2025年10月17日高等数学专题第06节--单调有界原理（作业）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 06 节 单调有界原理
【作业1】设数列x 满足0 x ,x sinx (n1,2, )．
n 1 n1 n 
1
 x x2
（Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算lim n1  n ．
n n n x 
n【作业2】（Ⅰ）证明：方程x 12lnx在(e,)内有唯一实根；
（Ⅱ）取x 满足x ，令x 12lnx (n1,2, )，证明：limx ．
0 0 n n1  n
n【作业3】设 f(x)在0,上连续，且 f(x)  x ef(t)dt．
0
（Ⅰ）求 f(x)；
（Ⅱ）证明：方程2f(x) x在(0,)内有唯一实根；
（Ⅲ）任取x 0,x 2f(x ) (n1)，证明：limx ．
0 n n1 n
n4
【作业4】当x0时，函数 f(x) x .
x2
（Ⅰ）求 f(x)的最小值；
4
（Ⅱ）设数列x 满足x  3．证明limx 存在，并求此极限．
n n x2
n
n
n11
【作业5】设 f(x)在0,1上可导，0 f(x)1,0 f(x)1，且F(x) x f(x)．
2
（Ⅰ）证明：方程F(x) x在(0,1)内有唯一实根；
（Ⅱ）数列x 满足：x (0,1),x  F(x ) (n0,1,2, )，证明：limx ．
n 1 n1 n  n
n1
【选做6】设0 x 1,x   maxx ,tdt,n1,2, ，证明limx 存在，并求此极限．
1 n n1  n
0 n