2025年10月14日高等数学专题第05节--函数极限（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

2026 考研数学保命班
高等数学
@金榜硕哥 薛威
2025 年 10 月北京第 05 节 函数的极限
金榜时代
@考研数学薛威 硕哥
一、函数极限的计算
1. 幂指函数+指数差
2. 泰勒公式
3. 变限积分
4. 二重积分
1.幂指函数+指数差+泰勒公式
1
【例题1】求极限lim  1 sinx sint2dt x3 ．
x0

0

x
 (32tant)t 3tdt
 
【例题2】计算lim 0 ．
x0 3sin3 x
 x1x x
【练习3】求 lim  ．
 
x(1x)x e
x
 cos(tet)cos(tet)dt
 
【练习4】计算lim 0 ．
x0 2(1cosx2)
2.变限积分+二重积分
x
 tf(x2 t2)dt
【例题5】设 f(x)可导，且 f(0)0, f(0)1，计算lim 0 .
x0 x41 2
 x 4x2t2dt2x
2 0
【练习6】求lim ．
x0 x3
x2
 f(t)dt
【例题7】设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)0, f(0)1，计算极限lim 0 ．
 2
x0 x
 f(t)dt
0
【例题8】求极限lim 2  t dx t e(xy)2dy．
t0 t2 0 x
1 t t
【例题9】计算lim  dx sin(xy)2dy．
t0 t6 0 x
1
2sinxcosx2sinx
【作业1】计算lim   ．
x0 1x 
x
 (2sint)t 2tdt
 
【作业2】计算极限lim 0 ．
x0 etanx ex
  1 2n
【作业3】求极限limne2   1  ．
n   n 
x
 tsin x2 t2dt
【作业4】求极限lim 0 .
x0 ln(1x3)x
 x2 3sin(xt)2dt
 
【作业5】求极限lim 0 ．
x0 sin7 x
【作业6】设 sin x sin(2 x), e3x e x),  3 8x  3 8x ．当x0时，
1 2 3
以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）．
（A）, ,． （B） ,,． （C） ,,． （D）, ,．
1 2 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1
【作业7】设 f(x),g(x)在x0的某邻域内连续， f(0) g(0)0，求
x2
 f( x2 t)dt
lim 0 ．
1
x0  x2g(xt)dt
0
1 1
【作业8】设函数 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)0，求极限lim[  ].
x0 x2 x2f(x2)
 f(t)dt
0
x4 4t t
 dt sin du
0 x u
【作业9】求极限lim .
x0 1 x8
e8 1
【作业10】设 f(x,y)在区域D：0 x1,0 y1上连续，且 f(0,0)1，计算
x2 t
 dt f(t,u)du
lim 0 x .
x0 3 1x3 1