录播高等数学专题--中值定理（罗尔定理）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义_必考专题—高等数学

中值定理专题 @金榜硕哥 薛威 说明：中值定理的证明题，一直是考研数学中的重点，难点，不容易突破. 证明的方法，主要在于利用积分法，构造辅助函数，方法综合，难度大，技巧性强.罗尔定理和积分中值定理 闭区间上连续函数的性质 【最值定理】设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则在该区间上 f(x)必存在最大值M 和 最小值m，使得m f(x)M ，且 f(x )m,f(x )M, x ,x a,b . 1 2 1 2 【有界定理】设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则在该区间上 f(x)必有界，即 m f(x)M . 【介值定理】设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且在该区间的端点处取不同的函数值 f(a) A,f(b)B， 则对于A与B之间的任意一个数C，则至少存在一点(a,b)，使得 f()C. 【零点定理】设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a)f(b)0， 则至少存在一点(a,b)，使得 f()0. 中值定理 【费马引理】设函数 f(x)在点x 的某邻域U(x )内有定义，且在x 处可导，如果对于任意 0 0 0 的xU(x )，有 f(x) f(x ) 或 f(x) f(x )，则 f(x )0. 0 0 0 0 【罗尔定理】设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导， f(a) f(b)， 则至少存在一点(a,b)，使得 f()0.【解题思路】 （1）题设含有：闭区间a,b上连续；开区间(a,b)可导. （2）证明结论含有： f(). （3）优先考虑罗尔定理（积分构造辅助函数）来证明. 【解题步骤】 （1）将证明结论中的换为x，得到微分方程. （2）积分法解微分方程. （3）分离常数C F(x,f(x))构造辅助函数. 【题型一】直接解微分方程构造辅助函数 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且不为零， f(0) f(1)0. f() 证明：对任意实数k ，存在一点(0,1)，使得 k． f() 【例题】设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，其中0ab， f(a) f(b)0. 证明：存在一点(a,b)，使得f()2f()0．【例题】设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，0ab，且 f (a) f (b) 0. 证明： （Ⅰ）至少存在一点(a,b)，使得2f ()f()0； （Ⅱ）至少存在一点(a,b)，使得2f() f() 0． 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(1)2f(0). 证明：至少存在一点(0,1)，使得(1)f() f()．【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导， f(0)0，证明：至少存在一点 (0,1)，使得f()nf() f()（n为正整数）． 【例题】设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，0ab，且 f (a)  0. 证明：至少存在一点(a,b)，使得af ()(b)f() 0．1 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0) f(1)0,f( )1. 证明： 2 1 （Ⅰ）至少存在一点( ,1)，使得 f()． 2 （Ⅱ）对任意实数，至少存在一点(0,)，使得 f()f()1． 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导， f(0)0,f(x)0,x(0,1)， f() f(1) 证明：存在一点(0,1)，使得 k （k 为正整数）． f() f(1)【例题】设奇函数 f(x)在1,1上二阶可导，且 f(1)1，证明： （Ⅰ）至少存在一点(0,1)，使得 f()1． （Ⅱ）至少存在一点(1,1)，使得 f() f()1． 【难题】设 f(x)在0,1上二阶可导， f(0) f(1)，证明：存在一点(0,1)，使得 (1)f()2f()．【题型二】复杂积分求原函数构造辅助函数 【难题】设 f(x),g(x)在a,b上存在二阶导数，g(x)0，且 f(a) f(b) g(a) g(b)0， f() f() 证明：至少存在一点(a,b)，使得  ． g() g() 【例题】设 f(x),g(x)在a,b上可导，g(x)0，证明：存在一点(a,b)，使得 f(a) f() f()  ． g()g(b) g()【例题】设 f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导， f(a) f(b)0. 【题型三】含有变现积分形式的辅助函数 【例题】设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a) f(b)0. 证明：存在一点(a,b)，使得 f() f 2()0．【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 1 f(x)dx0. 0  证明：存在一点(0,1)，使得 f(x)dxf()． 0 【例题】设 f(x)与g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f (a) g(b)0. b  证明：至少存在一点(a,b)，使得 f() g(t)dt g() f(t)dt 0．  a【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 1 xf(x)dx  1 f(x)dx. 0 0  证明：存在一点(0,1)，使得 f(t)dt 0． 0 【题型四】利用积分中值定理挖掘辅助条件 【积分中值定理】设 f(x)在a,b上连续，则至少存在一点a,b，使得 b  f(x)dx f()(ba)． a【第一积分中值定理】 设 f(x),g(x)在闭区间a,b上连续，且g(x)0，则存在一点a,b，使得 b b  f(x)g(x)dx f() g(x)dx． a a 1 【例题】设 f(x)在0,1上可导，且 f(1)22xf(x)dx. 证明：存在一点(0,1)， 0 使得 f()f()0．1 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足 f(1)kk xe1xf(x)dx,k 1. 0 证明：至少存在一点(0,1)，使得 f()(11)f()． 【难题】设 f(x)和g(x)在a,b上连续，g(x)在(a,b)内可导，且g(x)0. 证明：至少存在一点a,b，使得 b f(x)g(x)dx g(b) b f(x)dxg(a)  f(x)dx． a  a【题型五】利用积分中值定理推广形式挖掘辅助条件 【积分中值定理推广形式】设 f(x)在a,b上连续，则至少存在一点(a,b)，使得 b  f(x)dx f()(ba)． a 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 1 xf(x)dx 0. 证明：存在一点 0 (0,1)，使得f()2f()0．【例题】设 f(x),g(x)均在1,1上可导， 0 f(x)dx  1 f(x)dx0， f(x)只有 1 0 有限个零点，且g(x)0．证明： （Ⅰ）方程 f(x)0在(1,1)内至少有两个不同实根； （Ⅱ）方程 f(x)g(x) f(x)g(x)0在(1,1)内至少有一个实根．【难题】设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)a, b f(x)dx  1 (b2 a2). a 2 证明：（Ⅰ）存在(a,b)，使得 f()． （Ⅱ）存在(a,)，使得 f() f()1． 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内二阶可导，且 f(0) f(1)  1 f(x)dx0. 0 证明：存在一点(0,1)，使得 f() f()．【例题】设 f(x)在0,1上二阶可导，且 f(0) f(1) 2 1 f(x)dx. 证明： 1 2 （Ⅰ）至少存在一点(0,1)，使得 f()0； （Ⅱ）对任意实数，至少存在一点(0,1)，使得 f()f()  0． 【题型六】利用已知极限，挖掘辅助条件 （1）极限保号性：lim f(x) A0，则 f(x)0，任意xU (x ).  0 xx 0 lim f(x) A，其中 f(x)0，则A0. xx 0 f(x) （2）lim  A, lim g(x)0，则lim f(x)0. xx g(x) xx xx 0 0 0 f(x) f(x ) （3）导数定义 f(x ) lim 0 ． 0 xx xx 0 0f(x) 【例题】设 f(x)在0,1上二阶可导，且 f(1)0, lim 0．证明： x0 x （Ⅰ）方程 f(x)0在(0,1)内至少有一个实根． （Ⅱ）方程 f(x)f(x)f(x)2 0在(0,1)内至少有两个实根．f(x) 【例题】设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内二阶可导，且lim 1,f(1)1. 证明： x0 x （Ⅰ）存在一点(0,1)，使得 f()1； （Ⅱ）存在一点(0,)，使得 f()2f()1．f(x) f(x)1 【例题】设 f(x)在0,1上二阶可导，且lim 0, lim 1， x0 x x1 x1 证明：至少存在一点(0,1)，使得 f() f()．f(x) f(x) 【例题】设 f(x)在0,1上二阶可导，且lim 1, lim 2. 证明： x0 x x1 x1 （Ⅰ）存在一点(0,1)，使得 f()0； （Ⅱ）存在不同的, (0,1)，使得 f() f() f() f()； 1 2 1 2 1 2 （Ⅲ）存在一点(0,1)，使得 f() f()．f(x) f(x) 【例题】设 f(x)在0,1上二阶可导，且lim  lim 1. 证明： x0 x x1 x1 （Ⅰ）至少存在一点(0,1)，使得 f () 0； （Ⅱ）至少存在一点(0,1)，使得 f() f ()．【例题】设 f(x)在0,1上有二阶导数，且 f(1)0，方程 f(x)0在(0,1)内有实根x . 0 证明：（Ⅰ）存在 (0,1)，使得f() f() f() f()0； 1 2 1 1 1 2 2 2 （Ⅱ）若 f(0)0，且对于任意x(x ,1)，有 f(x)0，则存在(0,1)，使得 f()0． 0【例题】设 f(x)在0,1上有二阶导数， f(x)不恒为0，且曲线y  f(x)的端点连线与 曲线相交于C点，证明：至少存在一点(0,1)，使 f()0．