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第10 讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题
目录
1、函数极值的第二判定定理：...............................................................................................1
类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值.......................................................................1
类型二：利用二阶导数研究函数的单调性..............................................................................5
类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题.......................................................................9
类型四：利用二阶导数研究函数的零点................................................................................17
1、函数极值的第二判定定理：
若
在
附近有连续的导函数
，且
，
（1）若
则
在点
处取极大值；
（2）若
则
在点
处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '( x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数
一次求导得到
之后，解不等式
难度较大甚至
根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有
或
3、解题步骤：
设
，再求
，求出
的解，即得到函数
的单调
性，得到函数
的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数
的单调性.
类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.当
时，证明:
有唯一极值点.
【答案】证明见解析
【分析】通过二次求导确定
在
上单调递增，再结合
，
，即可求证.
【详解】由
得，
，
令
，
则
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，
因
，
则
，
，
则
，使得
，即
，
则
得
；
得
；
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
存在唯一极小值点
.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
在
上的单调性；
(2)当
时，求
在
内的最大值；
【答案】(1)函数
在
上单调递增．
(2)0
【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得
，由
可得
，
，即可求解；
（2）由题意可得
，利用导数讨论函数
的性质可得
，进而
，则
在
内单调递增，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
，且
．
当
时，
，
，则
，
即
，故函数
在
上单调递增．
（2）
，
令
，则
，
由
且
，可得
，
，则
，
在
内单调递增，
所以
，
又当
时，
，
所以
，
在
内单调递增，
故
．
精练高频考点
1．（22-23 高二下·福建福州·期中）已知函数
，
为
的导函数
且
.
(1)求实数a 的值，并判断
是否为函数
的极值点；
(2)确定函数
在区间
内的极值点个数，并说明理由.
【答案】(1)
，不是；
(2)2，理由见解析.
【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解；
（2）由（1）得
，根据三角函数的性质可知当
时函
数
单调递增，无极值点；当
时函数
单调递减，结合零点的存在性定理
和函数的奇偶性，即可求解.
【详解】（1）
，则
，
由
，得
，
所以
，
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
不是函数
的极值点.
（2）由（1）知，
，
当
时，
，函数
单调递增，无极值点；
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递减，
又
，
所以存在唯一的实数
，使得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以函数
在
上只有一个极值点，且该极值点为m.
又
，所以函数
为奇函数，
则
在
上也有一个极值点，且该极值点为
.
综上，函数
在
上有2 个极值点.
2．（2024·河南开封·一模）已知函数
，
.
(1)若
是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，求
在
上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得：
即可求解.
（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.
【详解】（1）由已知可得：
恒成立，
即
恒成立，又
的最小值为-2，所以
，
则有
.
（2）当
时，
，
所以
，
令
，
在
上单调递减，
又因为
，
，
所以存在
使得
，即
，从而
则有
x
正
负
递增
递减
则有
最大值为：
，
所以
，
则
在
上单调递减，所以最小值为
.
类型二：利用二阶导数研究函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·陕西西安·二模）已知函数
．
(1)当
时，
，
，求
的取值范围；
(2)证明：当
时，
在
上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；
（2）利用二次求导结合
适当放缩判定
的导函数符合即可.
【详解】（1）当
时，
，
令
，
显然
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，即
在
上单调递减，
所以
，
所以
；
（2）由
，
令
，
设
，则
，所以
在
上单调递增，
即
，
若
，则
，即
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以当
时，
在
上单调递增.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）设
，函数
，讨论
在
的单调性.
【答案】
在
单调递减，在
单调递增.
【分析】利用多次求导的方法来求得
在区间
上的单调性.
【详解】因为
，所以
在
有定义，
，
设
，
则
，
当
时，
，
所以
在
单调递增，
而
，所以当
时
时
，
因此
在
单调递减，在
单调递增.
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数
在点
处的切线斜率为0，求a 的值．
(2)当
时．设函数
，求证：
与
在
上均单调递增；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知切线斜率等于求导函数在切点处的值列式求解即可；
（2）根据导函数正负与原函数单调性的对应关系，多次求导确定导函数正负即得证.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
，
依题意得
，所以
.
（2）∵
，
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递
增，
且
，故
，即
，∴：
在
上单调递增；
，
，
∴
，令
，
而
，
令
，
，
∴
在
上单调递减，且
，故
，
∴
，
∴
在
上单调递增，且
，
故
，即
，∴函数
在
上单调递增；
2．（23-24 高三下·陕西渭南·阶段练习）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调性．
【答案】(1)
(2)函数
在
上单调递减
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程,
（2）利用导数确定函数的单调区间.
【详解】（1）
，
．
，
．
曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）令
，
则
．
令
，得
；
令
，得
．
在
上单调递减，在
上单调递增．
，
，
，
当
时，
，即
．当且仅当
时等号成立，
当
时，函数
单调递减．
3．（23-24 高三上·山西大同·阶段练习）已知函数
，
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明
在
上单调递增.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切点和斜率来求得切线方程.
（2）利用二阶导数来证得结论成立.
【详解】（1）
，
，
斜率
，
∴过点
处的切线方程为
.
（2）当
时，
，
，
令
，
，
令
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
∴
，
即
，也就是
∴
在
上单调递增.
类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24 高二下·河北·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导可知
，
都是常数，所以该点的切线方程易求得；
（2）此题不宜用分离参变量方法，而是含参求导分析，要抓住这个含参函数的定值
，而这个定值恰好是不等式
对任意
恒成立的一个端点值，所以
由此联想到要使得
，则必需要使得紧靠0 的右侧附近区域递增，这样也就只需要
紧靠0 的右侧附近区域
，然后又抓住
这个定值条件，所以继续同上分析
的二次导函数，最后通过分类讨论得出问题的答案.
【详解】（1）由
得：
所以当
时，有
，
，
由曲线
在点
处的切线方程为
，得：
，
即曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）令
，则
，
由于
得：
，所以把参数
按下面分类讨论：
①当
时，有
，则
在区间
上是单调递增，
即
，从而可知
，
所以函数
在区间
上也是单调递增，
即
有最小值
，此时不等式
对任意
恒成立，
所以当
时，满足题意；
②当
时，由
得，
，
则当
时，
，则
在区间
上是单调
递减，
且当
时，
，则
在区间
上是
单调递增，
即
，又当
时，可判断
，
由上可知
在开区间
存在唯一零点，假设零点为
，
则可知当
时，
，则
在区间
上是单调
递减，
可知当
时，
，则
在区间
上是单调递
增，
即
，此时不等式
对任意
不恒成立，
即当
时，不满足题意，被舍去；
综上所述：实数
的取值范围是
.
例题2．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
满足
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【分析】（1）对函数求导得
，然后令
，再求导，从而求解.
（2）利用分离常数得
在区间
上恒成立，从而只需求出
的最大值，即可求解.
【详解】（1）因为
，定义域为
，得
令
，则
，当
，得
，
当
，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，即
恒成立，
所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间．
（2）由题意
在区间
上恒成立，即
恒成立，
即
在区间
上恒成立，
令
，
，只需
因为
，令
，
，
有
，
所以函数
在
上单调递减，所以
，即
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，
所以实数a 的取值范围为
．
例题3．（24-25 高三上·河北保定·期中）已知函数
.
(1)已知直线
是曲线
的切线，求实数a 的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)求证：
恒成立.
【答案】(1)
(2)
在
上单调递减，在
上单调递增
(3)证明见解析
【分析】（1）由
求得切点的坐标，代入切线方程求得
.
（2）利用多次求导的方法求得
的单调区间.
（3）将恒成立的不等式转化为
，利用构造函数法，结合多次求导
的方法来求得正确答案.
【详解】（1）
，
，解得
切点为
，
.
（2）
，
当
时，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
单调递递增.
综上所述，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）
恒成立
，
恒成立
恒成立.
令
，
则
，
令
，则
单调递增，
又
，
当
时，
，即
单调递减；
当
时，
，即
单调递增；
恒成立.
【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1 中，利用导数求出曲线在给定直线为切
线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数
的值，这是典型的求切线与曲线关系的方
法.
多次求导法：在小问2 中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区
间，是分析函数单调性的常用手段.
构造函数法求证不等式：在小问3 中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用
构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法.
精练高频考点
1．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若
，求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将问题转化为
在
上恒成立，利用二阶导数讨论函数
的性质
求出
即可.
【详解】（1）当
时，
，则
，
于是
，
，
则函数
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）因为
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，
设
，
，则
，
令
，
，则
在
上恒成立，
因此
在
上单调递减，于是
，
因此
在
上恒成立，
在
上单调递减，
则
，由此可知，
，于是实数
的最大值为
．
2．（24-25 高三上·四川雅安·阶段练习）已知
，函数
.
(1)当
时，求证：
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当
时，得出
，将问题化为证
，构造函数
并证明其单调性，得出
，即可得出结论；
（2）写出
表达式，利用换元法转化为证明恒成立问题，构造函数
并求导，将导数进行二次求导，分类讨论得出导函数的单调性，
进而确定原函数的单调性，进而得出参数范围.
【详解】（1）由题意证明如下，
，
在
中，
，
当
时，
，要证
，只需证
，
令
，则
，
令
，得
，
所以当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
（2）由题意及（1）得，
，
，
在
中，
，
令
，由题意，
在
时恒成立，
设
，
，
则
，
令
，
当
时，
，
所以
，
在
上单调递减，
所以
，符合题意，
当
时，
在
上单调递增，
又
，
，
所以存在
，使得
，且
时，
，即
，
所以
在
上单调递增，所以
，不符合题意，
综上所述，
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关
系；
3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；
4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
3．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知函数
，函数
的图象与
的图象关于
中心对称.
(1)求函数
的解析式；
(2)证明：
；
(3)若
在
时恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
.
【分析】（1）利用两个函数互对称的性质求解即可；
（2）分为两个不等式，然后求差构造函数，利用函数的单调性求最值，然后判断大小即
可；
（3）先将两个函数代入不等式，然后利用第二问的不等式放缩，去掉对数函数，然后化简
求范围即可，因为有放缩，所以还需要验证，所求参数的范围的补集不符合题意.
【详解】（1）
（2）
的定义域为
，设
，
，
，得
，得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
，所以
；
设
，
，得
，得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
，所以
；
综上所述，
成立.
（3）
，
设
令
，得
当
时，
，所以
在
单调递减，
当
时，
，所以
在
单调递减，
所以
，
所以当
时，
在
时恒成立，
下面证明当
时，
在
时不恒成立，
，
设
，
当
时，
在
单调递减，值域是
，
当
时，
，使得
，此时，
，
即
在
时不恒成立；
综上所述，实数
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通
过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
类型四：利用二阶导数研究函数的零点
典型例题
例题1．（23-24 高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，试判断函数
与
的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得
，分类讨论当
、
时函数
对应的单调
性即可求解；
（2）由
得
，令
，利用二次导数讨论函数
的
性质可得
，即可下结论.
【详解】（1）函数
的定义域为R，且
，
当
时
恒成立，所以
在R 上单调递减，
当
时，令
，解得
，
所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
综上可得：当
时
在R 上单调递减；
当
时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）
，则
，令
，即
，
令
，则
，
令
，则
，
所以当
时
，则
单调递减，且
，
当
时
，则
单调递增，
又
，
，故当
时
，
所以当
时
，则
单调递减，
当
时
，则
单调递增，
所以
，所以方程
无实根，
所以函数
与
的图象无交点.
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
在
上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
【答案】(1)
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
(2)1．
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）求出
，利用导数求
的最值，即可得参数范围.
【详解】（1）由条件，
则
，
由
，所以
，
令
，则
，得
或
，
令
，则
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由
，则
，
令
，则
，
所以当
时，
单调递增，
又
，所以
，
，
所以
在
上单调递增，
，
由题意，
，解得
，
所以a 的最小值为1．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
.函数
，求
的零点个数；
【答案】
共有三个零点
【分析】根据对数型函数确定函数的定义域，令
，确定函数的一个零点；再将
代
入
，可得
，∴
关于点
对称.二次求导判断函数
的单
调性及特殊点的函数值，即可确定函数零点的个数.
【详解】
的定义域为
，
，1 为
的一个零点，
，则
，∴
关于点
对称.
当
时，
，
∵
，∴
在
为减函数，
，
，∴
，
，
，
，
∴
在
为增函数，在
为减函数，∴
，
∵
∴
，
∴
为
的一个零点，
由对称性：
也为
的一个零点，
共有
，，
三个零点.
2．（2025·山西·三模）已知函数
有两个极值点
，
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数极值点与导函数零点的关系可知，函数导数由两个零点，则对函数
求导，写出关于参数的不等式；构造新的函数，求出函数单调性和极值点，判断参数范围.
（2）设出函数的两个零点，判断零点所在区间，带入函数中，得函数零点的方程，根据对
数运算方法，构造出
的函数，求出构造函数的单调性和最值，求得答案.
【详解】（1）
，
，
由题知
有两个不等的实数根，即
有两个不等的实数根.
令
，则
，
因为
，所以当
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
在
处取得极大值
，
且
，当
时，
，
当
有两个不等的实数根时，必须且只需
，
即
的取值范围是
.
（2）由（1）知
的两个根分别是
，
，且
，
令
，则
，由
，可得
，
所以
，
.
令
，则
，
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增，则
.
所以
，即
在区间
上单调递增，
即
，
所以
，即
，
所以
的最大值为
.
