第10 讲 对数与对数函数 · 分类练习
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
1.（2026·山东淄博·一模）已知lg2=a,lg3=b，则10
a-b=
A. 4
3
B. 3
4
C. 3
2
D. 2
3
2.（2026·广东中山·二模）已知函数f ( x)=
1
loga x (a>0且a≠1)，若f （2）+ f （4 ）=3，
则a=
A. 3
B. 2
C. 4
D. ❑√2
3.（2026·湖南师大附中·5 月模拟）已知logam=2,logbm=3，则logmab=
A. 1
6
B. 5
6
C. 1
5
D. 6
5
4.（2026·湖南·3 月联考）化简5
log36
15
log32 =
A. 5
2
B. 3
2
C. 5
D. 3
5.（2026·河南百师联盟·5 月联考）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机
组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn= 2
3 lg v + 1
20（其中v
为轮毂高度风速，单位：m/s，n为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到
轮毂高度瞬时风速达到 32 m/s，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：
10
0.05≈1.12,10
0.72≈5.25,lg2≈0.3010）
A. 9 级
B. 11 级
C. 13 级
D. 15 级
6.（2026·湖南衡阳八中·适应性测试）若logam=2，b
3=m，则logm(ab)=
A. 1
6
B. 1
5
C. 5
6
D. 6
5
7.（2026·河南湘豫联盟·4 月检测）已知正数a,b,c均不等于 1，且logba=2,logcb=3，则
logca=＿＿＿＿＿＿.
8.e
ln3-81
1
4 + log❑√3+1
❑√3-1
2
=＿＿＿＿＿＿．
9.（2026·湖北十堰·一模）已知函数f ( x)={
log2 x ,
x>0
3
x ,
x ≤0，则f (f （1）)=＿＿＿＿＿＿ .
考法2：解对数方程及求参数
10.（2026·浙江台州·二模）已知实数a>1，b>1，若logab=2，log2 b
a = 1
3，则log4(ab)=
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 1
11.（2026·山东泰安·一模）已知方程|lg x
2|-m=0的四个实根从小到大排列后成等差数列，
则实数m=
A. lg3
B. lg ❑√3
C. lg2
D. 2lg2
12.已知lga+b=-2,a
b=10，则a=＿＿＿＿＿＿．
13.方程lg(-2 x)=lg(3- x
2)的解集为＿＿＿＿＿＿．
14.设p>0,q>0，满足log4 p= log6q = log9(2 p+q)，则p
q =＿＿＿＿＿＿．
考法3：利用单调性解对数不等式
15.（2026·湖南·5 月联考）已知函数f ( x)是定义在R上的增函数.若f (log2( x -1))<f （1），
则x的取值范围是
A. (1,2)
B. (1,3)
C. (2,+∞)
D. (3,+∞)
16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3 月检测）若loga(a
3+a)<loga(2a
2)<1<(
1
a)
2-3a
，则a的
取值范围是
A. (
1
2 ,1)
B. (
1
2 , 2
3)
C. (
2
3 ,1)
D. (1, 3
2)
17.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知a>0,b>0，且a≠1,b≠1,logab<1，则下列不等式
可能成立的是
A. 1<a<b
B. 1<b<a
C. a<1<b
D. b<a<1
18.（2026·湖南长郡二十校联盟·第二次联考）（多选）若0<a<b<1，则下列结论正确的是
A. (logab)
2<1
B. logab+ logba>2
C. logab<logba
D. |logab|+|logba|>|logab+ logba|
19.（2025·福建宁德·三模）设函数f ( x)=|log2 x|，则满足f ( x)<f ( x -1)的x的取值范围是
＿＿＿＿＿＿.
20.解关于x的不等式log2(2- 4
x)< x解集为＿＿＿＿＿＿．
考法4：对数模型在实际情境中的应用
21.（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为pH =-lg[ H
+]，其中[ H
+]
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，
真命题是
A. 已知纯净水的pH =7，则纯净水中[ H
+]=10
7摩尔/升
B. 已知胃酸中[ H
+]=2.5×10
-2摩尔/升，则胃酸的pH≥2
C. 溶液中[ H
+]>10
-7摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强
D. 溶液中[ H
+]<10
-7摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大
22.（2026·河北石家庄一中·一模）在音乐理论中，若音M的频率为m，音N的频率为n，则
它们的音分差1200log2
m
n .当音A与音B的频率比为9
8时，音分差为r，当音C与音D的频率
比为256
243时，音分差为s，则
A. 2r +3 s=600
B. 3r +2s=600
C. 5r +2s=1200
D. 2r +5 s=1200
23.（2026·蚌埠·二模）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二
维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而
成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成25×25（即 625 个点）大
小的二维码，若“黑点”表示 1，“白点”表示 0，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有
2
625种不同的码，假设我们 1 秒用掉 1 万个二维码，1 万年约为3×10
11秒，那么该二维码
生成器生成的二维码大约可以用（lg2≈0.3，lg3≈0.5）
A. 172 万年
B. 260 万年
C. 10
172 万年
D. 10
260 万年
24.（2025·江西鹰潭·二模）在 2019 年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提
出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的
信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为 128 比
特，则密码一共有2
128种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行2
128次运算．现在有
一台机器，每秒能进行5
2 ×10
10次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长
度为 128 比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：lg2≈0.301,10
0.13≈1.349）
A. 10
27×1.349 秒
B. 10
28×1.349 秒
C. 10
29×1.349 秒
D. 10
30×1.349 秒
25.（2026·福建厦门·适应性测试）某工厂的产量Q(单位:件)与资本投入K(单位:万元)、劳
动投入L(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数Q = A0⋅K
α⋅L
β(其中A0,α , β为常数).在劳动
投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升20 %,资本投入需增加60 %,则该工厂资本产出的弹
性系数α约为(参考数据: lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.5
D. 0.6
考点二：对数函数的图像与性质
考法5：对数函数图像的识别与变换
26.已知函数y = loga( x +b)( a,b为常数，其中a>0且a≠1 ) 的图象如图所示，则下列结论正
确的是
A. a=0.5,b=2
B. a=2,b=2
C. a=0.5,b=0.5
D. a=2,b=0.5
27.将函数y = log2 x的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数y = f ( x)的图象，则f ( x)=
A. log2( x +1)
B. 1+ log2 x
C. log2( x -1)
D. -1+ log2 x
考法6：求对数型函数过定点
28.函数f ( x)= loga( x -1)+2的图象恒过定点
A. (2,2)
B. (2,1)
C. (3,2)
D. (2,0)
考法7：对数型函数的单调性及比较大小
29.（2026·广东东莞·一模）设a>0且a≠1,b>0，下列各项中，能推出logab>0的一项是
A. a>1且b>1
B. a>1或0<b<1
C. 0<a<1且b>1
D. 0<a<1或0<b<1
30.（2025·江西上进联考·3 月联考）函数f ( x)=
❑√log2( x
2-2 x)的单调递增区间为
A. [1,+ ∞)
B. [1+ ❑√2,+∞)
C. (2,+∞)
D. (1+ ❑√3,+∞)
31.（2025·江西九师联盟·5 月检测）已知a= log23- log35,b= log57 - log79，则
A. a>0,b>0
B. a>0,b<0
C. a<0,b>0
D. a<0,b<0
32.已知函数f ( x)= log3(1-ax)，若f ( x)在(-∞,1]上为减函数，则a的取值范围为
A. (0,+ ∞)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (-∞,1)
33.（多选）若6
a=2,6
b=3，则
A. b
a >1
B. ab< 1
4
C. a
2+b
2< 1
2
D. b-a> 1
5
34.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）函数y = f ( x)的图象与y =2
x的图象关于直线y = x
对称，则函数y = f (4 x - x
2)的递增区间是＿＿＿＿＿＿.
考法8：对数型函数的最值与值域
35.已知函数f ( x)=lg x +lg(2- x)，则
A. f ( x)在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增
B. f ( x)在(0,2)单调递减
C. f ( x)的图像关于直线x =1对称
D. f ( x)有最小值，但无最大值
36.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数f ( x)=lg 1
x +lg(2 x
2)，则
A. f ( x)为减函数
B. f ( x)=1⇔x =5
C. f ( x)的值域为R
D. f ( x)<2⇔x<50
37.已知函数f ( x)= loga x(a>0,a≠1)在[1,4 ]上的最大值是 2，则a等于＿＿＿＿＿＿
38.（2025·江西三新教研共同体·3 月联考）已知函数f ( x)= log2( x
2-2ax)在[2,4 ]上的最小
值是 1，则a=＿＿＿＿＿＿
39.若函数f ( x)= loga x(a>0且a≠1)在[ 1
2 ,4 ]上的最大值为 2，最小值为m，函数
g( x)=(3+2m)❑√x在[0,+∞)上是增函数，则a-m的值是＿＿＿＿＿＿．
考点三：对数函数的综合应用
考法9：利用图像解对数不等式
40.已知函数f ( x)= log2 x -( x -1)
2，则不等式f ( x)<0的解集为
A. (-∞,1)∪(2,+∞) B. (0,1)∪(2,+∞)
C. (1,2)
D. (1,+∞)
41.（多选）当0< x ≤1
2时，4
x≤loga x，则a的值可以为
A.
❑√2
2
B.
❑√3
2
C.
❑√6
3
D. ❑√2
42.不等式2log3 x -( x -1)( x -2)>0的解集为＿＿＿＿＿＿．
考法10：对数不等式恒成立求参数范围
43.已知函数f ( x)= 9+ x
2
x
，g( x)= log2 x +a，若存在x1∈[3,4 ]，任意x2∈[ 4 ,8]，使得
f ( x1)≥g( x2)，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
44.若∀x∈[ 1
2 ,2]，不等式2 x
2- x log 1
2
x +ax<0恒成立，则实数a的取值范围为＿＿＿＿＿
＿．
45.已知函数f ( x)= x
2-2 x +3，g( x)= log2 x +m，对任意的x1，x2∈[1,4 ]有f ( x1)> g( x2)恒
成立，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
46.已知函数f ( x)=(loga x)
2+2loga x +3(a>0,a≠1).
（1）若f （3）=2，求a的值；
（2）若对任意的x∈[8,12]，f ( x)>6恒成立，求a的取值范围.
47.已知f ( x)=3-2log2 x，g( x)= log2 x.
（1）当x∈[1,4 ]时，求函数y =[ f ( x)+1]⋅g( x)的值域；
（2）对任意x∈[2
n,2
n+1] ，其中常数n∈N，不等式f ( x
2)⋅f (❑√x)>k ⋅g( x)恒成立，求实
数k的取值范围.
考法11：指对函数交点与反函数对称性
48.（2025·河南H20 高中联盟·4 月联考）已知函数f ( x)= log5 x ,g( x)是f ( x)的反函数，则
f （1）+ g（1）=
A. 10
B. 8
C. 5
D. 2
49.若x1满足2
x=5- x，x2满足x + log2 x =5，则x1+ x2等于
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
50.已知x1，x2分别是方程x +e
x =3和x + ln x =3的根，若x1+ x2=a+b，实数a,b>0，则7b
2+1
ab
的最小值为
A. 1
B. 7
3
C. 67
9
D. 2
51.（多选）已知a>1,b>1，a
a-1 =2
a，b
b-1 = log2b，则以下结论正确的是
A. a+2
a=b+ log2b
B. 1
2
a +
1
log2b =1
C. a-b<-2
D. a+b>4
考法12：利用指对同构解方程或比较大小
52.（2024·江西上饶六校联盟·5 月模拟）若ae
a=b ln b(a>0)，则
A. a<b
B. a=b
C. a>b
D. 无法确定
53.（2026·山东泰安·二模）实数a,b满足(a+1)(log2a-1)=(b-1)(2
b+1)=2026，则
ab-a+b=
A. 2025
B. 2026
C. 2027
D. 2028
54.（2026·河北金科大联考·2 月联考）若e
m+m= ln(-n)+ 1
n =0，则mn=
A. 1
e
B. 1
C. 2
D. e
55.（2026·山东日照·二模）已知正实数a,b满足a-2ln a=2ln b- 4 b+ 4，则a
b=＿＿＿＿＿
＿.
56.正数a,b满足2
a- 4
b= log2b- log2a，则a与2b大小关系为＿＿＿＿＿＿．
57.已知正实数m,n满足：n ln n=e
m-n ln m，则n
m的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：对数型复合函数的综合应用
58.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）（多选）设f ( x)= loga( x +1)，
g( x)= loga(1- x)，(a>0且a≠1)，则有
A. f ( x)+ g( x)定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞)
B. f ( x)+ g( x)是偶函数
C. 当0<a<1时，f ( x)- g( x)在(-1,1)上单调递减
D. 当a>1时，f(x
2+a- 1
2)- f(
1
2 - x
2)> g(x
2+a- 1
2)- g(
1
2 - x
2)恒成立
