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3.2 利用导数研究函数的单调性（精讲）
考向一 无参函数的单调区间
【例1-1】（1）（2025 河南）函数
的单调递减区间是
（2）（2025 北京）若函数
，则函数
的单调递减区间为
（3）（24-25 云南曲靖）设函数
，
的单调递减区间为
【一隅三反】
（24-25 高三专题训练）求下列函数的单调区间：
(1)
； (2)
； (3)
.
(4)
； (5)
.
考向二 函数与导函数的图像关系
【例2-1】（24-25 宁夏石嘴山）已知函数
的导函数的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2025 福建）已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所
示，则该函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（24-25 湖南长沙）已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如图所示，
则该函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（24-25 湖北）已知函数
的导函数
的图象如图所示，那么函数
的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 江苏无锡）已知
是
的导数，
的图象如图，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 吉林长春）已知函数
与
的图象如图所示，则函数
（ ）
A．在区间
上是减函数
B．在区间
上是减函数
C．在区间
上是减函数
D．在区间
上是减函数
考向三 无参函数在有参区间的单调性
【例3-1】（24-25 安徽）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2024 安徽）已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（23-24 四川内江）函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为
2（24-25 江西）若函数
在区间
内单调递增，则
的取值范围是 ．
3.（2024·广东茂名）若
是区间
上的单调函数，则实数
的取值范围
考向四 有参函数在无参区间的单调性
【例4-1】（24-25 高三上·青海）若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（24-25 湖南·期末）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-3】（23-24 辽宁）若函数
在区间
上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（24-25 浙江宁波·期中）若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数
在定义域上单调递增，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 北京）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 安徽宿州）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（23-24 河南）若函数
为定义域内的单调递增函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 函数在区间不单调
【例5-1】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江）已知函数
在区间
上不单调，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2024 高三·全国·专题练习）（多选）若函数
恰好有三个单调区间，则实数a
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【一隅三反】
1.（2025 北京）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，
则m 的取值范围是 ．
3（24-25 上海）已知函数
有三个单调区间，则实数b 的取值范围为 ．
4．（2025 哈尔滨）已知函数
在
上有三个单调区间，则实数
的取值范围
考向六 单调性应用一---比较大小
【例6-1】（23-24 天津）已知函数
，且
、
、
，则
、
、的大
小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2025 江苏）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-3】（2024 广东）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-4】（2025 湖南）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025 上海）已知函数f(x)=－
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小关系无法确定
2（2025 浙江）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025 海南）已知函数
，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5（2025 黑龙江 ）（多选）下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向七 单调性的应用二---解不等式
【例7-1】（2025 河北）已知函数
，则不等式
的解集是______.
【例7-2】（2025·广东深圳）已知函数
，
，若
，则实数
的取值范围为______．
【一隅三反】
1. （24-25 河北保定）已知函数
，
，若
，则
的取值范围为
2.（2025 福建）已知函数
满足
，则实数a 的取值范围是 .
3（2025 甘肃）已知函数
，若
，则实数t 的取值范围
4.（2025 山东）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是
考向八 导函数模型比大小解不等式
【例8-1】（23-24 广东东莞·阶段练习）已知
为函数
的导函数，当
时，有
恒
成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（24-25 安徽省）已知定义域为
的函数
满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（24-25 重庆）已知
为定义在
上的奇函数，
，且当
时，有
，则使
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3（2024·吉林长春·一模）已知定义在
上的函数
是
的导函数，满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2024·吉林·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向九 含参函数单调性的分类讨论
【例9-1】（24-25 高三上·安徽安庆·期末）已知函数
，
，
为函数
的导函数，讨
论函数
的单调性；
【例9-2】（24-25 高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)试讨论
的单调性．
【例9-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.讨论
的单调性.
【例9-4】（2025 陕西）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
【一隅三反】
1.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
，讨论
的单调性；
2.（24-25 高三下·四川内江·阶段练习）已知函数
，讨论
的单调性；
3.（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
4.（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数
，讨论
的单调性；
5.（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，讨论函数
的单调性；
6.（2025 北京）已知函数
，讨论
的单调性；
