2025年10月20日高等数学专题第09节--多元函数微分学（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

2026 考研数学保命班 高等数学 @金榜硕哥 薛威 2025 年 10 月北京第 09 节 多元函数微分学 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 一、多元函数微分学 1. 全微分的充要条件 2. 偏微分方程转为常微分方程求解 3. 偏微分方程求参数 4. 偏微分方程求原函数 【例题1】设u(x,y)的全微分为du ex  f(x)ydx f(x)dy,f(x)有二阶连续导数，   且 f(0)1, f(0)1. （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x)的极值． 【例题2】设u  f( x2  y2)，其中 f(r)二阶可导，且lim f(r)0， r0 2u 2u 1    dudv． x2 y2 1u2 v2 u2v2x2y2 f(r) （Ⅰ）求 f(r)的表达式； （Ⅱ）若 f(0)0，求lim ． r0 r4 f(t) 【练习3】设z  f( x2  y2)具有连续二阶偏导数，lim 0且满足 t0 t 2z 2z 1 z   4z 8 x2  y2 ， x2 y2 y y 试求函数z  f( x2  y2)的表达式．u  x2y, 2z 2z 2z 2z 【例题4】设变换 可把方程6   0化简为 0， v xay． x2 xy y2 uv 求常数a，其中z  z(x,y)有二阶连续的偏导数． （1996年，数学一） 2u 【练习5】已知函数z u(x,y)eaxby，且 0，求a,b的值，使得z  z(x,y) xy 满足方程 2z z z   z 0. xy x y f f 【例题6】设可微函数 f(u,v)满足  (uv)euv，且 f(0,v)0． u v 若u  x,v x y． f(x,x y) （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的极值． x 【作业1】设 f(t)有二阶连续导数， f(1) f(1)1．在x0的平面区域内， 存在函数u(x,y)，使得 y2 y   y  du(x,y) xf( ) dx yxf( ) dy．      x x   x  求 f(t)及 f(t)的极值． 【作业2】设z  f( x2  y2)，其中 f(u)有二阶连续导数， f(0) f(0)0，且 2z 2z 1 z    z x2  y2 ， x2 y2 x x 求 f(u).【作业3】设u u( x2  y2)在D：x2  y2 4上有二阶连续偏导数，且满足 2u 2u 1 u   u  x2  y2,  x2 y2 x x  u(0,0)0,u(1,1)2cos 2, 求函数u的表达式及u在D的最大值． 2u 【作业4】设函数u(x,y)具有二阶连续偏导数，且 0，求常数a,b的值， xy 使得z  f(x,y)eax2by2 u(x,y)，满足等式 2f f f 2y 4x 8xyz 0． xy x y f(u,v) f(u,v) 【作业5】已知可微函数 f(u,v)满足  2(uv)e(uv)， u v 且 f(u,0)u2eu. g(x,y) （Ⅰ）记g(x,y) f(x,yx)，求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式和极值． x （2022年，数学二） f(u,v) f(u,v) f(0,v) 1 【难题6】已知可微函数 f(u,v)满足  0，  ， u v v ev(1ev) 且 f(0,0)ln21. f(x y,y) （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式． y【作业7】已知函数 f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y) f(2x y,3x y) 2g 2g 2g 满足  6 1． x2 xy y2 2f f(u,0) 1 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ueu,f(0,v) v2 1，求 f(u,v)的表达式． uv u 50 （2024年，数学一）