第10 讲 对数与对数函数 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
A
C
B
B
D
6
7
8
9
10
A
B
A
BC
BC
11
12
13
14
15
BCD
5
6
8
(1,2)
（1）a= 1
3
（2）
( 1
2 ,1)∪(1,8
16
17
18
19
（1）[0,2] （2）当n=0时
k ∈(-∞,-2)，当n=1时
k ∈(-∞,-3)，当n≥2时
k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n )
（1）
f ( x)= log 1
2
∥x∥
（答案不唯一）
（2）证明见解析
（1）3
（2）
(-∞,-1]
（1）证
明见解析
（2）e
2
4
1.（2026·雅礼中学·5 月模拟）log 1
2
sin15
∘+ log 1
2
cos15
∘=
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】log 1
2
sin15
∘+ log 1
2
cos15
∘= log 1
2
(sin15
∘cos15
∘)= log 1
2(
1
2 sin30
∘)= log 1
2
1
4 =2.
【点拨】本题考查对数的运算性质以及二倍角的正弦公式.
2.（2026·宁波十校·3 月联考）设a>0,b>0,lg ❑√2是lg 4
a与lg2
b的等差中项，则2a+b的值为
A. 1
4
B. 1
2
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】∵a>0,b>0,lg ❑√2是lg 4
a与lg2
b的等差中项，∴2lg ❑√2=lg 4
a+lg2
b，即lg2=lg2
2a+b，
∴2a+b=1.
【点拨】本题考查等差中项的性质及对数的运算.
3.（2026·龙岩市·3 月检测）某云计算平台处理文件量N（单位：GB）的所需时间
T =k log3 N（单位：min），其中k为常数.已知处理文件量从9GB 增加到729GB 时，处理
时间增加12min；当处理文件量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加
A. 3min
B. 6min
C. 9min
D. 24min
【答案】B
【解析】由题意可得k log3729-k log39=k(log33
6- log33
2)= 4 k =12，解得k =3，
∴当处理文件量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加
3 log36561-3 log3729=3(log33
8- log33
6)=3×2=6min.
【点拨】本题考查对数函数模型在实际问题中的应用，先求出参数k是解题关键.
4.函数y = log 1
4
( x
2- x -2)的单调递区间为
A. (-∞, 1
2 )
B. (-∞,-1)
C. ( 1
2 ,+∞)
D. (2,+∞)
【答案】B
【解析】函数y = log 1
4
( x
2- x -2)的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞)，
令t = x
2- x -2，又y = log 1
4
t在定义域内为减函数，
故只需求函数t = x
2- x -2在定义域(-∞,-1)∪(2,+ ∞)上的单调递减区间，
又∵函数t = x
2- x -2在(-∞,-1)上单调递减，
∴y = log 1
4
( x
2- x -2)的单调递增区间为(-∞,-1).
【点拨】本题考查复合函数的单调性，注意复合函数“同增异减”的原则，求解时必须在定义域
内进行.注：原卷题目“单调递区间”实为“单调递增区间”之误.
5.若函数f ( x)={
2+a
x ,
x ≤1,
2a+ loga x ,
x>1 在R上单调，则a的取值范围是
A. (0,1)
B. [2,+∞)
C. (0, 1
2 )∪(2,+ ∞)
D. (0,1)∪[2,+ ∞)
【答案】D
【解析】若f ( x)在R上单调递增，则{
a>1
2+a≤2a+ loga1，解得a∈[2,+ ∞)，
若f ( x)在R上单调递减，则{
0<a<1
2+a≥2a+ loga1，解得a∈(0,1).
综上得a∈(0,1)∪[2,+∞).
【点拨】本题考查分段函数的单调性，需分单调递增和单调递减两种情况讨论，并注意分界点处
的函数值大小关系.
6.已知x1是方程x⋅3
x =2的根，x2是方程x⋅log3 x =2的根，则x1⋅x2的值为
A. 2
B. 3
C. 6
D. 10
【答案】A
【解析】方程x⋅3
x =2可变形为方程3
x = 2
x ，方程x⋅log3 x =2可变形为方程log3 x = 2
x ，
∵x1是方程x⋅3
x=2的根，x2是方程x⋅log3 x =2的根，
∴x1是函数y =3
x与函数y = 2
x 的交点横坐标，x2是函数y = log3 x与函数y = 2
x 的交点横坐标，
∵函数y =3
x与函数y = log3 x互为反函数，
∴函数y = log3 x与函数y = 2
x 的交点横坐标x2等于函数y =3
x与函数y = 2
x 的交点纵坐标，
即( x1, x2)在函数y = 2
x 图象上，
又∵y = 2
x 图象上点的横纵坐标之积为2，∴x1 x2=2.
【点拨】本题考查反函数的性质及函数交点问题，将方程的根转化为函数交点是解题关键.
7.（2026·百师联盟·5 月模拟）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的
安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn= 2
3 lg v + 1
20（其中v为轮
毂高度风速，单位：m/ s，n为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂
高度瞬时风速达到32m/ s，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：
10
0.05≈1.12,10
0.72≈5.25,lg2≈0.3010）
A. 9 级
B. 11 级
C. 13 级
D. 15 级
【答案】B
【解析】将v =32代入方程lgn= 2
3 lg v + 1
20，得lgn= 2
3 lg32+ 1
20 ≈1.05，
∴n=10
1.05=10×10
0.05≈11.2，即风力等级约为11 级.
【点拨】本题考查对数在实际问题中的应用，将已知数据代入模型进行对数运算即可.
8.已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)= log2 x，则f ( x)≥-2的解集是
A. [- 4 ,0]∪[ 1
4 ,+ ∞) B. [- 1
4 ,0]∪[ 4 ,+∞)
C. [- 4 ,0)∪[ 1
4 ,+∞) D. [- 1
4 ,0)∪[ 4 ,+∞)
【答案】A
【解析】当x<0时，- x>0，∴f (- x)= log2(- x)，
∵函数f ( x)是定义在R上的奇函数，∴f ( x)=- f (- x)=- log2(- x)，
∴当x<0时，f ( x)=- log2(- x)，
∴f ( x)={
- log2(- x),
x<0
0,
x =0
log2 x ,
x>0
，
要解不等式f ( x)≥-2，只需{
x>0
log2 x ≥-2或{
x<0
- log2(- x)≥-2或{
x =0
0≥-2，
解得x ≥1
4 或- 4≤x<0或x =0，
综上，不等式的解集为[- 4 ,0]∪[ 1
4 ,+∞).
【点拨】本题考查奇函数的性质及对数不等式的解法，利用奇偶性求出x<0时的解析式是关键.
9.（2026·南京市·二模）已知a>0,b>0，且a≠1,b≠1,logab<1，则下列不等式可能成立的
是
A. 1<a<b
B. 1<b<a
C. a<1<b
D. b<a<1
【答案】BC
【解析】若a>1，由logab<1= logaa，得0<b<a，此时1<b<a或b<1<a（即b<1,a>1）；
若0<a<1，由logab<1= logaa，得b>a，此时0<a<b<1或b>1>a（即a<1<b）.
综上所述，可能成立的是B、C.
【点拨】本题考查对数函数的单调性，需分a>1和0<a<1两种情况讨论.
10.（2025·保定市·二模）若函数f ( x)=lg 1
x +lg(2 x
2)，则
A. f ( x)为减函数
B. f ( x)=1⇔x =5
C. f ( x)的值域为R
D. f ( x)<2⇔x<50
【答案】BC
【解析】∵f ( x)=lg 1
x +lg(2 x
2)=lg(
1
x ⋅2 x
2)=lg(2 x)=lg2+lg x，x>0，
∴f ( x)为增函数，f ( x)的值域为R，故选项A 错误，选项C 正确；
f ( x)=1⇔lg(2 x)=1⇔2 x =10⇔x =5，故选项B 正确；
f ( x)<2⇔lg(2 x)<2⇔0<2 x<100⇔0< x<50，故选项D 错误.
【点拨】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，化简解析式时需注意定义域.
11.（2026·南雅中学·检测）设f ( x)= loga( x +1)，g( x)= loga(1- x)，(a>0 且a≠1)，则有
A. f ( x)+ g( x)定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞)
B. f ( x)+ g( x)是偶函数
C. 当0<a<1时，f ( x)- g( x)在(-1,1)上单调递减
D. 当a>1时，f(x
2+a- 1
2)- f(
1
2 - x
2)> g(x
2+a- 1
2)- g(
1
2 - x
2)恒成立
【答案】BCD
【解析】由题设f ( x)+ g( x)= loga( x +1)+ loga(1- x)，则{
x +1>0
1- x>0 ⇒-1< x<1，定义域为(-1,1)，
A 错；
由f (- x)+ g(- x)= loga(- x +1)+ loga(1-(- x))= loga( x +1)+ loga(1- x)= f ( x)+ g( x)，∴
f ( x)+ g( x)为偶函数，B 对；
由题设f ( x)- g( x)= loga( x +1)- loga(1- x)，定义域为(-1,1)，
由0<a<1，则f ( x)在定义域上单调递减，g( x)在定义域上单调递增，
∴f ( x)- g( x)在(-1,1)上单调递减，C 对；
当a>1时，令K ( x)= f ( x)- g( x)，则K ( x)在定义域(-1,1)上单调递增，
原不等式等价于K(x
2+a- 1
2)> K(
1
2 - x
2).
根据单调性，此不等式成立的条件为x
2+a- 1
2 > 1
2 - x
2，即a>1-2 x
2.
∵题设条件为a>1，且对于任意实数x都有1-2 x
2≤1，∴a>1-2 x
2恒成立.
因此，只要x的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D 正确.
【点拨】本题考查对数函数的定义域、奇偶性及单调性的综合应用，构造函数K ( x)是判断D 选项
的关键.
12.（2026·泰安市·二模）已知实数m>0，且m≠1，若(4 m)
3m=m
8m，则logm2=＿＿＿＿＿
＿.
【答案】5
6
【解析】由(4 m)
3m=m
8m，两边取以m为底的对数，得logm(4 m)
3m= logmm
8m，即
3mlogm(4 m)=8m，因为m>0，所以3(logm4+1)=8，即6 logm2+3=8，解得logm2= 5
6.
【点拨】本题考查对数的运算性质，两边取同底的对数是解题的关键.
13.计算log332⋅log49- log2
3
4 + log26的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【解析】原式
= log32
5⋅log2
23
2- log2 3
4 + log26=5log32⋅log23- log2 3
4 + log26=5- log2 3
4 + log26=5+ log2 6
3
4
=5+ log28=8
【点拨】本题考查对数的换底公式及运算性质，熟练掌握公式是解题关键.
14.若函数f ( x)= loga( x
2-ax +1)有最小值，则a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(1,2)
【解析】当0<a<1时，外层函数y = logau为减函数，对于内层函数u= x
2-ax +1，Δ=a
2- 4<0，
则u>0对任意的实数x恒成立，由于二次函数u= x
2-ax +1有最小值，此时函数
f ( x)= loga( x
2-ax +1)没有最小值；
当a>1时，外层函数y = logau为增函数，对于内层函数u= x
2-ax +1，函数u= x
2-ax +1有最小值，
若使得函数f ( x)= loga( x
2-ax +1)有最小值，则{
Δ=a
2- 4<0
a>1
，解得1<a<2.
综上所述，实数a的取值范围是(1,2).
【点拨】本题考查复合函数的单调性与最值，需分a>1和0<a<1讨论，并注意真数大于0 的条件.
15.（13 分）已知函数f ( x)=(loga x)
2+2loga x +3(a>0,a≠1).
（1） 若f （3）=2，求a的值；
（2） 若对任意的x∈[8,12]，f ( x)>6恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）a= 1
3 （2）( 1
2 ,1)∪(1,8)
【解析】（1） ∵f （3）=2，∴(loga3)
2+2loga3+3=2，........................................................2 分
∴(loga3+1)
2=0，∴loga3=-1，...................................................................................................... 4 分
解得a= 1
3..................................................................................................................................................6 分
（2） 由f ( x)>6，得(loga x)
2+2loga x -3>0，即(loga x +3)(loga x -1)>0，
即loga x<-3或loga x>1.........................................................................................................................8 分
当0<a<1时，loga12≤loga x ≤loga8，则loga8<-3或loga12>1，
∵loga12<loga1=0，则loga12>1不成立，
由loga8<-3可得(
1
a)
3
<8，得1
2 <a<1；...........................................................................................10 分
当a>1时，loga8≤loga x ≤loga12，则loga12<-3或loga8>1，
∵loga12>loga1=0，则loga12<-3不成立，∴loga8>1，解得1<a<8......................................12 分
综上，a的取值范围是( 1
2 ,1)∪(1,8)................................................................................................13 分
【点拨】本题考查对数函数的性质及恒成立问题，换元法解一元二次不等式以及分类讨论底数a是
解题的关键.
16.（15 分）已知f ( x)=3-2log2 x , g( x)= log2 x.
（1） 当x∈[1,4 ]时，求函数y =[ f ( x)+1]⋅g( x)的值域；
（2） 对任意x∈[2
n,2
n+1]，其中常数n∈N，不等式f ( x
2)⋅f (❑√x)>k ⋅g( x)恒成立，求实
数k的取值范围.
【答案】（1）[0,2] （2）当n=0时k ∈(-∞,-2)，当n=1时k ∈(-∞,-3)，当n≥2时
k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n )
【解析】（1） ∵f ( x)=3-2log2 x , g( x)= log2 x，
令y =h( x)=(4 -2log2 x)⋅log2 x =-2(log2 x -1)
2+2，...................................................................2 分
∵x∈[1,4 ]，∴log2 x∈[0,2]，...................................................................................................... 4 分
所以当log2 x =1，即x =2时取最大值h( x)max =2，当log2 x =0或2，即x =1或x = 4时取最小值
h( x)min=0，
∴函数h( x)的值域为[0,2]....................................................................................................................6 分
（2） 由f ( x
2)⋅f (❑√x)>k ⋅g( x)得(3- 4 log2 x)(3- log2 x)>k ⋅log2 x，
令t = log2 x，∵x∈[2
n,2
n+1]，∴t = log2 x∈[n,n+1]，
∴(3- 4 t )(3-t )>k ⋅t对一切的t ∈[n,n+1]恒成立，.....................................................................8 分
①当n=0时，若t =0时，k ∈R；
当t ∈(0,1]时，k < (3- 4 t )(3-t )
t
恒成立，即k <4t + 9
t -15，
函数4t + 9
t -15在t ∈(0,1]单调递减，于是t =1时取最小值-2，此时x =2，
于是k ∈(-∞,-2)；............................................................................................................................10 分
②当n=1时，此时t ∈[1,2]时，k < (3- 4t )(3-t )
t
恒成立，即k <4 t + 9
t -15，
∵4t + 9
t ≥12，当且仅当4t = 9
t ，即t = 3
2时取等号，即4t + 9
t -15的最小值为-3，k ∈(-∞,-3)；
.................................................................................................................................................................12 分
③当n≥2时，此时t ∈[n,n+1]时，k < (3- 4t )(3-t )
t
恒成立，即k <4 t + 9
t -15，
函数4t + 9
t -15在t ∈[n,n+1]单调递增，于是t =n时取最小值4 n-15+ 9
n，
此时x =2
n，于是k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n )............................................................................................14 分
综上可得：当n=0时k ∈(-∞,-2)，当n=1时k ∈(-∞,-3)，当n≥2时，k ∈(-∞,4 n-15+ 9
n ).
.................................................................................................................................................................15 分
【点拨】本题考查对数函数的复合函数值域及恒成立问题，分离参数法和基本不等式的结合是解
题关键.
17.（15 分）已知函数f ( x)同时具有下列性质：
① f ( x1 x2)= f ( x1)+ f ( x2)；
② 当x∈(0,+∞)时，f ( x)单调递减；
③ f ( x)为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数f ( x)的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
【答案】（1）f ( x)= log 1
2
| x|（答案不唯一） （2）证明见解析
【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为f ( x)= log 1
2
| x|（答案不唯一）...........................6 分
（2） 证明：
对于性质①：f ( x1 x2)= log 1
2
| x1 x2|= log 1
2
(| x1|⋅| x2|)= log 1
2
| x1|+ log 1
2
| x2|= f ( x1)+ f ( x2)，
故满足性质①...........................................................................................................................................9 分
对于性质②：当x∈(0,+∞)时，f ( x)= log 1
2
x，因为底数1
2 ∈(0,1)，所以f ( x)在(0,+∞)上单调
递减，故满足性质②.............................................................................................................................12 分
对于性质③：函数f ( x)= log 1
2
| x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称.且
f (- x)= log 1
2
|- x|= log 1
2
| x|= f ( x)，所以f ( x)为偶函数，故满足性质③................................15 分
【点拨】本题考查对数函数的抽象性质，根据性质特征构造具体的对数函数是解题关键.
18.（17 分）已知函数f ( x)= x
2-2 x +3,g( x)= log2 x +m.
（1） 求函数f ( x)在区间[2,4 ]上的最小值；
（2） 若对∀x1∈[2,4 ],∃x2∈[16,32]，使得f ( x1)≥g( x2)，求实数m的取值范围.
【答案】（1）3 （2）(-∞,-1]
【解析】（1） ∵f ( x)= x
2-2 x +3=( x -1)
2+2，其对称轴为x =1，............................................4 分
∴f ( x)在[2,4 ]上单调递增，
∴f ( x)min= f （2）=3............................................................................................................................7 分
（2） ∵对∀x1∈[2,4 ],∃x2∈[16,32]，使得f ( x1)≥g( x2)，
∴f ( x1)min≥g( x2)min，......................................................................................................................... 11 分
由（1）知f ( x1)min=3，
又∵g( x)= log2 x +m在[16,32]上单调递增，
∴g( x)min= g（16）= 4 +m，..........................................................................................................14 分
∴3≥4 +m，解得m≤-1，
即m∈(-∞,-1]...................................................................................................................................17 分
【点拨】本题考查二次函数与对数函数的最值问题，理解“任意”与“存在”量词转化为最值关
系是解题关键.
19.（17 分）已知正实数m,n满足：n ln n=e
m-n ln m.
（1） 证明：m- ln n= ln m；
（2） 求n
m的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）e
2
4
【解析】（1） 证明：由n ln n=e
m-n ln m可得：e
m
n = ln m+ ln n，
∴e
m-lnn- ln n= ln m，
即e
m-lnn+m- ln n=m+ ln m=e
lnm+ ln m，...........................................................................................3 分
设f ( x)=e
x+ x，f
'( x)=e
x+1>0，
∴f ( x)在R上单调递增，.......................................................................................................................6 分
∴f (m- ln n)= f (ln m)，
则m- ln n= ln m.......................................................................................................................................8 分
（2） 由（1）知ln n= ln e
m
m ，∴n= e
m
m ，
∴n
m = e
m
m
2，............................................................................................................................................10 分
令g( x)= e
x
x
2，g
'( x)= e
x⋅x
2-e
x⋅2 x
x
4
= e
x( x -2)
x
3
，........................................................................13 分
令g
'( x)>0，解得：x>2；令g
'( x)<0，解得：0< x<2；
∴g( x)在(0,2)上单调递减，在(2,+ ∞)上单调递增，...................................................................16 分
∴g( x)min= g（2）= e
2
4 .
故n
m的最小值为e
2
4 ................................................................................................................................ 17 分
【点拨】本题考查利用同构思想解决等式问题，以及利用导数求函数最值，构造合适的函数是解
题关键.
