2025年10月21日高等数学专题第10节--多元函数极值反问题（作业）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

2026 考研数学保命班
高等数学作业手写版
@金榜硕哥 薛威
2025 年 10 月北京高等数学专题 多元函数微分学
【作业1】设可微函数 f(x,y)的全微分为df(x,y)(2x4y)dx(10y4x)dy，
且 f(0,0)0．
（Ⅰ）求 f(x,y)；
（Ⅱ）求原点O(0,0)到曲线 f(x,y)1上的点的距离的最大值与最小值． 
【作业2】求z  x2 12xy2y2在区域D (x,y) 4x2  y2 25 上的最值．【作业3】设 f(x,y)3x4yax2 2ay2 2bxy．
（Ⅰ）问a,b满足什么条件时， f(x,y)有唯一的极大值；
（Ⅱ）问a,b满足什么条件时， f(x,y)有唯一的极小值．1 1
【作业4】设 f(x,y) x2  y2满足ax2 2xyby2 1，于点( , )处取得最大值，
2 2
求a,b的值．x2 y2
【作业5】设函数 f(x,y)(x1)2  y2 (y 0)在条件  1 (a0,b0)
a2 b2
3 3
下于点 , 处取得最小值，求a,b的值．
 
2 2
 【作业6】设函数 f(x,y) x2 2kxy y2 (k 0)满足x2  y2 1的最大值与最小值
3
分别为和． （Ⅰ）证明： 2； （Ⅱ）当 时，求k的值．
1 2 1 2 1 2【作业7】设P(x ,y )为椭圆3x2 a2y2 3a2 (a 0)在第一象限部分上的一点，已知
0 0
 1 
在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积最小值为2 3  1  .
 4 
（Ⅰ）求点P的坐标及a的值； （Ⅱ）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V .