2025年10月20日高等数学专题第09节--多元函数微分学（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

2026 考研数学保命班
高等数学
@金榜硕哥 薛威
2025 年 10 月北京第 09 节 多元函数微分学
金榜时代
@考研数学薛威 硕哥
一、多元函数微分学
1. 全微分的充要条件
2. 偏微分方程转为常微分方程求解
3. 偏微分方程求参数
4. 偏微分方程求原函数
【例题1】设u(x,y)的全微分为du ex  f(x)ydx f(x)dy,f(x)有二阶连续导数，
 
且 f(0)1, f(0)1.
（Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x)的极值．
【例题2】设u  f( x2  y2)，其中 f(r)二阶可导，且lim f(r)0，
r0
2u 2u 1
   dudv．
x2 y2 1u2 v2
u2v2x2y2
f(r)
（Ⅰ）求 f(r)的表达式； （Ⅱ）若 f(0)0，求lim ．
r0 r4
f(t)
【练习3】设z  f( x2  y2)具有连续二阶偏导数，lim 0且满足
t0 t
2z 2z 1 z
  4z 8 x2  y2 ，
x2 y2 y y
试求函数z  f( x2  y2)的表达式．u  x2y, 2z 2z 2z 2z
【例题4】设变换 可把方程6   0化简为 0，
v xay． x2 xy y2 uv
求常数a，其中z  z(x,y)有二阶连续的偏导数． （1996年，数学一）
2u
【练习5】已知函数z u(x,y)eaxby，且 0，求a,b的值，使得z  z(x,y)
xy
满足方程
2z z z
  z 0.
xy x y
f f
【例题6】设可微函数 f(u,v)满足  (uv)euv，且 f(0,v)0．
u v
若u  x,v x y．
f(x,x y)
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的极值．
x
【作业1】设 f(t)有二阶连续导数， f(1) f(1)1．在x0的平面区域内，
存在函数u(x,y)，使得
y2 y   y 
du(x,y) xf( ) dx yxf( ) dy．
   
 x x   x 
求 f(t)及 f(t)的极值．
【作业2】设z  f( x2  y2)，其中 f(u)有二阶连续导数， f(0) f(0)0，且
2z 2z 1 z
   z x2  y2 ，
x2 y2 x x
求 f(u).【作业3】设u u( x2  y2)在D：x2  y2 4上有二阶连续偏导数，且满足
2u 2u 1 u
  u  x2  y2,

x2 y2 x x

u(0,0)0,u(1,1)2cos 2,
求函数u的表达式及u在D的最大值．
2u
【作业4】设函数u(x,y)具有二阶连续偏导数，且 0，求常数a,b的值，
xy
使得z  f(x,y)eax2by2 u(x,y)，满足等式
2f f f
2y 4x 8xyz 0．
xy x y
f(u,v) f(u,v)
【作业5】已知可微函数 f(u,v)满足  2(uv)e(uv)，
u v
且 f(u,0)u2eu.
g(x,y)
（Ⅰ）记g(x,y) f(x,yx)，求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式和极值．
x
（2022年，数学二）
f(u,v) f(u,v) f(0,v) 1
【难题6】已知可微函数 f(u,v)满足  0，  ，
u v v ev(1ev)
且 f(0,0)ln21.
f(x y,y)
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式．
y【作业7】已知函数 f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y) f(2x y,3x y)
2g 2g 2g
满足  6 1．
x2 xy y2
2f f(u,0) 1
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ueu,f(0,v) v2 1，求 f(u,v)的表达式．
uv u 50
（2024年，数学一）