高等数学专题二重积分作业（题目留白版）合并_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义_必考专题—高等数学

第 01 节 二重积分的计算（一） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分的解题步骤（套路）：（背熟练） （1）画出积分区域. （2）拆分积分区域D D D （区域的对称性）. 1 2 （3）拆分被积函数 f  gh（函数的奇偶性）. （4）直角坐标（先考虑极坐标，再考虑直角坐标，现在是二者结合） (1) 积分区域具有圆的特征：  x y (2) 被积函数：(x2  y2),f( ),f( )；  y x （5）极坐标 (3) 积分区域边界：x y a,x y b；  (4) 积分区域边界：x2  y2  x y．  (5) 特殊曲线：高次曲线 （6）轮换对称性：积分区域D关于y  x对称 1  f(x,y)d f(y,x)d f(x,y) f(y,x)d. 2 D D D （7）分块区域上的二重积分：绝对值函数，符号函数，最值函数. g(x,y), (x,y)D , f(x,y) 1 h(x,y), (x,y)D ．  2 则  f(x,y)d g(y,x)dh(y,x)d D D D 1 2 （8）积分区域用极坐标表示：心形线，双纽线（两种）. （9）积分区域用高次曲线表示. （10）积分区域用参数方程表示：摆线，星形线（数学一、数学二要求）. （11）雅克比变换计算二重积分（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 【重点】（1）极坐标交换积分次序； （2）轮换对称； （3）分块区域上的积分. 【高分】（4）特殊的积分区域（极坐标表示，参数方程表示）； （5）计算能力. 【难点】雅克比变换（高分要求掌握）.二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 符号说明： 【例题】上课讲解的题； 【练习】课上练习题目； 【作业】课后作业题目； 【选做】难题！计算量大！ 一、累次积分交换积分次序 1. 直角坐标系累次积分计算：设 f(x,y)在有界闭区域D上连续 （1）向x轴投影，其中D：a xb,(x) y(x)，则 1 2 b（右） (x（)上）  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy． a（左） (x（)下） 1 D （2）向y轴投影，其中D：c yd,(y) x (y)，则 1 2 d（上） (y（)右）  f(x,y)dxdy dy 2 f(x,y)dx． c（下） (y（)左） 1 D 2.直角坐标下累次积分交换积分次序 （1）正向投影：数轴的正向到负向引出射线穿过区域D，找到D在数轴上的投影区域； （2）反向投影：反向穿过区域D，先交区域D边界为下限，后交区域D边界为上限； 右 上 上 右  f(x,y)dxdy dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx. 左 下 下 左 D b (x) d (y)  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy dy 2 f(x,y)dx. a (x) c (y) 1 1 D （3）内侧积分的上下限：用外侧变元的函数表示.【例题1】交换积分次序 2 2xx2 （1） dx f(x,y)dy. 1 2x 2 2y （2） dy f(x,y)dx. 0 y2 2 2x （3） dx f(x,y)dy. x2 6 1 4 1 【练习2】设函数 f(x,y)连续，则二次积分 dx f(x,y)dy等于（ ）．  sinx 2 1  1  （A） dy f(x,y)dx． （B） dy f(x,y)dx． 0 arcsiny 0 arcsiny 1 arcsiny 1 arcsiny （C） dy f(x,y)dx． （D） dy f(x,y)dx．   0 0 2 2 （2007年，数学二，数学三，数学四） 3. 二重积分的极坐标计算：设D：,r()r r ()，则 1 2  r()  f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrd d2 f(rcos,rsin)rdr．  r() 1 D D 4.直角坐标和极坐标转换 （1）的变化范围：x轴逆时针旋转，先切区域边界为下限，后切区域边界为上限. （2）r的变化范围：从原点O引出射线，穿过区域， 先交区域边界为下限，后交区域边界为上限（若区域包含原点，则下限为0）. （3）内侧积分上下限：用外侧变元的函数表示.【例题3】将二重积分 f(x,y)d表示为极坐标形式下的累次积分. D 积分区域D分别如下，其中a  0为常数. （1）x2  y2 a2. （2）x2  y2 2ax. （3）直线y0,xa,y  x所围成的区域. （4）直线y 0,x0,x ya所围成的区域. 2 【练习4】I   3d cos f(r,)rdr改写成直角坐标系下的累次积分.  0 4 x y 【例题5】设D  (x,y) x2  y2  x y  ，计算I   d. x2  y2 Dx2  y2 【练习6】设平面区域D由直线x1,x2,y  x及x轴围成，计算 dxdy． x D （2020年，数学二）5. 极坐标交换积分次序 【例题7】将下面极坐标交换积分次序  2acos （1）I   2 d f(rcos,rsin)rdr.   0 4  1 （2）2dsin f(r)rdr.  0 4【例题8】设D  (x,y) x2  y2 1,x0,y0  ，计算I  2xyex2y2 dxdy． D【作业1】设函数 f(x)在0,1上连续，证明： 1 dx x f (y)dy   1 ( x x2)f (x)dx. 0 x2 0t t 【作业2】设 f(x)为连续函数，F(t) dy f(x)dx，则F(2)等于（ ）． 1 y （A）2f(2)． （B） f(2)． （C）f(2)． （D）0． （2004年，数学一）2 x 【作业3】 dx f( x2  y2)dy （ ）． 0 3x   2sec 2sec （A）3d f(r)rdr . （B）4d f(r)dr.   0 0 4 3   2 2 4 （C） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r   2 2 4 （D） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r【作业4】将下面极坐标交换积分次序  1 （1）2dsin f(r)rdr.  0 4 r 2 arccos （2） rdr 2 f(rcos,rsin)d. r 0 arccos 2(x y)2 x2  y2 【作业5】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I   dxdy． x3 D  【作业6】已知平面区域D (x,y) y2 x 4 y2 ,0 y2 ， (x y)2 计算I   dxdy． （2022年，数学一，数学二，数学三） x2  y2 D 【注】分块区域极坐标最简洁【作业7】设有界区域D是圆x2  y2 1和直线y  x以及x轴在第一象限围成的部分， 计算二重积分I e(xy)2 (x2  y2)dxdy． （2021年，数学三） Dy (x y)2 【选做8】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I  ( )3 dxdy． x x2  y2 D  xy 【选做9】设D (x,y) x2  y2 1,0 y x ，计算I   dxdy． 1x2  y2 Dx 【选做10】设D  (x,y) 0 y1x,0 x1  ，计算I  exydxdy． D【选做11】设D  (x,y) 1 x y2,0 x2,0 y2  ，计算I  e(xy)2 dxdy. D第 02 节 二重积分的计算（二） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 积分区域D关于直线y  x对称（关于变量x和y 有轮换对称性），则 1  f(x,y)d f(y,x)d  f(x,y) f(y,x)d． 2 D D D （1）轮换对称 【例题1】设区域D  (x,y) x2  y2 4,x0,y0  ， f(x)为D上的正值连续函数， a f(x)b f(y) a,b为常数，则 d ( )． f(x) f(y) D ab ab （A）ab． （B） ． （C）(ab)． （D） ． 2 2 （2005年，数学二）x2 y2 【例题2】设区域D为x2  y2  R2，则(  )dxdy  . a2 b2 D （1994年，数学一）   x2ln(x2  y2) 【例题3】设D (x,y) 1 x2  y2 e2,x0,y0 ，计算I   dxdy． x2  y2 D【例题4】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算 I  e(xy)2 (sin2 xcos2 y)dxdy． D【例题5】设D  (x,y) x y1,x0,y0  ，计算  x y x y x y I    sin cos tan  dxdy．  x y x y x y D  【例题6】设D (x,y) x2  y2 4,x0,y0 ， f(x,y)在D上连续，且 f(x,y) x2  y2 sinxsin y f(x,y)(x2  y2)dxdy， D 求 f(x,y)．（2）分块区域上的二重积分 【例题7】设二元函数  x2, x  y 1,  f(x,y) 1 , 1 x  y 2,  x2  y2  计算二重积分 f(x,y)d，其中D  (x,y) x  y 2  ． D （2007年，数学二、数学三、数学四）【例题8】计算二重积分 x2  y2 1d，其中D  (x,y) 0 x1,0 y1  ． D （2005年，数学二、数学三、数学四）  x2  y2 xy 【作业1】设区域D (x,y) x2  y2 1,x0,y0 ，计算I   dxdy. x2  y2 Dxe(xy)2 【作业2】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算I   dxdy． x y D  【作业3】设D (x,y) x2  y2 1,y0 ，连续函数 f(x,y)满足 f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy， D 求xf(x,y)dxdy． （2020年，数学三） D 【注】直角坐标计算最简洁.【作业4】设D  (x,y) 0 x1,0 y1  ，计算I e max  x2,y2 dxdy． D【作业5】已知平面区域D  (x,y) (x1)2  y2 1  ，计算二重积分 x2  y2 1dxdy． D （2023年，数学三）  【选做6】设D (x,y) x2  y2 4 ，计算I   2xx2  y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！分块+极坐标（平移处理）  【选做7】设D (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！，拆分区域1 1 【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做.  x 【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy． x2  y2 D （2024年，数学一）第 03 节 二重积分的计算（三） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 三、特殊曲线确定的积分区域 （1）心形线    【例题1】设D(r,) 2r 2(1cos),  ， f(x,y)在D上连续，  2 2 且满足 f(x,y) x y f(x,y)dxdy，求 f(x,y)． D（2）双纽线（两种） 【例题2】设平面区域D由曲线(x2  y2)2  x2  y2 (x0,y0)与x轴围成， 计算二重积分(x2  y2 xy)dxdy． （2021年，数学二改） D【练习3】设D  (x,y) (x2  y2)2 2xy  ，计算(x2  y2 xy)dxdy． D（3）高阶多项式函数确定的曲线   【例题4】设D (x,y) x yxy1,x2  y2 1,x0,y0 ．且  x y1, x y1,  f(x,y) 1 , x y 1．  x2  y2  计算I   f(x,y)dxdy． D（4）反函数的定义域 【例题5】设D是由y  1x2 ,y  4x2 与x y 0及x轴所围且位于x y0 x2  y2 部分的区域，计算I   dxdy． x2 2y2 D（4）反函数的定义域   【例题5】设D (x,y) 1x2  y 4x2 ,yx,y0 ， x2  y2 计算I   dxdy． x2 2y2 D（5）摆线和星形线（数学一、数学二要求） xtsint, 【例题6】设平面区域D由曲线 (0t 2)与x轴围成， y 1cost, 计算二重积分(x2y)dxdy． （2018年，数学二） Dxcos3t,  【例题7】设D为由L： (0t  )所围成的区域， y sin3t, 2 计算 I  (x2  y2 1)dxdy. D【作业1】设区域D  (x,y) 0 x3,0 y3  ，且  1 3  x2  y2, 0 x3, x y 3x, f(x,y) x2  y2 3   0, 其他. 计算I   f(x,y)dxdy． D   【作业2】设D(r,) 2r 2(1cos),  ,f(x,y)在D上连续，  2 2 1x x2  y2 且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)． x2  y2 D  【作业3】设D (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ， 计算I  (x2  y2 xy)dxdy． D【作业4】已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ， x y 计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二） x2  y2 D【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2 1 与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二） 3x2  y2 Dx1cost, 【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域， y tsint 计算(2x y)dxdy． D第 04 节 二重积分的计算（四） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 四、雅克比变换矩阵 设D是xOy平面上的有界闭区域， f(x,y)在区域D上连续， （1）变换x x(u,v),y  y(u,v)在区域D上有连续偏导数， （2）将xOy平面上的区域D变换为uOv平面上的区域D（一对一对应）， x x u v （3） J  0，则 f(x,y)dxdy  f(x(u,v),y(u,v))J dudv. y y D D u v xrcos, 【定理】极坐标系下二重积分：极坐标变换 其中 y rsin, x x r  cos rsin J   r ， y x sin rcos r  xrcos 则  f(x,y)dxdy  f(rcos,rsin)rdrd． y rsin D D【例题1】计算 ydxdy，其中D是由x2,y 0,y 2以及曲线x 2y y2 所围成. D 【练习2】平移变换下的二重积分： u  xa, 设D为平面有界闭区域， f(x,y)在区域D连续，平移变换 其中xOy平面 v yb, 上的区域D在该变换下，变为uOv平面上的区域D．有  f(x,y)dxdy  f(ua,vb)dudv， D D  【例题3】设D (x,y) x2  y2  x y ，计算I  (x y2)dxdy． D  【例题4】设D (x,y) 4x2  y2 1,x0,y0 ，计算I  (112x2  y2)dxdy. D （2022年，数学一改）【例题5】计算I  xydxdy，其中D是由xy 1,xy 2,y  x,y 4x，围成的 D 闭区域在第一象限的部分．【例题6】设D  (x,y) x y1,x0,y0  ，计算  x y x y x y I    sin cos tan  dxdy．  x y x y x y D（以下内容，数学一要求） xrsincos,  【例题7】球坐标系下的三重积分：球变换变换y rsinsin,其中  z rcos,  x x x r   sincos rcoscos rsinsin y y y J   sinsin rcossin rsincos r2sin，则 r   cos rsin 0 z z z r    f(x,y,z)dxdydz  f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindddr．  【例题8】设是由锥面x2 (yz)2 (1z)2 (0 z 1)与平面z 0围成的锥体， 求的形心坐标． （2019年，数学一）1 1 【作业1】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】采用雅可比变换来做.【作业2】求抛物线y2 mx,y2 nx和直线y x,y x所围成区域的面积， 其中0mn,0.