梳理】
1．增函数与减函数
一般地，设函数 的定义域为 ：
(1)如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是增函数．
(2)如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是减函数．
2．函数的最大值与最小值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1)对于任意的 ，都有 ；存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数
的最大值．
(2)对于任意的 ，都有 ；存在 ，使得 ，那么我们称 是函数
的最小值．
3．函数单调性的两个等价结论
设 则
(1) (或 在 上单调递增。
(2) (或 ⇔f(x)在 上单调递减．
4．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果函数 的定义域内任意一个
偶函数 关于 对称
都有 ，那么函数 是偶函数
如果函数 的定义域内任意一个
奇函数 关于原点对称都有 ，那么函数 是奇函数
5.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若 是奇函数且 处有意义，则 .
6．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
(3) 常 见 结 论 ： 若 ， 则 ； 若 ， 则 ； 若
，则 .
【典型题型讲解】
考点一：函数的单调性
【典例例题】
例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有
（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【详解】
由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
【变式训练】
1.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是___.
【答案】
解： 和 在 上都是单调递减，
在 上单调递减，
由 ，可得 ，解得 ，即 ．
故答案为：
2.已知函数 的定义域为 ，且对任意两个不相等的实数 ， 都有 ，则不等
式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
不妨设 ，因为 ，
所以 ，
故 是 上的增函数，原不等式等价于 ，解得 ．
故选：B.3．（2022·广东惠州·一模）已知 ，则当 时， 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【详解】解：由函数 ，
得函数 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
作出函数 和 的图像，如图所示，
令 ，得 或 ，
结合图像可知，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上所述，当 时， .
故选：B.
4.“ ”是“函数 是在 上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
依题意，函数 是在 上的单调函数，
由于 在 上递增，所以 在 上递增，
所以 且 ，即 .所以“ ”是“函数 是在 上的单调函数”的必要不充分条
件.
故选：B
5．已知函数 若 ， ， ，且
仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 R，有 ，即 ，
即 与 同号，所以 在R上单调递增，
即 在 上单调递增，则 ，故 ；
因为 在 处的切线方程为 ，即 ，
又 ，所以 与 没有公共点，
若函数 仅有一个零点，
所以函数 与 图象仅有一个交点，
则 与 有且仅有1个公共点，且为 ，
所以 在 处的切线的斜率k大于等于1，
而 ，得 ，即 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
6．若函数 是 上的单调函数，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为分段函数 在 上的单调函数，由于 开口向上，故在 上单调递增，故分段函数
在在 上的单调递增，所以要满足： ，解得：
故选：B
考点二：判断函数的奇偶性
【典例例题】
例1.已知函数 ，则 （ ）A．是偶函数，且在 是单调递增 B．是奇函数，且在 是单调递增
C．是偶函数，且在 是单调递减 D．是奇函数，且在 是单调递减
【答案】B
【详解】
解： 定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，
又 与 在定义域上单调递增，所以 在 上单调递增；
故选：B
【方法技巧与总结】
1、函数的奇偶性的判断：图像法、解析式法；
2、常见函数的奇偶性。
【变式训练】
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；
在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；
在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；
在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.
故选：C.
2．（2022·广东·二模）存在函数 使得对于 都有 ，则函数 可能为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为对于 都有 ，且 为偶函数，
所以 必为偶函数.
对于A： 为奇函数.故A错误；
对于B： 为非奇非偶函数.故B错误；
对于C：对于 .定义域为R.因为 ，所以
为奇函数.故C错误；
对于D：对于 .定义域为R.因为 ，所以
为偶函数.故D正确；
故选：D
3．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以函数 为奇函数；
因为 ，又 ，所以 ，
故A正确；
因为 ，故 是非奇非偶函数，
故B错误；函数 满足 为偶函数，故C错误；
因为 ，故D错误，
故选：A.
4．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以 为周期且在 上单调递增的偶函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．BD
【详解】对于选项A，因为 在 上单调递减，所以 上单调递减，故A错；
对于选项B，结合 的图象性质，易知 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，故B
正确；
对于选项C，结合 的图象性质，易知 没有 周期性，故C错；
对于选项D，令 ，易知 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，因 也是单调
递增的，所以 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，故D正确.
故选：BD.
考点三：函数的奇偶性的应用
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数 B．函数 是奇函数
C．函数 在 上为增函数 D．函数 的值域为
【答案】AD【详解】由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，
所以函数 是偶函数，所以A正确，B错误；
由函数 ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
所以 在区间 单调递减；
当 时， ，可得 ，
所以 在区间 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ，所以C不正确，D正确.
故选：AD.
例2．（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，
函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】．A
【详解】
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；
又 ，排除C，故选：A．
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
【变式训练】
1.（2021·广东汕头·高三期末）已知偶函数f(x)在区间 上单调递减，若f(-1)=0，则满足f(m)>0的实数
m的取值范围是______．
【答案】．
【详解】由题意，偶函数 在 上单调递增， ，所以 在 上单调递减， ，
的实数 的取值范围是 ．
故答案为：
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知函数 ，则 ________．
【答案】．2
【详解】令 ，则函数 定义域为 ，关于原点对称，又 ，
所以函数 为奇函数，所以
所以 .
故答案为：2.
3．（2022·广东深圳·一模）已知函数 是定义域为R的奇函数，当 时， ，则
_________．
【答案】.-2
【详解】由题设， ，又 ，
所以 .
故答案为： .
4．（2022·广东韶关·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
【答案】.-1
【详解】由函数 是定义在 上的奇函数得 ， ，
又当 时， ，
所以 ，
所以
5．（2022·广东·一模）已知函数 ， ，则图象如图的函数可能是( )A． B． C． D．
【答案】．D
【详解】由图可知，该函数为奇函数， 和 为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时， 单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝ 的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故 ＞0且单调递减，故
图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
6．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．A
【详解】因为 ，所以函数 为奇函数；
因为 ，又 ，所以 ，
故A正确；
因为 ，故 是非奇非偶函数，
故B错误；
函数 满足 为偶函数，故C错误；因为 ，故D错误，
故选：A.
7．（2022·广东广州·一模）若函数 的大致图象如图，则 的解析式可能是( )
A． B． C． D．
【答案】．D
【详解】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；
该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；
C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于C： ，当x→＋∞时， 0，故 ，
→
∵y＝ 增长的速率比y＝ 增长的速率慢，∴ ，
即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.
综上，D选项正确.
故选：D.
8．（2022·广东广东·一模）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】．C
【详解】 ，所以 是偶函数，图象关于y轴对称，排除
A，B.当 且无限趋近于0时， 趋近于 ，排除D，
故选：C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
考点四：函数的对称性和周期性
【典例例题】
例1．设函数 的定义域为D，若对任意的 ，且 ，恒有 ，则
称函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中心，研究函数
的对称中心，求 （ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【详解】
令函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，
可得 的图象关于 点中心对称，
即当 ，可得 ，
设
，
所以
所以 .
故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .
【变式训练】
1．（2022·广东珠海·高三期末）已知 是定义域在 上的奇函数，且满足 ．当
时， ，则 （ ）A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：由 得 ，所以 是周期为2的周期函数，且 是定义
域在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，
故选：A．
2．已知定义在R上的函数 满足 ，且 是奇函数，则
（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
【答案】C
【详解】
由 可得2是函数 的周期，
因为 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，所以 是奇函数，
故选：C.
2．已知函数 的定义域为R，且 对任意 恒成立，又函数
的图象关于点 对称，且 ，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C【详解】
因为函数 的图象关于点 对称，则函数 的图象关于点 对称，即函数
为奇函数；
因为对任意 ，都有 ，令 ，得 ，又
函数 为奇函数，故 ，解得 ，则 ，即 ，所以
4是函数 的一个周期；
所以 .
故选：C.
3．已知定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则下面结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，
时， 单调递增；
，
， 单调递增；， ，
综上所述，
.
故选：A.
4．已知函数 满足 对任意 恒成立，又函数 的图象关于点
对称，且 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为对任意 ，都有
令 得 解得
则 即
所以函数 的图象关于直线 对称.
又函数 的图象关于点 对称，则函数 的图象关于点 对称，
即函数 为奇函数，所以
所以 所以8是函数 的一个周期，
所以
故选：D.
5．已知函数 是 上的奇函数，且 ，且当 时， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，因此函数的周期为 ，
所以 ，
又函数 是 上的奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以原式 ，
又当 时， ，可得 ，因此原式 .
故选：B．
6．已知 是定义在R上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【详解】
解：因为 是定义在R上的奇函数，又 为偶函数，
所以 、 且 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，
所以 ，
，
，所以 ；
故选：C
【巩固练习】
一、单选题
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；
在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；
在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；
在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.
故选：C.
2．已知函数 ，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .
故选：B.
3．已知函数 在区间 的最大值是M，最小值是m，则 的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【详解】
令 ，则 ，
∴f(x)和g(x)在 上单调性相同，
∴设g(x)在 上有最大值 ，有最小值 .
∵ ，
∴ ，
∴g(x)在 上为奇函数，∴ ，
∴ ，∴ ，
.
故选：C.
4．已知函数 的图象关于原点对称，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．-11 B．-8 C． D．
【答案】A
【详解】
因为函数 图象关于原点对称，
所以 ，
由 知，函数 是以4为周期的函数，又当 时， ，
则
.
故选：A.
二、多选题
5．下面关于函数 的性质，说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心
【答案】AD
【详解】
解：
由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ，
因为 关于 对称，所以 关于 对称，故D正确；
函数 的定义域为 ，值域为 ，故A正确，B错误；
函数 在 和 上单调递减，故C错误；
故选：AD
6．已知定义在R上的偶函数 的图像是连续的， ， 在区间 上是
增函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的一个周期为6 B． 在区间 上单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 在区间 上共有100个零点【答案】BC
【详解】
因为 ，取 ，得 ，故 ，又 是偶函数，所
以 ，所以 ，
故 ，即 的一个周期为12，故A项错误；
又 在区间 上是增函数，所以 在区间 上为减函数，由周期性可知， 在区间
上单调递减，故B项正确；
因为 是偶函数，所以 的图像关于y轴对称，由周期性可知 的图像关于直线 对称，
故C项正确；
因为 在区间 上是增函数，所以 在区间 上为减函数， ，由周期性
可知，在区间 上， ，而区间 上有168个周期，故 在区间 上有
336个零点，又 ，所以 在区间 上有337个零点，由 为偶函数，可知
在区间 上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 对任意 都有 ，若函数
的图象关于 对称，且对任意的 ，且 ，都有 ，若
，则下列结论正确的是（ ）A． 是偶函数 B．
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】ABCD
【详解】
对于选项A：由函数 的图像关于 对称，根据函数的图象变换，
可得函数 的图象关于 对称，所以函数 为偶函数，所以A正确；
对于选项B：
由函数 对任意 都有 ，可得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
因为 ，可得 ，
则 ，所以B正确；
又因为函数 为偶函数，即 ，所以 ，
可得 ，所以函数 关于 中心对称，所以C正确；
由对任意的 ，且 ，都有 ，
可得函数 在区间 上为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，故函数 在区间 上为单调递减函数，故 ，所以D正确.
故选：ABCD
8．已知函数 ， ， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象没有对称中心
C．对任意的 ， 的最大值与最小值之和为
D．若 ，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【详解】
由题意知 的定义域为 ，因为 ，所以 的图象关于 对称，故A正确；
因为 的定义域为 ，且 ，所以 的图象关于 对称，故B不正确；
因为 ，所以 的图象关于 对称，所以对任意的 ， 最
大值与最小值之和为 ，故C正确；
由 ，得 ，又 在 上单调递减，且 ，
所以 或 ，解得 或 ，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
9．已知函数 是偶函数，则 __________．
【答案】2
【详解】
由 得 的定义域为 ，
则∵ 是偶函数，故f(-1)=f(1)，
即 ，解得m=2．
此时 ，而 ，
故 确为偶函数，故m=2．
故答案为：2．
10．已知函数 在 上的最小值为1，则 的值为________.
【答案】1
【详解】
由题意得 ，当 时， 在 上单调递减，
∴ 的最小值为 ， ，
所以 不成立；
当 时， ， 在 单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，符合题意.
故 .
故答案为：1.
11．（2022·广东佛山·三模）已知函数 的图象关于原点对称，若 ，则
的取值范围为________．
【答案】
【详解】
定义在R上函数 的图象关于原点对称，
则 ，解之得 ，经检验符合题意
均为R上增函数，则 为R上增函数，
又 ，
则不等式 等价于 ，解之得
故答案为：
12．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有 ；（2）对于定义域上
的任意 ，当 ，恒有 ，则称函数f（x）为“理想函数”，下列① ，②，③ ，④ 四个函数中，能被称为“理想函数”的有
___________.（填出函数序号）
【答案】④
【详解】
若 是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意 ，恒有 ，即 ，则函数 是奇函数；
②对于定义域上的任意 ，当 时，
恒有 ，即 ，
时， ，或 时， ，
即函数 是单调递减函数．
故 为定义域上的单调递减的奇函数．
① 在定义域为 上的奇函数，但不是减函数，所以 不是“理想函数”；
② ，定义域为 ，
单调递增，所以 不是“理想函数”；
③ 在定义域 的增函数，所以 不是“理想函数”；
④ ，在定义域 上既是奇函数，又是减函数，所以 是“理想函数”．
故答案为：④.
