文档内容
专题 04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称
性解决函数性质问题
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................6
............................................................................................................................................11
考点一：函数单调性的综合应用...........................................................................................................................11
考点二：函数的奇偶性的综合应用.......................................................................................................................13
考点三：已知f(x)=奇函数+M...............................................................................................................................17
考点四：利用轴对称解决函数问题.......................................................................................................................20
考点五：利用中心对称解决函数问题...................................................................................................................22
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题........................................................................................................25
考点七：类周期函数..............................................................................................................................................29
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性.....................................................................................32
考点九：函数性质的综合......................................................................................................................................36
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求 考题统计 考情分析【命题预测】
预测2024年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其
2023年新高考II卷第4题，5分
渗透在解答题的表达之中，
2023年新高考I卷第4题，5分
相对独立．具体估计为：
2022年乙卷第12题，5分
函数的性质 （1）以选择题或填空题形式
2022年新高考II卷第8题，5分
出现，考查学生的综合推理
2021年甲卷第12题，5分
能力．
2021年新高考II卷第8题，5分
（2）热点是单调性、奇偶
性、对称性结合在一起．1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 ．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记 ， ，则 ．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如 ．对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶．
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 ．
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原
点对称．
1．（2023•新高考Ⅱ）若 为偶函数，则A． B．0 C． D．1
【答案】
【解析】由 ，得 或 ，
由 是偶函数，
，
得 ，
即 ，
即 ，
则 ，
，得 ，
得 ．
故选： ．
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】设 ，对称轴为 ，抛物线开口向上，
是 的增函数，
要使 在区间 单调递减，
则 在区间 单调递减，
即 ，即 ，
故实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
3．（2023•乙卷）已知 是偶函数，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】 的定义域为 ，又 为偶函数，，
，
，
， ．
故选： ．
4．（2022•乙卷）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ．若
的图像关于直线 对称， （2） ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 的图像关于直线 对称，则 ，
， ， ，故 为偶函数，
（2） ， （2） ，得 ．由 ，得 ，代入
，得 ，故 关于点 中心对称，
（1） ，由 ， ，得 ，
，故 ， 周期为4，
由 （2） ，得 （2） ，又 （3） （1） ，
所以 （1） （2） （3） （4） ，
故选： ．
5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】令 ，则 ，即 ，
， ，
，则 ，
的周期为6，
令 ， 得 （1） （1） （1） ，解得 ，
又 ，（2） （1） ，
（3） （2） （1） ，
（4） （3） （2） ，
（5） （4） （3） ，
（6） （5） （4） ，
，
（1） （2） （3） （4） ．
故选： ．
6．（2021•甲卷）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 ， 时，
．若 （3） ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 为奇函数， （1） ，且 ，
偶函数， ，
，即 ，
．
令 ，则 ，
， ．
当 ， 时， ．
（2） ，
（3） （1） ，
又 （3） ， ，解得 ，
（1） ， ，
当 ， 时， ，
．
故选： ．
7．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 不恒为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
A． B． C． （2） D． （4）
【答案】
【解析】 函数 为偶函数，
，
为奇函数，
，
用 替换上式中 ，得 ，
， ，即 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即 ，
用 替换上式中 ，可得， ，
关于 对称，
又 （1） ，
（1） ．
故选： ．
8．（2020•新课标Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：由 ，可得 ，
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，由于 ，
故 ．
方法二：取 ， ，满足 ，
此时 ， ，可排除 ．
故选： ．
9．（2023•甲卷）若 为偶函数，则 ．
【答案】2．【解析】根据题意，设 ，
其定义域为 ，
若 为偶函数，则 ，
变形可得 ，必有 ．
故答案为：2．
10．（2023•全国） 为 上奇函数， ， （1） （2） （3） （4） （5）
， ．
【答案】6．
【解析】 ，
则函数 的周期为4，
为 上奇函数，
（4） ，
令 ，
则 （2） （2），解得 （2） ，
令 ，
则 （1） （3），
（1） （5） ，
所以 （1） （2） （3） （4） （5） （3） （2） （3） （4）
．
故答案为：6．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 是偶函数，则 ．
【答案】1．
【解析】函数 是偶函数，
为 上的奇函数，
故 也为 上的奇函数，
所以 ，
所以 ．
法二：因为函数 是偶函数，
所以 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 ．
故答案为：1．
考点一：函数单调性的综合应用
例1．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在 上的函数 满足 ，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，得 .
令 ，得 ，解得 ，
则不等式 转化为 ，
因为 是增函数，且 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
例2．（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若
，都有 成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对于 ，都有 成立，所以函数 是增函数，
则函数 和 均为增函数，且有 ，
即 ，解得 .故选：C.
例3．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知 是偶函数， ，且当 时， 单
调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意 是偶函数， 可知 关于 对称，且 ，
又 时， 单调递增，所以 时， 单调递减，
则 在区间 上时，函数值为正，在区间 上，函数值为负，
又易知 ，
所以 的解集为 .
故选：A
例4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知 ， ， ，
.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，∴ ， ，
令 ， ， ，
∴ 在 单调递减，所以 ，∴ ，∴ .
，
令 ， ，
， 在 单调递减， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：A.
例5．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
令 ，显然函数 在 上单调递增，且 ，
因此 ，即 ，则 ，于是 ，A正确，B错误；
由 ，显然当 时， ，CD错误.
故选：A
考点二：函数的奇偶性的综合应用
例6．（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数 满足：对任意的 ， ，
，且 是 上的偶函数，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意， 是 上的偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，
又由函数 满足对任意的 ， ， ，
则函数 在 上是增函数，
又函数 的图象关于直线 对称，则函数 在 上是减函数，
若 ，则有 ，即 ，解得： 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）定义在 上的偶函数 满足：对任意 ，有，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不妨设 ，由 ，所以该函
数是 上的增函数，
，或 ，
，
，或 ，
因此有 ，
或 ，或 ，
综上所述：不等式 的解集是 ，
故选：B
例8．（2023·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知函数 ，若对任意 ，
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对函数 求导得 ，
对函数 继续求导得 ，
由基本不等式得 ，
所以 在 上单调递增，
又注意到 ，所以 、 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
所以函数 是偶函数，
结合函数 的单调性可知， 成立当且仅当 ，
而 成立当且仅当 ，
所以原问题转化成了对任意 ，不等式组 恒成立，
将不等式组变形为 ，
所以对任意 ，只需 ，
因为函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 ， ，
综上所述：满足题意的实数 的取值范围是 .
故选：C.
例9．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知函数 ，若实数 满足
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】一方面由题意有 ，
另一方面若有 成立，
结合以上两方面有 ，
且注意到 ，
所以由复合函数单调性可得 在 上严格单调递增，
若 ，则只能 ，
因此 当且仅当 ；
又已知 ，
所以 ，即 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：C.
例10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数 ，
所以 ，令 ，
可得
令 且 ，可得 在 上恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，
所以函数 为偶函数，则在 上单调递减，
又由 ，即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B.
考点三：已知f(x)=奇函数+M
例11．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）函数 的最大值为M，最小值为N，则
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．与m值有关
【答案】C
【解析】由题意可知， ，
设 ，则 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，
所以 ，
所以 ,
故选：C.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的最大值为
，最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】由
令 ，
因为 ，所以 ；
那么 转化为 ， ，
令 ， ，
则 ，
所以 是奇函数
可得 的最大值与最小值之和为0，
那么 的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
例13．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知 ，若 ，则
等于（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】 ，
，
， ，
故选：A.
例14．（2023·广西桂林·统考一模） 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A【解析】 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
.
∴ .
故选：A
例15．（2023春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于 的函数
在 上的最大值为M，最小值N，且 ，则实数t的
值是（ ）
A．674 B．1011 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】 ， ，
∴令 ， ，则 ，
定义域关于原点对称，且 ，
所以 为奇函数，
∴ （奇函数的性质），
∴ ，
∴ ，即 .
故选：B
考点四：利用轴对称解决函数问题
例16．（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ， ， ，
所以不等式 可转化为 ，
又 在R上单调递增， 在R上单调递增，
进而 在R上单调递增，所以函数 在R上单调递增，
，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A.
例17．（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）函数 满足：对 ，都有
，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为函数 满足：对 ，都有 ，
所以 ，即 ，解得 ，
经检验满足题意，所以 ，
故选：C.
例18．（2023·全国·高三竞赛）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，其
中 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 在函数 的图像上，则点 关于直线 的对称点 ，则
，则 ，则 ，即 与 关于直线 对称，
则 ，得 .
故选：D
例19．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则不等式
的解集为（ ）A．(0，2] B．
C．[2，＋∞) D． ∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，
令 ，可得 ，
则不等式 可化为 ，
即 ，即 ，
又因为 ，且 在 上单调递减，在 为偶函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B.
例20．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数 ，
则 的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设函数 判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根
据平移关系，可判断函数 的对称性和单调性，再将 ， ，以及 转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.令 ，所以 是偶函数；
当 时， ， 在 上是增函数，
将 图像向右平移一个单位得到 图像，
所以 关于直线 对称，且在 单调递增.
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 关于直线 对称，∴ ，
∴ .
故选：A
考点五：利用中心对称解决函数问题
例21．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数 满足 ，若函数
与 的图象的交点为 ， ，…， ，则 等于（ ）
A．0 B．m C． D．
【答案】B
【解析】由 得，函数 的图象关于点 中心对称，
显然 也是函数 的对称中心，
所以当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
综上 .
故选：B.
例22．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数 满足 为奇函数，
若函数 与 的图象的交点为 ， ，…， ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以 关于 对称，
因为 ，
所以 的对称中心为 ， ，
所以 也关于 对称，
所以 与 两个图象的交点也关于 对称，
所以对于每组对称点 和 均满足 ， ，
所以 .
故选：B.
例23．（2023·北京通州·高一统考期中）我们知道函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数 的图像关于点 成中心
对称图形的充要条件是函数 为奇函数，则函数 的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 为奇函数，
定义域为 关于原点对称，故 ， ，
，即 ，
即 ，故 ，
故 ，即对称中心为 .
故选：A.
例24．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）设函数 的定义域为D， ，
，当 时，恒有 ，则称点 为函数 图象的对称中心．利用对称中
心的上述定义，研究函数 ，可得到（ ）
A．0 B．2023 C．4046 D．4047
【答案】D
【解析】 的定义域为R.
因为 ，
所以 的图象关于点 对称.
所以 .
故选：D
例25．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数 ，则
满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，
所以， .
所以， ，
即 ，所以 .
则由不等式 可得，
.
又 恒成立，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以， 在R上单调递增.
则由 可得， ，解得 .
所以，满足 的 的取值范围是 .
故选：D.
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题例26．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶
函数，当 时， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 为奇函数，得 ，
故 ①，函数 的图象关于点 对称；
由 为偶函数，得 ②，
则函数 的图象关于直线 对称；
由①②得 ，
则 ，
故 的周期为 ，所以 ，
由 ，令 得 ，即 ③，
已知 ，
由函数 的图象关于直线 对称，得 ，
又函数 的图象关于点 对称，得
所以 ，即 ，
所以 ④，联立③④解得
故 时， ，
由 关于 对称，可得 .
故选：A.
例27．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足对任意实数 有 ，
若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
从而可得 ，所以 ，所以函数 的一个周期为6．因为 的图象关于直线 对称，
所以 ， 即函数 的图象关于直线 对称．
又 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．由于23除以6余5，
所以 ．
故选：C．
例28．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义域为 的非常数函数， 为偶
函数， ，则（ ）
A．函数 为偶函数 B． 关于点 中心对称
C． D． 的最小正周期为4
【答案】A
【解析】因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
又因 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以函数 是以 为周期的一个周期函数，故D错误；
因为 ，所以函数 图象关于 对称，
所以函数 图象关于 对称，即函数 为偶函数，故A正确；
对于B，若 关于点 中心对称，则 关于点 中心对称，
即函数 为奇函数，则 ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
这与函数 是定义域为 的非常数函数矛盾，故假设不成立，故B错误；对于C，由 ，可得 ，
又因为 不关于点 中心对称，
所以无法判断 是否相等，故C错误.
故选：A.
例29．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为
奇函数， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，令 ，得 ，所以 ，
由 为奇函数，得 ，所以 ，
故 ①．
又 ②，
由①和②得 ，即 ，
所以 ，③
令 ，得 ，得 ，
令 ，得 ，得 ，
又 ④，
由③-④得 ，即 ，
所以函数 是以8为周期的周期函数，
故 ，
所以 ，
所以
，
故选：B．
例30．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，
为奇函数， ， ，则正确的有（ ）① ；② ；③ ；④ .
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】C
【解析】因为 为奇函数，则 ，
因为 ， ，
故可得 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，
在等式 中，令 可得 ，则 ，
因为函数 为奇函数，即 ，可设 ， 为常数，
则 ，故 ，即 ，
所以，函数 为偶函数，
由 可得 ，
从而可得 ，则 ，即 ，
所以，函数 为周期为 的周期函数，
故 ，
在等式 两边同时求导可得 ，
即 ，
在等式 中，令 可得 ，
因为函数 是周期为 的周期函数，则 ，
等式 两边求导可得 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，
所以， .
而 、 的值根据已知条件无法推导其值，则②③对，①④错.
故选：C.
考点七：类周期函数
例31．（2023·四川·高三阶段练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[− ,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,− ]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为 ，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为 ，
若x∈[−4,−2]时， 恒成立，
∴ 恒成立．
即t2−4t+3 0，
即(t−3)(t−1) 0，
⩽
即1 t 3，
⩽
即t∈[1,3]，
⩽⩽
本题选择D选项.
例32．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， .若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，则f(x)=2f(x−2)−1= .
当x∈(0,1)时,当x= 时,f(x)取得最小值,且为− ；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为 ；
当x∈(2,3)时,当x= 时,f(x)取得最小值,且为− ；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为− .
若x∈(0,4]时, 恒成立，
则有 .
解得 .
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[− ,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由 ，即为 ，解得 ，
综上，即有实数t的取值范围是 .
故选：C.
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当 时，不等式 恒成立，所以 ，当 时，
当 时， ，当 时，
，因此当 时， ，选B.
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，当 时，
，设 在 上的最大值为 则数列 的前n项和 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 时， ，最大值为 ，
时， ，易知 时， 递增， 时， 递减，因此最大值为 ，
综上， ， ，即 ，
又 ，即 ，
当 时， ，∴ ，
∴ 是等比数列，公比为 ，
∴ ．
故选：D．考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
例35．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数 对 都有
，且函数 的图像关于点 对称，当 时， ，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B． 在区间 上单调递减
C． 是 上的偶函数
D．函数 有6个零点
【答案】AD
【解析】对 都有 ，则 ，
所以函数 是周期函数，周期为4，
函数 的图像向左平移1个单位得函数 的图象，
又函数 的图像关于点 对称，
因此函数 的图象关于点 对称，即函数 是 上的奇函数，
当 时， ，即函数 在 上递增，在 上单调递增，
而 ，因此 在 上递增，
由 得 ，则 的图象关于直线 对称，
则函数 在 上递减，
对于A， ，故A正确；
对于B，因函数 在 上递增，函数 的周期为4，
则 在 上递增，故B错误；
对于C，因 ，即有 ，
则函数 不是R上的偶函数，故C错误；
对于D，函数 的零点，即函数 与 图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数 与 的大致图象，如图，因函数 的最大值为1，而当 时， ，
因此函数 与 图象的交点在 内，
观察图象知，函数 与 图象在 内只有6个交点，
所以函数 有6个零点，故D正确.
故选：AD.
例36．（多选题）（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
且 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 ，
所以函数 为偶函数，故A正确；
因为 ，两边求导得 .令 ，得 .
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 是周期为4的周期函数，所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD.
例37．（多选题）（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由 为奇函数得 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 的图象关于点 对称，所以 ，
因为 ，所以 关于直线 对称，所以 ，
由 和 知， ，
所以 ，所以 的周期为8，
由 知，当 时， ，A正确；
因为 关于直线 对称，所以 ，
由 的周期为8知， ，C正确；
因为 的周期为8，所以 ，题干所给条件不足，所以BD错.
故选：AC
例38．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域
均为 ，且 为非常数函数， ， 为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ，即
，
所以 的图象关于点 中心对称，且 ，故A正确；
由 ，两边求导，得 ，即 .由 的图象关于点 中心对称，得 ，因此 ，故B正确；
因为 为函数 的导函数，且 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称，
所以 .又 ，
所以 ，所以 的图象关于点 中心对称，
，
，
所以 是周期函数，4为它的一个周期，所以 ，故 错误；
由 ，得 .又 ，
所以 3，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
例39．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期中）设函数 的定义域为 ，且满足
， ，当 时， ，则（ ）
A． 是奇函数
B．
C． 的值域是
D．方程 在区间 内恰有1518个实数解
【答案】ACD
【解析】函数 的定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 是奇函数，A正确；
由 ，得 ，所以 以4为周期，
因为 ，所以 ，故B错误；
因为当 时， ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，又 ，所以 ．
因为 为奇函数，所以当 时， ，因为 的图象关于直线 对称，所以当 时， ，
因为 的周期为4，所以当 时， ，故C正确；
方程 的解的个数，即 的图象与 的图象交点个数．
因为 的周期为4，且当 时， 与 有3个交点，
所以当 时， 与 有 个交点，故D正确．
故选：ACD.
考点九：函数性质的综合
例40．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数 是R上的奇函数，且
， ，若 ，则不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】函数 是 上的奇函数，在区间 单调递增，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
因为 ，即 .所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
那么 ，即 或 ，
所以得 或 .
故答案为： .
例41．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知函数 ，若
，则实数 的解集为 .
【答案】【解析】由题意可知 ，
所以
，
所以 ，
令 ，则 ，即 为奇函数，
不等式 等价于 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 是奇函数，
又因为 在 单调递增，
所以根据指数函数的性质可知 在 上单调递增，
又由对数函数的性质可知 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
故答案为：
例42．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，若 为奇函数， ，则 ．
【答案】
【解析】由 为奇函数，得 ，即 ，
由 ，得 ，又 ，
于是 ，即 ，从而 ，
即 ，因此 ，函数 的周期为8的周期函数，
显然 ，又 ，
所以 .故答案为：
例43．（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在 上的函数 ，下述结论正确
的是 ．
①若 ，则 的图象关于直线 对称；
②若 是奇函数，则 的图象关于点 对称；
③若函数 满足 ，则 ；
④若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．
【答案】②③
【解析】对于①，若 ，则 ，所以函数 是以2为周期的周期函数，无
法得出其对称轴，故①错误；
对于②，若 是奇函数，则函数关于原点对称，
而函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位得到的，
所以 的图象关于点 对称，故②正确；
对于③，若函数 满足 ，令 ，则
，所以 ，
即 ，故③正确；
对于④，关于 的方程 有解，即函数 的图象有交点，
作出函数 的图象如图所示，
由图可知 ，故④错误.
故答案为：②③.
例44．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）设定义在 上的函数 与 的导
函数分别为 和 ， 若 ， ， 且 为奇函数， 则下列说法中
一定正确的是 .（1）函数 的图象关于 对称；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）（3）
【解析】因为 , 则 ,
因为 ，所以 ,
用 去替x，所以有 ，所以有 ,
取 代入得到 则 ，
故 ，用 换x，可得 ，函数 的图象关于 对称,故（1）正确；
在 上为奇函数, 则 过 , 图像向右移动两个单位得到 过 ，故 图像关于
对称， ; ，而 ，所以有 ，则 的周期
;
又因为 图像关于 对称， ;函数 的图象关于 对称,，故
,
,故（3）正确；
, 是由 的图像移动变化而来, 故 周期也为 4 ,
因为 ,
所以 ， ,
所以 ，故（2）错误；
， 周期为 4 , ， , ,
故 ，
由于 的值未知， 不一定为0，所以无法判断 的值为-4046，
故（4）错误;
故答案为：（1）（3）
