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专题 3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）
目
录
专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）...........................................................1
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题型一：导函数有效部分是一次型.................................................................................................2
题型二：导函数有效部分可视为一次型.........................................................................................3
题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）....................................................................4
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）........................................................6
题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）................................................................8
题型六：借助二阶导函数讨论单调性.............................................................................................9
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导函数有效部分
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通
分），提出 的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为
的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.题型一：导函数有效部分是一次型
【典型例题】
例题1．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
例题2．（2022·河北沧州·二模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
【提分秘籍】
在例题1中， ，可提取有效部分为 ，只要讨论有效部分
的正负即可；在例题2中 ，可提取有效部分为 ，
只要讨论有效部分 的正负即可.
【变式演练】
1．（2022·北京延庆·模拟预测）已知函数 .(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的极值和单调区间；
2．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
题型二：导函数有效部分可视为一次型
【典型例题】
例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数
， ， 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
【提分秘籍】
在例题1中， ，可提取有效部分为 ，可以看作一次型，类似一次
型讨论方式讨论 的正负；在例题2中 ，可提取有效部分为，可以看作一次型，只要讨论有效部分 的正负即
可.
【变式演练】
1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
2．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 在区间 上的单调性．
题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知函数
(1)讨论 的单调性；
例题2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数 ， ．(1)若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 的值；
(2)当 ，且 时，求函数 的单调区间．
【提分秘籍】
讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可
以因式分解，如例题1： ，在讨论正负的过程
中，遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不
确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.如例题1中从
开始讨论。例题2中求导后
，记有效部分为
，由于最高项系数含参数 ，讨论时从 开始讨论，当
时，从 开始讨论.
【变式演练】
1．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的单调性．
2．（2022·湖南·高三开学考试）已知函数 ，其中 .(1)若直线 是曲线 的切线，求负数 的值；
(2)设 .
（i）讨论函数 的单调性；
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
例题2．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数
．
(1)求 的最小值；
(2)若 ，讨论 在区间 上的单调性；
【提分秘籍】
讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可
以因式分解，如例题1： ，在讨论正负的过程中，的正负，可以看做 的正负等同，故为可视为
二次函数型.解题时，依然遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨
论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.
【变式演练】
1．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
2．（2022·河北·高二期中）已知函数 ．
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．
题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·天津河西·一模）已知函数 ．(1)当 时，求 的极值．
(2)讨论 的单调性；
【提分秘籍】
如本例，求导后 ，记导函数有效部分为
，判断为不可因式分解的二次型，此类题型的方法主要采用 法；分两类：① ；②
，利用求根公式求出方程 的两个根 ， ，然后再讨论
的正负，进而讨论单调性，同时也要注意定义域.
【变式演练】
1．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
题型六：借助二阶导函数讨论单调性
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中
(1)当 时，讨论 单调性；例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
【提分秘籍】
当一阶导函数中含有 ， ，而一阶导的正负难以确定时，可以通过求二阶导，从而判
断一阶导的单调性，进而判断一阶导的正负来讨论单调性.
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性．
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；2．（2022·江苏徐州·高三期中）已知函数 ， ， .
， 分别为函数 ， 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
3．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，
（ 为自然对数的底数， ）．
(1)求函数 的单调区间；
4．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数 ，其中 为实常数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
5．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（ ）.
(1) ，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
6．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数
(1)求 的单调区间；
7．（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数f（x）的极值；
(2)求函数f（x）单调区间．
8．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知函数 .
(1)当 时，求该函数在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调区间；
10．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数
(1)求函数 的单调区间.
11．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；12．（2022·广东·顺德一中高二期中）已知函数
(1)当 时，求函数 在 上的最值；
(2)讨论函数 的单调性.
13．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数 ．其中k为实数．
(1)当 时，若 两个零点，求k的取值范围；
(2)讨论 的单调性．
14．（2022·新疆·一模（理））已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；15．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知函数
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
16．（2022·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
