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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理）
一、选择题
1.设
，则
( ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
设
，则
，
，所以
，
，所
以
.
2.已知集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，
；
当
，
时，
；当
，
时，
.所以
，
.故选C.
3.已知命题
﹐
；命题
，则下列命题中为真命题的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域
，故
，
，
为真命题，而函数
为偶函数，且
时，
，故
，
恒成立.，则也为真命题，所以
为真，选A.
4.设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，
向右平移一个单位，向上平移一个单位得到
2
( )
g x
x
为奇函
数.
5.在正方体
中，
为
的中点，则直线
与
所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
如图，
为直线
与
所成角的平面角.
易知
为正三角形，又
为
中点，所以
.
6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶个项目进行培训，每名
志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A.
种
B.
种
C.
种
D.
种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为
.
7.把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲线
向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
逆向：
.
故选B.
8.在区间
与
中各随机取个数，则两数之和大于
的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意记
，
，题目即求
的概率，绘图如下所示.
故
.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如
图，点
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，
称为“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”.
与
的差称为“表
目距的差”，则海岛的高
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
连接
交
于
，则
.
记
，
，则
.
而
，
.所以
.
故
，所以高
.
10.设
，若
为函数
的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
若
，其图像如图（1），此时，
；若
，时图像如图（2），此时，
.
综上，
.
11.设
是椭圆
：
的上顶点，若
上的任意一点
都满足，
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由题意，点
，设
，则
，故
，
.
由题意，当
时，
最大，则
，
，
，
，
.
12.设
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析:
设
，则
，易得
.
当
时，
，故
.
所以
在
上单调递减，所以
，故
.
再设
，则
，易得
.
当
时，
，所以
在
上
.
故
在
上单调递增，所以
，故
.
综上，
.
二、填空题
13.已知双曲线
：
的一条渐近线为
，则
的焦距为
.
答案：
解析：
易知双曲线渐近线方程为
，由题意得
，
，且一条渐近线方程为
，则有
（舍去），
，故焦距为
.
14.已知向量
，
，若
，则
.
答案：
解析：
由题意得
，即
，解得
.
15.记
的内角
，
，
的对边分别为，，，面积为
，
，
，则
.
答案：
解析：
，所以
，
由余弦定理，
，所以
.
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面
平面
，
，
，
，
俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2），
平面
，
，
，
，俯视图为④.
三、解答题
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了
件产品，得到产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和
， 样本方差分别
己为
和
.
（1）求，
，
，
：
（2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否
则不认为有显著提高 ) 。
答案：
见解析
解析：
（1）各项所求值如下所示.
，
，
，
.
（2）由（1）中数据得
.显然
.所以不认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
,
为
的中点，且
.
（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值.
答案：
见解析
解析：
（1）因为
平面
，且矩形
中，
.所以以
，
，
分别为
，
，轴正方向，
为原点建立空间直角坐标系
.设
，
，
，
，
，所以
，
因为
，所以
所以
，所以
.
(2) 设平面
的一个法向量为
，由于
，则
.令
，的
.设平面
的一个法向量为
，则
. 令
，的
. 所以
，所以二面角
的正弦值为
.
19.记
为数列
的前项和，
为数列
的前项积，已知
.
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）求
的通项公式.
答案：
见解析
解析：
（1）由已知
，则
，
，
，
故
是以
为首项，
为公差的等差数列.
（2）由（1）知
，则
，
时，
，
时，
，
故
.
20.设函数
，已知
是函数
的极值点.
（1）求；
（2）设函数
，证明：
.
答案：
见解析
解析：
（1）令
则
.
∵
是函数
的极值点.
∴
.
解得：
；
（2）由（1）可知：
，
要证
，即证
（
且
）
.
∵当
时，
.
当
时，
.
∴只需证明
令
，且易知
.
则
（i）当
时，易得
，则
在
上单调递减，
∵
，∴
，得证.
（ii）当
时，易得
，则
在
上单调递增.
∵
，∴
，得证.
综上证得
.
21.已知抛物线
：
的焦点为
，且
与圆
：
上点的
距离的最小值为.
（1）求
；
（2）若点
在
上，
，
是
的两条切线，
，
是切点，求
面积的最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）焦点
到
的最短距离为
，所以
.
（2）抛物线
，设
，
，
，得
：
，
：
，且
，
，
都过点
，则
，
故
：
，即
，
联立
，得
，
，
所以
，
，所以
.
而
，故当
时，
达到最大，最大值为
.
22.在直角坐标系
中，
的圆心为
，半径为.
（1）写出
的一个参数方程;
（2）过点
作
的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这
两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
（1）
的参数方程为
（
为参数）
（2）
的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为
，此时圆心到直线距离为
，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为
，化简为
，
此时圆心
到直线的距离为
，
化简得
，
两边平方有
，所以
.
代入直线方程并化简得
或
化为极坐标方程为
或
.
23.已知函数
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求
的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当
时，
，
当
时，不等式
，解得
；
当
时，不等式
，解得
；
当
时，不等式
，解得
.
综上，原不等式的解集为
.
（2）若
，即
，
因为
（当且仅当
时，
等号成立），所以
，所以
，即
或
，解得
.
