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专题 3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）
目
录
专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）...........................................................1
..................................................................................1
题型一：导函数有效部分是一次型.................................................................................................1
题型二：导函数有效部分可视为一次型.........................................................................................4
题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）....................................................................8
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）......................................................13
题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）..............................................................18
题型六：借助二阶导函数讨论单调性...........................................................................................20
.............................................................22
导函数有效部分
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通
分），提出 的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为
的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.
题型一：导函数有效部分是一次型
【典型例题】例题1．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
【答案】(1) ；
(2)答案见解析；
（1）由题设， 且 ，则 ，
所以 ， ，故 在 处的切线方程为 .
（2）由 且 ，
当 时 ，即 在定义域上递减；
当 时，在 上 ， 递减，在 上 ， 递增，
综上， 时 递减； 时 在 上递减， 上递增.
例题2．（2022·河北沧州·二模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
(1)函数 ，定义域为 ，
（i）当 时， 单调递增；
（ii）当 时， 时， 单调递减；
时， 单调递增，综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【提分秘籍】
在例题1中， ，可提取有效部分为 ，只要讨论有效部分
的正负即可；在例题2中 ，可提取有效部分为 ，
只要讨论有效部分 的正负即可.
【变式演练】
1．（2022·北京延庆·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的极值和单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当 时，函数 ， ．
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程 ．
(2)函数 定义域 ．
求导得 .
①当 时，因为 ，所以 ．
故 的单调递减区间是 ，此时 无极值.
②当 时， 变化时， 变化如下表：极小值
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
此时函数 的极小值是 ，无极大值．
2．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）由题意得， ， ．
当 ，即 时， ，故函数 在 上单调递增；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
故当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
题型二：导函数有效部分可视为一次型
【典型例题】
例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数， ， 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减．当 时， 时， 单调递
增，当 时， 单调递减．
（1） ，①当 时， ， 在 上单调递减．②当 时，令
，得 ，当 时 ， 单调递增；当 时，
， 单调递减．
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析；
(1) ，
.
当 时， 恒成立，则 在 上为减函数，
当 时，令 ，可得 ，则 ，解得 ，
令 ，解得 ，
综上，当 时， 的减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【提分秘籍】在例题1中， ，可提取有效部分为 ，可以看作一次型，类似一次
型讨论方式讨论 的正负；在例题2中 ，可提取有效部分为
，可以看作一次型，只要讨论有效部分 的正负即
可.
【变式演练】
1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1) 时， 在 上单调递增，当 时，函数 在 上单调递
增，在 上单调递减；
【详解】（1） ,
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
当 时，令 ， ，解得 ，
当 ，当 ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上， 时， 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
2．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 在区间 上的单调性．
【答案】(1) ；
(2)见解析
（1）时， ，得 ，
所以 ， ，
函数 在点 处的切线方程为 ，即
（2）
由题意， ，
当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，得 ，
①当 ，即 时，
在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减；
②当 ，即 时，
时， ； 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
③当 ，即 时，
在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增；
综上，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增；题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知函数
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；
【详解】（1）函数 定义域R，求导得
，
若 ，当 时， ，当 或 时， ，即 在 上单
调递减，在 和 上单调递增；
若 ，恒有 ．即 在 上单调递增；
若 ，当 时， ；当 或 时， ，即 在 上单
调递减，在 和 上单调递增，
所以当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 和 ；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 和 .
例题2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数 ， ．
(1)若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 的值；
(2)当 ，且 时，求函数 的单调区间．【答案】(1) ，
(2)答案见解析
(1) ， ， ， ，
与 在交点 处具有公共切线， ；
又 ， 由 得： .
(2)当 时，设 ，
；
设 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，令 ，解得： ， ；
①当 时， 时， 恒成立，即 ，
的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
②当 时， ，
当 时， ，则 ；当 时， ，则
；
的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ；综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；当
时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；当 时， 的单调递减
区间为 ， ；单调递增区间为 .
【提分秘籍】
讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可
以因式分解，如例题1： ，在讨论正负的过程
中，遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不
确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.如例题1中从
开始讨论。例题2中求导后
，记有效部分为
，由于最高项系数含参数 ，讨论时从 开始讨论，当
时，从 开始讨论.
【变式演练】
1．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）易知函数 的定义域为 ．
当 时， ，∴ ．
令 ，得 ；
令 ，得 ；
令 ，得 ．
∴函数 的极小值为 ，无极大值．
（2） ．
①当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
②当 时，令 ，得 或 ；令 ．得 ．
③当 时， 恒成立．
④当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ．
综上，当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ．
2．（2022·湖南·高三开学考试）已知函数 ，其中 .
(1)若直线 是曲线 的切线，求负数 的值；
(2)设 .
（i）讨论函数 的单调性；
【答案】(1)(2)（i）答案见解析；
（1）因为 ，所以
由直线 是曲线 的切线可知 ，即
又 ，所以 ，则切点坐标为 ，所以
故 .
（2）（i） .
①若 即 的解为 ，
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
②若 即 的解为 或 ，
所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减
③若 即 恒成立，所以 在 上单调递增；
④若 即 的解为 或 ，
所以当 时， 单调递增；当 时， 单
调递减.
综上所述：
若 ，当 时， 单调递减， 时， 单调递增；若 ，当 时， 单调递增， 时， 单调递减；
若 在 上单调递增；
若 ，当 时， 单调递增， 时， 单调递减.
题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1） ，
当 即 时， 或 ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 即 时， ， 在 上单调递增；
当 即 时， 或 ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
综上可知： 时，故 在 和 上单调递增，在 上单调递
减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
例题2．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数．
(1)求 的最小值；
(2)若 ，讨论 在区间 上的单调性；
【答案】(1)
(2)分类讨论，答案见解析.
(1) ， 得 ，
得 ， 单调递减．
得 ， 单调递增，
∴ .
(2) ，令 ，解得 ，
当 时， ，有 ， 单调递增，
当 时． ，有 单调递减，
，有 单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
【提分秘籍】讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可
以因式分解，如例题1： ，在讨论正负的过程中，
的正负，可以看做 的正负等同，故为可视为
二次函数型.解题时，依然遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨
论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.
【变式演练】
1．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)
(2)当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .
(1) 定义域为 ，
当 时， ， ，
令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ 在在 上的最小值为 ；(2) 定义域为 ，
，
①当 时，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时，令 得 或 .
②当 时，即 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
③当 时，即 ，当 时，即 或 ， 单调
递增；当 时，即 ， 单调递减；
④当 时，即 ， 在定义域上恒成立， 单调递增；
⑤当 ，即 ，当 时，即 或 ， 单调递增；当
时，即 ， 单调递减；
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
2．（2022·河北·高二期中）已知函数 ．
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；(2)讨论 的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)因为 ，所以 ．
则 ，
故 的图象在 处的切线方程为 ．
(2) ．
若 ，则 恒成立，所以当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增．
若 ，则由 ，得 ．
当 ，即 时，若 ，则 ，函数单调
递增；若 ，则 ，函数单调递减．
当 时，即 时， 在R上恒成立，函数单调递增．
当 ，即 时，若 ，则 ，函数单调递
增；若 ，则 ，函数单调递减．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
；当 时， 在R上单调递增；当 时， 的单调递增区间为
和 ，单调递减区间为 ．题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）
【典型例题】
例题1．（2022·天津河西·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值．
(2)讨论 的单调性；
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)答案见解析
(1)当 时， ，
则 ，
令 ，得 ，
2
+ 0 -
单调递增 单调递减
所以 的极大值为 ，无极小值．
(2) 的定义域为 ，
对于二次方程 ，有 ．
当 时， 恒成立， 在 上单调递减．
当 时，方程 有两根 ，
若 ，在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，
在 与 上单调递减，
在 上单调递增．
【提分秘籍】
如本例，求导后 ，记导函数有效部分为
，判断为不可因式分解的二次型，此类题型的方法主要采用 法；分两类：① ；②
，利用求根公式求出方程 的两个根 ， ，然后再讨论
的正负，进而讨论单调性，同时也要注意定义域.
【变式演练】
1．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
（1）由题意可知 的定义域为R， ，对于 ， .
①当 ，即-3≤a≤3时 ， 在R上单调递增；
②当 ，即a<-3或a>3时，令 ，即 ，
解得 ，
令 ，则 或 ；令 ，则 ；所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当-3≤a≤3时， 在R上单调递增；
当a<-3或a>3时，
在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增.
题型六：借助二阶导函数讨论单调性
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中
(1)当 时，讨论 单调性；
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增；
（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减；
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；【答案】(1) 在 单调递减，在 单调递增
(1) ，令 ，则 ，
∴ 在 单调递增，
注意到
∴当 时， ，此时 ， 单调递减，当 时，
，此时 ， 单调递增
∴ 在 单调递减，在 单调递增
【提分秘籍】
当一阶导函数中含有 ， ，而一阶导的正负难以确定时，可以通过求二阶导，从而判
断一阶导的单调性，进而判断一阶导的正负来讨论单调性.
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性．
【答案】(1) 上单调递增，在 上单调递减
(1)因为 ，所以 ．
令 ，则 ，可得 在 上单调递减，所以
．
因为当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1) 时， 在 递增； 时， 的增区间是 ，减区间是
．
【详解】（1） 的定义域是 ， ，
时， 恒成立， 在 递增，
时， 时， ， 时， ，
的增区间是 ，减区间是 ．
综上： 时， 在 递增；
时， 的增区间是 ，减区间是 ．
2．（2022·江苏徐州·高三期中）已知函数 ， ， .
， 分别为函数 ， 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1） ， ，
①当 时， ，函数 在 上单调增；②当 时， ， ，函数 在 上单调减；
， ，函数 在 上单调增.
综上所述，当 时，函数 在 上单调增；
当 时，函数 在 上单调减，在 上单调增
3．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，
（ 为自然对数的底数， ）．
(1)求函数 的单调区间；
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
(1)函数 的定义域为 ， ，
①当 时，对任意的 ， ，
此时函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
4．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数 ，其中 为实常数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)讨论 的单调性；
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【详解】（1） ，
所以 ，
所以切线方程为 .
（2） 的定义域为 , ，
当 时， 在区间 递减；
在区间 递增.
当 时， ， 在 上递减.
当 时， 在区间 递减；
在区间 递增.
5．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数
（ ）.
(1) ，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析（1） 时， ， ，切线的斜率 ，则
切线方程为 ；
（2）函数 的定义域为 ，且 ，
①当 时， ，由 ，得 ；由 ，得 则函数 的
单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
②当 ，即 时，由 ，得 或 ；由 ，得
.
则函数 的单调递增区间为 ， ，函数 的单调递减区间为 .
③当 ，即 时， 恒成立，则函数 的单调递增区间为 .
④当 ，即 时，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，则函数 的单调递增区
间为 ， ，函数 的单调递减区间为 .
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
6．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数(1)求 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
（1） ，
令 ，得 或
当 时， ， 单调递增区间为
当 时， 与 随x的变化情况如下表：
-2
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当 时， 与 随x的变化情况如下表：
k -2
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
综上：当 时， 单调递增区间为 ；
当 时， 单调递增区间为 和 ，
单调递减区间 ；
当 时， 单调递增区间为 和 ，
单调递减区间 .
7．（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数 ．(1)当 时，求函数f（x）的极值；
(2)求函数f（x）单调区间．
【答案】(1)极大值为 ，极小值为
(2)答案见解析
（1）当 时， ，则 ，
令 ，解得 或2，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
故函数 的单调递增区间为 ， ；
函数 的单调递减区间为 ．
所以 的极大值为 ，极小值为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， 时， ； 时， ；
即增区间为 ，减区间为 ；
当 ， 时， ； 时， ；
即增区间为 和 ，减区间为 ；
当 时， 在 上恒成立，即增区间为 ；
当 时， 时， ； 时， ；
即增区间为 和 ，减区间为 ；综上所述：当 时，增区间为 ，减区间为 ；
当 时，增区间为 和 ，减区间为 ；
当 时，增区间为 ，无减区间；
当 时，增区间为 和 ，减区间为 ．
8．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知函数 .
(1)当 时，求该函数在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当 时， ，该函数定义域为 ，
则 .
所以 .
又 ，
所以 .
所以该函数在点 处的切线方程为 ，
即 .
(2)由题可得 ，令 ，得 或 .
而该函数定义域为 ，则
①若 ，则 ，在区间（0，1）上， ；在区间 上， ，
故函数 在（0，1）上单调递减，在 上单调递增；
②若 ，即 ，则在区间 和 上， ；在区间 上，
，故函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
③若 ，即 ，则在区间 上， 恒成立，且仅在 处取得等号，
故函数 在 上单调递增；
④若 ，即 ，则在区间（0，1）和 上， ；在区间 上，
，
故函数 在（0，1）和 上单调递增，在 上单调递.
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
(1)解： 定义域为 ，
所以
当 时， ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 有两根分别为 ，
当 时：令 ，解得 ，当 或 时 ，当 时
，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
令 ，解得 ，当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 ，所以 在 上单调递增；
综上所述：
当 时： 的单调递增区间是 ，单调递减的区间是
当 ， 的单调递增区间是 ， 上单调递增，单调递减的区间是
当 ， 的单调递增区间是 ， 上单调递增，单调递减的区间是
当 时： 的单调递增区间是 ，无减区间
10．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数(1)求函数 的单调区间.
【答案】(1)答案见解析
(1)由题意，得
当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增.
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
11．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析.
(1) 的定义域为R, .
i.当a≥-1时, .令 ,解得 ；令 ,解得 .
所以 的单增区间为 ,单减区间为 .
ii.当 时,令 ,解得：x=0或x=ln(-a-1).
（i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时, ≥0,所以 在(-∞,+∞)单增.
（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由 解得： ；由
解得： .所以 的单增区间为 , 单减区为
.
（iii）当ln(-a-1)<0,即-2
