第11 讲 函数的图像 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
A
A
A
B
A
6
7
8
9
10
B
A
B
C
B
11
12
13
14
15
C
AB
ABC
ABD
D
16
17
18
19
20
D
ABC
D
A
A
21
22
23
24
25
B
C
B
A
C
26
27
28
29
30
A
A
C
C
D
31
32
33
34
35
ABCD
B
A
BC
e
36
37
38
t ≤9
4
5
{1
3 ,3}
1.（2026·滨州·二模）函数f ( x)= sin x + x
cos x + x
2在[- π ,π ]上的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为f (- x)= sin(- x)+(- x)
cos(- x)+(- x)
2 =-sin x - x
cos x + x
2 =- f ( x)，所以f ( x)为奇函数，排除B、D；当
x = π时，f (π )=
π
-1+ π
2 >0，排除C.故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通常利用函数的奇偶性、单调性及特殊值进行排除.
2.（2026·南京六合·一模）已知函数f ( x)= ln| x|
x
，则它的部分图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题设，函数的定义域为{x∣x≠0}，且f (- x)= ln|- x|
- x
=- ln| x|
x
=- f ( x)，所以
f ( x)= ln| x|
x
为奇函数，排除 B、D，当x>1时，ln| x|>0，故f ( x)= ln| x|
x
>0，排除 C.故选：
A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通常利用函数的定义域、奇偶性及特殊区间的符号进行排除.
3.（2026·枣庄·5 月模拟）函数f ( x)= x(e
- x -e
x)
x
2-1
的部分图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为{x∣x≠±1}.f (- x)=- x(e
x -e
- x)
(- x)
2-1
= x(e
- x -e
x)
x
2-1
= f ( x)，所以f ( x)为偶函
数，图象关于y轴对称，排除C、D.当x>1时，x>0，e
- x -e
x<0，x
2-1>0，所以f ( x)<0，排除
B.故选A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过分析函数的奇偶性以及在特定区间上的函数值符号即可
得出结论.
4.（2026·济南·二模）已知函数y = f ( x)的部分图象如图所示，则f ( x)的解析式可能为（
）
A. f ( x)= x
2-9
x
3+2 x
B. f ( x)= 4 x
x
2+2
C. f ( x)= 4 cos x
x
2+2
D. f ( x)= 4 sin x
x
2+2
【答案】B
【解析】由图象可知，函数f ( x)为奇函数，且当x>0时，f ( x)>0.对于A，f ( x)= x
2-9
x
3+2 x ，当
x =1时，f （1）=- 8
3 <0，不符合题意；对于B，f (- x)=- 4 x
(- x)
2+2
=- f ( x)，为奇函数，且当
x>0时，f ( x)>0，符合题意；对于C，f (- x)= 4 cos(- x)
(- x)
2+2
= f ( x)，为偶函数，不符合题意；对于
D，f ( x)= 4 sin x
x
2+2 ，当x = π时，f (π )=0，而图象在x>0时无零点，不符合题意.故选B.
【点拨】本题考查函数图象与解析式的对应关系，通常通过函数的奇偶性、特殊值及零点进行排
除.
5.（2026·淮北·一模）函数f ( x)=
x
1+e
- x在AI 神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的
非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为f ( x)大致图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵f ( x)=
x
1+e
- x ，∴f （1）=
1
1+e
-1 >0，排除选项 BD，∵f ( x)=
x
1+e
- x ，∴
f
'( x)= 1+e
- x+ x e
- x
(1+e
- x)
2
= 1+e
- x(1+ x)
(1+e
- x)
2
，设g( x)=1+e
- x(1+ x)，g
'( x)=-e
- x(1+ x)+e
- x =- x e
- x，
当g
'( x)>0时，即- x e
- x>0，x<0，则g( x)在x<0范围内是单调递增函数；当g
'( x)<0时，即
- x e
- x<0，x>0，则g( x)在x>0范围内是单调递减函数；当x>0时，∵g( x)>0，∴f
'( x)>0，∴
f ( x)在x>0范围内是单调递增函数；当x<0时，g( x)在x<0范围内是单调递增函数，∵
g（0）=1+e
-0(1+0)=2，g(-2)=1+e
2(1-2)=1-e
2<0，∴∃x0∈(-2,0)，使得g( x0)=0，
∴当x∈(-∞, x0)时，g( x)<0，f
'( x)<0，则f ( x)在x∈(-∞, x0)是单调递减函数；∴当
x∈( x0,0)时，g( x)>0，f
'( x)>0，则f ( x)在x∈( x0,0)是单调递增函数；则选项 A 符合.故选：
A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过求导分析函数的单调性及极值点是解题的关键.
6.函数y = 1
2 ( x -2)
2ln x
2的图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为y = 1
2 ( x -2)
2ln x
2，令y =0，则1
2 ( x -2)
2ln x
2=0，即( x -2)
2=0，解得x =2，或
ln x
2=0，解得x =±1，所以当x<0时，函数有1 个零点，当x>0时，函数有2 个零点，所以排除
AD；当x>0时，y = 1
2 ( x -2)
2ln x
2= 1
2 ( x -2)
2×2ln x =( x -2)
2ln x，则y
' =2( x -2)ln x + ( x -2)
2
x
，
当x>2时，y
'>0，所以当x∈(2,+ ∞)时，y
'>0，函数单调递增，所以B 正确；故选：B.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过分析函数的零点和导数判断单调性即可得出结论.
7.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波
叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（
）
A. y =sin x + 1
2 sin2 x + 1
3 sin3 x
B. y =sin x - 1
2 sin 2 x - 1
3 sin3 x
C. y =sin x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x
D. y =cos x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x
【答案】A
【解析】对于 A，函数y = f ( x)=sin x + 1
2 sin2 x + 1
3 sin3 x，因为
f (- x)=-sin x - 1
2 sin2 x - 1
3 sin3 x =- f ( x)，所以函数为奇函数，又
f ( π
4 )=
❑√2
2 + 1
2 +
❑√2
6 = 1
2 + 2❑√2
3
>0，故 A 正确；对于 B，函数y = f ( x)=sin x - 1
2 sin2 x - 1
3 sin3 x，
因为f (- x)=-sin x + 1
2 sin2 x + 1
3 sin3 x =- f ( x)，所以函数为奇函数，又
f ( π
4 )=
❑√2
2 - 1
2 -
❑√2
6 =
❑√2
3 - 1
2 < 1.5
3 - 1
2 =0，故 B 错误；对于 C，函数
y = f ( x)=sin x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x，因为f （0）= 1
2 + 1
3 = 5
6 ≠0，故 C 错误；对于 D，函数
y = f ( x)=cos x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x，f （0）=1+ 1
2 + 1
3 = 11
6 ≠0，故 D 错误，故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除是常用的方法.
8.已知函数f ( x)在[- 4 ,4 ]上的大致图象如下所示，则f ( x)的解析式可能为（ ）
A. f ( x)=
3| x|⋅(1+cos πx
4 )
2
B.
f ( x)=| x|⋅(16- x
2)
10
C. f ( x)=| x|⋅(4 -| x|)
D. f ( x)=| x|⋅sin πx
4
【答案】B
【解析】函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项D 中函数满足
f (- x)=|- x|sin(- πx
4 )=-| x|sin πx
4 =- f ( x)，为奇函数，排除D；又选项C 中函数满足
f （2）= 4，与图象不符，排除C；选项A 中函数满足f （2）=
3×2×(1+cos 2π
4 )
2
=3，与图
象不符，排除A，只有B 可选.故选：B.
【点拨】本题考查由函数图象选择解析式，主要利用函数的奇偶性以及特殊点的函数值进行排除.
9.已知函数f ( x)在[-2,2]上的图像如图所示，则f ( x)的解析式可能是（ ）
A. f ( x)=2-e
2- x
B. f ( x)= x
2-| x|-2
C. f ( x)=2 x
2-e
| x|
D. f ( x)= ln( x
2-2| x |+2)-1
【答案】C
【解析】由题图，知函数f ( x)的图像关于y轴对称，所以函数f ( x)是偶函数，故排除A；对于
B，f ( x)={
x
2- x -2, x ≥0
x
2+ x -2, x<0，虽然函数f ( x)为偶函数且在(0, 1
2 )上单调递减，在( 1
2 ,2)上单调递增，
但f （2）=0，与图像不吻合，排除B；对于D，因为f ( x)= ln((| x |-1)
2+1)-1= f (- x)，所以
函数f ( x)是偶函数，但f （2）= ln2-1<0，与图像不吻合，排除D；对于C，函数f ( x)为偶函
数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分.当x∈(0,2)时，f ( x)=2 x
2-e
x，f
'( x)= 4 x -e
x，
令φ( x)= 4 x -e
x，求导，得φ
'( x)= 4 -e
x.当x∈(0,ln 4)时，φ
'( x)>0，f
'( x)单调递增，当
x∈(ln 4 ,2)时，φ
'( x)<0，f
'( x)单调递减，所以f
'( x)在x = ln 4处取得最大值.又因为
f
'（0）<0，f
'(ln 4)>0，f
'（2）>0，所以∃x0∈(0,ln 4)，使得f
'( x0)=0，当x∈(0, x0)时，
f
'( x)<0，f ( x)单调递减，当x∈( x0,2)时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增，f （2）=8-e
2>0与图
像吻合.故选：C.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过奇偶性、特殊值及导数分析单调性进行排除是解题关键.
10.已知函数f ( x)的部分图象如图所示，则f ( x)的解析式可能为（ ）
A. f ( x)= x cos π( x +1) B. f ( x)=( x -1)cos πx
C. f ( x)=( x -1)sin πx D. f ( x)= x
3-2 x
2+ x -1
【答案】B
【解析】对于 A 选项，f （0）=0，A 选项错误；对于 C 选项，f （0）=0，C 选项错误；对
于 D 选项，f
'( x)=3 x
2- 4 x +1，f
'( x)=0有两个不等的实根，故f ( x)有两个极值点，D 选项错误.
对于 B 选项，f ( x)=( x -1)cos πx，f （0）<0；当x∈(- 1
2 , 1
2 )，k ∈Z时，cos πx>0，
x -1<0，此时f ( x)<0，当x∈( 1
2 ,1)，k ∈Z时，cos πx<0，x -1<0，此时f ( x)>0，当
x∈(1, 3
2 )，k ∈Z时，cos πx<0，x -1>0，此时f ( x)<0，依次类推可知f ( x)函数值有正有负；
显然f ( x)不单调；因为当x = 1
2 +k ,k ∈Z时f ( x)=0，所以f ( x)有多个零点；因为
f （2）=1,f (-2)=-3，所以f （2）≠f (-2),f （2）≠- f (-2)，所以f ( x)既不是奇函数也
不是偶函数，以上均符合，故 B 正确.故选：B.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过特殊点的函数值、零点及极值点个数进行排除.
11.（2026·山师附中·3 月检测）函数f ( x)= A tan(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2 )的部分图象如图所
示，则f ( 13 π
12 )=（ ）
A. 1
B. ❑√3
C. 3
D. 3 ❑√3
【答案】C
【解析】由图知π
2ω = 5 π
12 - π
6 = π
4 ，得到ω=2，又由图知{
f （0）= A tan φ =1
f ( 5 π
12 )= A tan(2× 5 π
12 +φ)=0，由
A tan( 5 π
6 +φ)=0，得到φ=- 5 π
6 +kπ，又|φ|< π
2 ，所以φ= π
6 ，由A tan π
6 =1，得到A = ❑√3，所
以f ( x)= ❑√3 tan(2 x + π
6 )，得到f ( 13 π
12 )= ❑√3 tan(2× 13 π
12 + π
6 )= ❑√3 tan( 7 π
3 )=3.
【点拨】本题考查正切型函数的图象与性质，通过图象求出解析式是解题的关键.
12.（2026·蚌埠·二模）（多选）已知函数f ( x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2)的部分图象如
图所示，则（ ）
A. ω=2
B. f ( x)的图象关于直线x = 2π
3 对称
C. f ( x)在区间[ π
6 , 11π
12 ]上单调递减
D. 将f ( x)图象向右平移7 π
12 个单位长度后得到函数h( x)的图象，则h( x)为偶函数
【答案】AB
【解析】由图可知T =2( 5 π
12 -(- π
12 ))= π，所以ω= 2π
T =2，A 正确.f ( x)=2sin(2 x +φ)，代入
(- π
12 ,0)得- π
6 +φ=kπ，结合图象在- π
12附近递增，φ= π
6 ，所以f ( x)=2sin(2 x + π
6 ).当x = 2π
3 时，
2 x + π
6 = 3 π
2 ，取得最小值，所以关于x = 2π
3 对称，B 正确.当x∈[ π
6 , 11π
12 ]时，
2 x + π
6 ∈[ π
2 ,2π ]，不单调，C 错误.h( x)=2sin(2( x - 7 π
12 )+ π
6 )=2sin(2 x - π )=-2sin2 x，为
奇函数，D 错误.故选AB.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，通过图象求出解析式，再利用解析式判断对称性、单
调性及平移变换.
13.（2026·德州·二模）（多选）如图，函数f ( x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2 )的图象上有
A(0,-1)，B( 2π
3 ,-1)两点，则（ ）
A. φ=- π
6
B. ω=2
C. f ( x)在区间( π
3 , 5 π
6 )上单调递减
D. f ( x + π
12 )为偶函数
【答案】ABC
【解析】由图象可知f （0）=-1，即2sin φ =-1，因为|φ|< π
2 ，所以φ=- π
6 ，A 正确.由图象的
对称性，直线x =
0+ 2π
3
2
= π
3
是对称轴，且为最小值点，所以2× π
3 - π
6 = 3 π
2 +2kπ，解得ω=2，B
正确.此时f ( x)=2sin(2 x - π
6 ).当x∈( π
3 , 5 π
6 )时，2 x - π
6 ∈( π
2 , 3 π
2 )，单调递减，C 正确.
f ( x + π
12 )=2sin(2( x + π
12 )- π
6 )=2sin2 x，为奇函数，D 错误.故选ABC.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，通过特殊点求出解析式是解题的关键.
14.（2026·德州·一模）（多选）函数f ( x)= A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|< π
2)的部分图象
如图所示，则（ ）
A. φ = π
3
B. f ( x)的图象关于点( π
12 ,0)对称
C. 函数f ( x)在区间[- 11π
12 ,- 7 π
12 ]上单调递增
D. 若f ( x)在区间[- π
12 ,a)上恰有一个最大值和一个最小值，则实数a的取值范围为
( 5 π
6 , 4 π
3 ]
【答案】ABD
【解析】由图可得A =2，函数的最小正周期T =2( 5 π
6 - π
3 )= π，又ω>0，所以ω= 2π
T =2，则
f ( x)=2cos(2 x +φ)，由f ( π
3 )=2cos(φ+ 2π
3 )=-2，得φ+ 2π
3 = π +2kπ，k ∈Z，解得
φ = π
3 +2kπ，k ∈Z，又- π
2 <φ< π
2 ，所以φ = π
3 ，故 A 正确；由上分析，得故
f ( x)=2cos(2 x + π
3 )，因为f ( π
12 )=2cos(2× π
12 + π
3 )=0，故函数f ( x)的图象关于点( π
12 ,0)对称，
故 B 正确；令2kπ - π ≤2 x + π
3 ≤2kπ，k ∈Z，解得kπ - 2π
3 ≤x ≤kπ - π
6 ，k ∈Z，故函数f ( x)的
单调递增区间为[kπ - 2π
3 ,kπ - π
6 ]，k ∈Z，令2kπ ≤2 x + π
3 ≤2kπ + π，k ∈Z，解得
kπ - π
6 ≤x ≤kπ + π
3 ，k ∈Z，故函数f ( x)的单调递减区间为[kπ - π
6 ,kπ + π
3 ]，k ∈Z，则函数
f ( x)在区间[- 11π
12 ,- 2π
3 ]上单调递减，在[- 2π
3 ,- 7 π
12 ]上单调递增，故 C 错误；当
x∈[- π
12 ,a)时，则(2 x + π
3 )∈[ π
6 ,2a+ π
3 )，要使f ( x)在区间[- π
12 ,a)上恰有一个最大值和一
个最小值，需使2π <2a+ π
3 ≤3 π，解得5 π
6 <a≤4 π
3 ，故 D 正确.故选：ABD.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，通过图象求出解析式，再利用解析式判断对称性、单
调性及极值点.
15.在同一直角坐标系中，函数y = loga(- x)，y = a-1
x
(a>0)，且a≠1的图象可能是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】若0<a<1，则a-1<0，y = a-1
x
的图象在第二、四象限，y = loga(- x)的定义域为x<0，
且在(-∞,0)上单调递增，没有符合的选项；若a>1，则a-1>0，y = a-1
x
的图象在第一、三象限，
y = loga(- x)的定义域为x<0，且在(-∞,0)上单调递减，D 选项符合.故选D.
【点拨】本题考查对数函数和反比例函数的图象，分类讨论参数a的取值范围是解题的关键.
16.在同一直角坐标系中，函数y = 1
a
x，y = loga( x + 1
2 )(a>0且a≠1)的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】当0<a<1时，函数y =a
x过定点(0,1)且单调递减，则函数y = 1
a
x 过定点(0,1)且单调递增，
函数y = loga( x + 1
2 )过定点( 1
2 ,0)且单调递减，D 选项符合；当a>1时，函数y =a
x过定点(0,1)且
单调递增，则函数y = 1
a
x过定点(0,1)且单调递减，函数y = loga( x + 1
2 )过定点( 1
2 ,0)且单调递增，
各选项均不符合.综上，选D.
【点拨】本题考查指数函数和对数函数的图象，分类讨论底数a的取值范围是解题的关键.
17.（多选）函数f ( x)= ax + ln| x|
sin x
(a≤0)在[-2π ,2π ]上的大致图像可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】①当a=0时，f ( x)= ln| x|
sin x ，f (- x)=- ln| x|
sin x =- f ( x)，函数f ( x)为奇函数，由x→0
时f ( x)→∞，x =±1时f ( x)=0等性质可知A 选项符合题意；②当a<0时，令
g( x)= ln| x|,h( x)=-ax，作出两函数的大致图象，由图象可知在(-1,0)内必有一交点，记横坐
标为x0，此时f ( x0)=0，故排除D 选项；当-2π < x< x0时，g( x)-h( x)>0，x0< x<0时，
g( x)-h( x)<0，若在(0,2π )内无交点，则g( x)-h( x)<0在(0,2π )恒成立，则f ( x)图象如C 选
项所示，故C 选项符合题意；若在(0,2π )内有两交点，同理得B 选项符合题意.故选：ABC.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过分类讨论参数a的取值，分析函数的奇偶性、零点及符号
变化是解题的关键.
18.已知函数y = loga( x +b)(a,b为常数，其中a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确
的是（ ）
A. a=0.5,b=2
B. a=2,b=2
C. a=0.5,b=0.5
D. a=2,b=0.5
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以a>1，排除A，C；又因为函数过点(0.5,0)，
所以b+0.5=1，解得b=0.5．故选：D
【点拨】本题考查对数函数的图象与性质，通过单调性确定底数的范围，再代入特殊点求参数.
19.函数f ( x)=
3+cos x
a x
2-bx +c 的图象如图所示，则（ ）
A. a>0,b=0,c<0
B. a<0,b=0,c<0
C. a<0,b<0,c =0
D. a>0,b=0,c>0
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以
f (- x)=
3+cos x
a x
2+bx +c
= f ( x)得：b=0，故C 错误；由图象可知f （0）= 4
c <0⇒c<0，故D 错误；
因为定义域不连续，所以a x
2-bx +c =0有两个根可得Δ=b
2- 4 ac>0，即a、c异号，a>0，即B
错误，A 正确.故选：A
【点拨】本题考查函数图象与解析式中参数的关系，通过函数的奇偶性、特殊值及定义域进行判
断.
20.若函数f ( x)=
2
a x
2+bx +c 的部分图象如图所示，则f （5）=（ ）
A. - 1
3
B. - 2
3
C. - 1
6
D. - 1
12
【答案】A
【解析】由图象知，a x
2+bx +c =0的两根为2，4，且过点(3,1)，所以{
9a+3b+c =1
2×4 = c
a
2+ 4 =- b
a
，解得
a=-2,b=12,c =-16，所以f ( x)=
2
-2 x
2+12 x -16
=
1
- x
2+6 x -8 ，所以
f （5）=
1
-25+30-8 =- 1
3，故选：A
【点拨】本题考查由函数图象求解析式，利用图象的渐近线（分母的零点）和特殊点列方程组求
解.
21.高为H、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中
流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v，则函数v = f (h)的大致图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h=0时，体积
v =0，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，
所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，通过分析水深变化时体积的变化率（即截面积大小）来
判断图象的凹凸性.
22.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景
德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图像大致是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，
且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，
直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C 选项符合.故选：C
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，水面高度上升的速度与容器的截面积成反比.
23.（2026·泰安·二模）2002 年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5 件漆木漏斗形器，被
确认为沙漏计时器，经3D 打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完
用时14.4 分钟，100 件漏完恰好为24 小时．如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，
则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度h与时间t的函数的大致图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】沙漏下漏过程中，沙子体积匀速减少.漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，截面积从上到
下先逐渐减小，后继续减小至零.剩余沙子的高度h随时间t的增加而减小.由于体积匀速减少，高度
下降的速度与当前截面积成反比.由于截面积不断减小，高度下降的速度越来越快.因此，h-t图象
的斜率绝对值越来越大，曲线向下弯曲（凸函数）.结合选项，B 图象符合先慢后快的下降趋势.故
选B.
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，高度下降速率与截面积成反比是解题关键.
24.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图
象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设圆锥PO 底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO 交于点O'，水面半径AO'=x
，此时水面高度PO'=h，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，x
r = h
H ，即x = r
H ⋅h，则注入水的体积为
V = 1
3 π x
2h= 1
3 π( r
H ⋅h)
2⋅h= π r
2
3 H
2 ⋅h
3，令水匀速注入的速度为v，则注水时间为t时的水的体积
为V = vt，于是得π r
2
3 H
2 ⋅h
3= vt ⇒h
3= 3 H
2vt
π r
2
⇒h=
3√
3 H
2v
π r
2 ⋅
3√t，而r , H ,v都是常数，即
3√
3 H
2v
π r
2
是常数，所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是h=
3√
3 H
2v
π r
2 ⋅
3√t ,0≤t ≤π r
2 H
3 v
，
h
' =
3√
3 H
2v
π r
2 ⋅1
3 t
- 2
3 >0，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即
图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B，C，D 三个选项与其图象都不同.故选：A
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，通过建立体积与高度的函数关系，再转化为高度与时间
的函数关系.
25.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15 分钟内的速度V ( x)(单位：米/分钟)与时间x
(单位：分钟)的关系．若定义“速度差函数”v( x)为无人机在时间段[0, x ]内的最大速度与
最小速度的差，则v( x)的图像为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可得，当x∈[0,6]时，无人机做匀加速运动，V ( x)=60+ 40
3 x，“速度差函
数”v( x)= 40
3 x；当x∈[6,10]时，无人机做匀速运动，V ( x)=140，“速度差函数”v( x)=80；
当x∈[10,12]时，无人机做匀加速运动，V ( x)= 40+10 x，“速度差函数”v( x)=-20+10 x；
当x∈[12,15]时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”v( x)=100，结合选项C 满足“速度差
函数”解析式，故选：C.
【点拨】本题考查新定义函数的图象，分段求出最大速度和最小速度的差是解题关键.
26.如图，正△ABC的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC，CB 运动到点B，
记∠ADP= x．函数f ( x)=| PB|
2-| PA |
2，则y = f ( x)的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据题意，f ( x)=| PB|
2-| PA |
2，∠ADP= x．在区间(0, π
2 )上，P 在边AC 上，
| PB|>| PA |，则f ( x)>0，排除C；在区间( π
2 ,π )上，P 在边BC 上，| PB|<| PA |，则f ( x)<0，
排除B，又由当x1+ x2= π时，有f ( x1)=- f ( x2)，f ( x)的图象关于点( π
2 ,0)对称，排除D，故选：
A
【点拨】本题考查几何动点问题中的函数图象，通过特殊位置的符号和对称性进行排除.
27.已知图1 对应的函数为y = f ( x)，则图2 对应的函数是（ ）
A. y = f (-| x|)
B. y = f (- x)
C. y = f (| x|)
D. y =- f (- x)
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当x ≤0时，所求函数图象与已知函数相同，当x>0时，所求函数图象
与x<0时图象关于y轴对称，即所求函数为偶函数且x ≤0时与y = f ( x)相同，故BD 不符合要求，
当x ≤0时，y = f (-| x|)= f ( x)，y = f (| x|)= f (- x)，故A 正确，C 错误.故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的翻折变换，掌握绝对值对函数图象的影响是解题关键.
28.函数f ( x)= ln(1- x)向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位的大致图像为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】先作出函数f ( x)= ln(1- x)的图像，再向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得解.如
图所示：
【点拨】本题考查函数图象的平移变换，遵循“左加右减，上加下减”的原则.
29.已知函数f ( x)的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式
（ ）
A. y = f (2 x -1)
B. y = f ( 4 x -1
2
)
C. y = f (1-2 x)
D. y = f ( 1- 4 x
2
)
【答案】C
【解析】y = f ( x)
→
①x→- x
y = f (- x)
→
②x→x -1
y = f (1- x) →
③x→2 x
y = f (1-2 x)，①关于y轴对称②向右
平移1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半.故选：C.
【点拨】本题考查函数图象的综合变换，理清平移、伸缩和对称的顺序是解题关键.
30.已知函数f ( x)={
-2 x(-1≤x ≤0),
❑√x(0< x ≤1), 则下列图象错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】当-1≤x ≤0时，f ( x)=-2 x，表示一条线段，且线段经过(-1,2)和(0,0)两点．当
0< x ≤1时，f ( x)= ❑√x，表示一段曲线．函数f ( x)的图象如图所示．
f ( x -1)的图象可由f ( x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A 正确；f (- x)的图象可由f ( x)
的图象关于y轴对称后得到，故B 正确；由于f ( x)的值域为[0,2]，故f ( x)=|f ( x)|，故|f ( x)|
的图象与f ( x)的图象完全相同，故C 正确；很明显D 中f (| x|)的图象不正确．故选：D．
【点拨】本题考查分段函数的图象及图象变换，分别画出各段图象再进行变换即可.
31.（2025·沧州·二模）（多选）已知函数y = f ( x)的图象与函数y =- ln(- x)的图象关于直
线y =- x对称，则（ ）
A. f ( x)-e
x≤0
B. f ( x)≥x +1
C. (1- x)f ( x)≤1
D. f ( x)- ln x>2
【答案】ABCD
【解析】设( x0, y0)为函数y =- ln(- x)的图象上任意一点，则y0=- ln(- x0)，设( x0, y0)关于直线
y =- x的对称点为( x , y)，则{
x0=- y
y0=- x，则- x =- ln y，所以y =e
x，即f ( x)=e
x.易知
e
x≥e x ,e
x≥x +1，即f ( x)-e x ≥0,f ( x)≥x +1，所以A 选项不正确（注：修正后A 选项为
f ( x)-e
x≤0，原题意图可能考查切线不等式，此处依修正后题意A 不正确，但原解析认为A 不正
确，B 选项正确）；则e
- x≥- x +1,e
x e
- x≥(- x +1)e
x，即(1- x)f ( x)≤1成立，所以C 选项正确；
又e
x≥x +1，当x =0时等号成立，ln x ≤x -1，当x =1时等号成立，则e
x - ln x ≥( x +1)-( x -1)=2
(等号不能同时成立)，所以e
x - ln x>2，即f ( x)- ln x>2，所以D 选项正确.故选ABCD.
【点拨】本题考查函数图象的对称性求解析式，以及利用导数证明不等式恒成立问题.
32.（2026·开封高中·学情调研）已知函数f ( x)=2
x +2+1，函数g( x)=3
x +1+1，若y = f ( x)与
y =m( x)的图象关于直线y = x对称，y = g( x)与y =n( x)的图象关于直线y = x对称，则下列
关系不可能成立的是（ ）
A. m(t )<n(t )<0
B. n(t )<m(t )<0
C. m(t )>n(t )>0
D. n(t )>m(t )>0
【答案】B
【解析】在y =m( x)上任意取点( x , y)，点( x , y)关于直线y = x的对称点为( y , x)，因为点( y , x)
在f ( x)=2
x +2+1上，故x =2
y +2+1，得y = log2( x -1)-2，即m( x)= log2( x -1)-2，同理得
n( x)= log3( x -1)-1，在同一坐标系内画出m( x)= log2( x -1)-2与n( x)= log3( x -1)-1的图象如
下：
得m(t )<n(t )<0或n(t )>m(t )>0或m(t )>n(t )>0成立，而n(t )<m(t )<0不成立.
【点拨】本题考查反函数的求解及对数函数图象的比较，数形结合是解题的关键.
33.（2026·湘潭·二模）已知函数f ( x)=
❑√1- x
2+1
x +2
的值域是[a,b]，则b-a=（ ）
A. 1
B. 2
3
C. 8
3
D. 2
【答案】A
【解析】因为1- x
2≥0，且x +2≠0，所以函数f ( x)=
❑√1- x
2+1
x +2
的定义域为x∈[-1,1]．设
A( x ,
❑√1- x
2)，B(-2,-1)，则f ( x)是直线AB的斜率．点A是半圆x
2+ y
2=1( y ≥0)上的动点．如
图，
设点P(1,0)，则k PB= 1
3．设切线BQ的方程为y +1=k( x +2)，即kx - y +2k -1=0．由圆心
O(0,0)到切线BQ的距离d =|2k -1|
❑√k
2+1
=1，解得k =0（舍去）或k = 4
3 ．由图可知k AB∈[ 1
3 , 4
3 ]，
即f ( x)的值域为[ 1
3 , 4
3 ]，则b-a= 4
3 - 1
3 =1．故选：A.
【点拨】本题考查函数值域的求解，利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率是解题的关键.
34.（2026·浙江强基联盟·3 月联考）（多选）已知曲线C由曲线C1:| x|
4
+| y |
2
=1( x<0)和
曲线C2:| y |= log5(
5- x
1+ x)+1(0≤x ≤4)组合而成，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C上两点之间距离的最大值为8
C. 曲线C所围成的图形的面积等于16
D. 曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为32π
3
【答案】BC
【解析】设f ( x)= log5 5- x
1+ x +1(0≤x ≤4)，因为
f (- x +2)+ f ( x +2)= log5
5-(- x +2)
1+(- x +2) +1+ log5
5-( x +2)
1+( x +2) +1= log5 3+ x
3- x + log5 3- x
3+ x +2= log5( 3+ x
3- x ⋅3- x
3+ x )+2=
所以曲线C在第一象限图像关于点(2,1)中心对称，又f ( x)= log5 5- x
1+ x +1= log5(-1+
6
1+ x )+1，
又y =-1+
6
1+ x 在[0,4 ]上单调递减，所以f ( x)在[0,4 ]上单调递减，故f ( x)的图像如图所示，在
方程| y |= log5( 5- x
1+ x )+1(0≤x ≤4)和| x|
4
+| y |
2
=1( x<0)将( x ,- y)代换( x , y)，方程不变，所
以曲线C关于x轴对称，当x<0, y >0时，方程为- x
4 + y
2 =1，当0≤x ≤4 , y >0时，方程为
y = log5( 5- x
1+ x )+1，故曲线C如图所示，由图可得曲线C上两点之间的距离的最大值为8，故A 错
误，B 正确；对于C 选项，由对称性可知，图中区域1 与区域2 的面积相等，所以C 正确；
对于D 选项，如图三块区域绕x轴旋转所得几何体的体积分别为V 1，V 2，V 3，由于V 1>V 2，区域
1 和区域3 旋转后构成一个三棱锥，由锥体的体积公式可得V = 1
3 ×π ×2
2×4 = 16 π
3
，所以
V 2+V 3<V 1+V 3= 16 π
3
，故D 错误．
【点拨】本题考查曲线的对称性、距离最值、面积及旋转体体积，通过分析函数的对称中心和单
调性画出图象是解题关键.
35.若关于x的方程e
x =a| x|恰有两个不同的实数解，则实数a=＿＿＿＿＿＿．
【答案】e
【解析】如图，显然a>0.当x ≤0时，由单调性得，方程e
x=-ax有且仅有一解.因此当x>0时，方
程e
x=ax也恰有一解.即y =ax为函数y =e
x的切线，y
' =e
x，令y
' =a得x = ln a，故当x = ln a时，
e
x=ax，得e
ln a=a ln a，即a=a ln a从而a=e.
【点拨】本题考查方程根的个数问题，转化为函数图象的交点问题，利用导数求切线斜率是解题
的关键.
36.定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +1)=2f ( x)，且当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|．若对
任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，则t的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
【答案】t ≤9
4
【解析】因为当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|，所以f ( x)={
2 x , x∈(0, 1
2 ]
2-2 x , x∈( 1
2 ,1]
，因为
f ( x +1)=2f ( x)，当x∈(1,2]时，即x -1∈(0,1]时，由f ( x)=2f ( x -1)，所以
f ( x)={
4 x - 4 , x∈(1, 3
2 ]
8- 4 x , x∈( 3
2 ,2]
，同理可得f ( x)={
8 x -16, x∈(2, 5
2 ]
24 -8 x , x∈( 5
2 ,3]
依此类推，作出函数f ( x)的图象，
如图所示：
由图象知：当2≤x ≤5
2时，令f ( x)=2，则8 x -16=2⇒x = 9
4 ，对任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，
则t ≤9
4 故t的取值范围为t ≤9
4 .
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，利用递推关系画出函数图象，结合数形结合求解.
37.若函数f ( x)={
2+ ln x , x>0
x , x ≤0
，g( x)= f ( x)+ f (- x)，则函数g( x)的零点个数为＿＿＿＿＿
＿．
【答案】5
【解析】令g( x)=0，则有f ( x)+ f (- x)=0，所以f ( x)=- f (- x)，当x>0时，则有
2+ ln x =-(- x)= x，即ln x = x -2, 在同一坐标系中作出y = ln x与y = x -2的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当x>0时，g( x)有2 个零点；当x<0时，则有
x =-[2+ ln(- x)]=- ln(- x)-2，即ln(- x)=- x -2，在同一坐标系中作出y = ln(- x)与y =- x -2
的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当x<0时，g( x)有2 个零点；当x =0时，
f ( x)= f (- x)=0，此时g( x)= f ( x)+ f (- x)=0，有1 个零点为x =0，综上所述，g( x)共有5 个零
点.
【点拨】本题考查函数零点个数问题，转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解.
38.已知函数f ( x)=|
x +a
x -a|( x≠a)，若关于x的方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，则
实数a的取值集合为＿＿＿＿＿＿．
【答案】{1
3 ,3}
【解析】f ( x)=|
x +a
x -a|=|1+ 2a
x -a|( x≠a)，当a=0时，f ( x)=1( x≠0)，此时f (f ( x))=2无解，不
满足题意；当a<0时，设t = f ( x)，则y = f (t )与y =2的图象大致如下，
则f (t )=2对应的2 个根为t1<a<t2<0，此时方程f ( x)=t1,f ( x)=t2均无解，即方程f (f ( x))=2无
解，不满足题意；当a>0时，设m= f ( x)，则y = f (m)与y =2的图象大致如下，
则f (m)=2对应的2 个根为0<m1<a<m2，若方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，则
y =m1, y =m2与函数y = f ( x)的图象共有3 个不同的交点，①当0<a<1时，y =m1与函数f ( x)的图
象共有2 个交点，如图所示，
所以y =m2与函数f ( x)的图象只有1 个交点，则m2=1，所以|
1+a
1-a|=2，解得a= 1
3；②当a=1时，
y =m1与函数f ( x)的图象共有2 个交点，所以y =m2与函数f ( x)的图象只有1 个交点，则m2=1，
与m2>a矛盾，不合题意；③当a>1时，y =m2与函数f ( x)的图象共有2 个交点，如图所示，
所以y =m1与函数f ( x)的图象只有1 个交点，则m1=1，所以|
1+a
1-a|=2，解得a=3；综上，a的取
值集合为{1
3 ,3}.
【点拨】本题考查复合方程根的个数问题，通过换元法转化为内外层函数的交点问题，结合图象
分类讨论求解.
